Instrumentação e Controle_3

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Foi utilizado o software Octave para solução dos problemas apresentados.
Instruções parte 01:
1a) arquivos: “ed1_nome.m” e “eqlin.m” => solução da ED linear de 1ª ordem homogênea; 
1b) gráficos apresentados nos slides s págs. 22 a 24 da aula 03b-parte1.
Gráfico do slide 22: Estabilidade segundo Lyapunove ponto de equilíbrio
Programação: 
Parte 01 (eqlin.m):
function ydot=eqlin(t,y)
global alpha
ydot=alpha*y(1);
Parte 02 (main_ED1Linear.m):
% Programa principal no Octave para mostrar a estabilidade de um sistema
% linear invariante no tempo: EDO linear de primeira ordem homogênea
% nome: ‘main_EDO1Linear.m’
clear all; % limpa as variáveis da memoria
clc; % limpa a tela
close all; % fecha as figuras
global alpha x0 tspan % estas variáveis são globais (podem ser compartilhadas)
x0=5; % definimos a condição inicial
tspan=[0 5]; % define o intervalo de tempo de simulação
alpha=0; 
% solução da equação diferencial; 
% aqui usamos o integrador ‘ODE23”
[t y]=ode23('eqlin',tspan,x0); 
figure(1); % numeração do gráfico
% geramos o gráfico
plot(t,y,'b','LineWidth',2);
grid on; % coloca o grid no gráfico
xlabel('t'); % coloca rotulo no eixo x do gráfico
ylabel('x(t)'); % coloca rotulo no eixo y do gráfico
title(['\alpha =', num2str(alpha),'x_0 =',num2str(x0)]); % visualização dos valores dos parâmetros no gráfico
Gráficos:
Gráfico do slide 22: Estabilidade segundo Lyapunov e ponto de equilíbrio
Gráfico 1 – Sistema estável com alfa = 0 e x0 = 5.
Gráfico do slide 23: Estabilidade segundo Lyapunov e ponto de equilíbrio
	Para o próximo gráfico, apenas foi alterado o valor de alfa na programação mostrada acima.
Gráfico 2 – Sistema estável com alfa = 1 e x0 = 5.
Gráfico do slide 24: Estabilidade segundo Lyapunov e ponto de equilíbrio
	Para o próximo gráfico, apenas foi alterado o valor de alfa na programação mostrada acima.
Gráfico 3 – Sistema estável com alfa = -1 e x0 = 5.
Instruções parte 02:
2a) arquivos: “ed2_nome.m” e “eqlin2.m” => solução da ED linear de 2ª ordem homogênea; 
2b) gráficos apresentados nos slides 9, 10, 13, 14, 17 e 18 da aula 03b-parte2.
Programação: 
Parte 01 (eqlin_o2.m):
function ydot=eqlin_o2(t,y)
global a b r
ydot = zeros(2,1); % zerando o vetor ydot (2x1)
ydot(1)=y(2);
ydot(2)=-b*y(1)-a*y(2)+r;
% fim
Parte 02 (main_EDO2L.m):
% Programa principal para mostrar a estabilidade de um sistema
% linear invariante no tempo : EDO linear de 2a ordem homogenea (ou nao): x'' + ax ' + bx = r(t)
% nome: ‘main_EDO2L.m’
clear all; % limpa as variaveis da memoria
clc; % limpa a tela
close all; % fecha as figuras
global a b r % declara que esta var. sera usada por outro(s) script(s)
x0=[5 2]; % definimos o vetor com as condicoes iniciais
tspan=[0 5]; %define o intervalo de tempo de simulacao : 0 a 5s
a=4; b=53; % parametros da ED
r=0; % Se r(t) = 0, entao a EDO e homogenea (deixe isto aqui que vai ser util no futuro)
% solucao da equacao diferencial;
% assim que se chama a solucao da ED 'eqlin2'.
% A ED e descrita no arquivo 'eqlin2.m'.
% o integrador utilizado aqui: ode23 (mais simples; ha varios)
[t y]=ode23('eqlin_o2',tspan,x0); % integrador; o Octave usa normalmente y como variavel
% geramos o grafico
figure(1); % cria a figura 1 com o grafico a seguir
plot(t,y (:,1),'b','LineWidth',2); %'b' => blue 
grid on; % coloca uma grade no grafico
xlabel('t'); % coloca rotulo no eixo das abscissas (x) do grafico
ylabel('x(t)'); % coloca rotulo no eixo das ordenadas (y) do grafico
title(['a = ', num2str(a),' b =', num2str(b),' Cond.In .= ',num2str(x0)]); % o titulo do grafico
figure(2); % cria a figura 2 com o grafico no espaco de fase: x(t) X v(t)
plot(y(:,1),y(:,2),'r','LineWidth',2); %'r' => red (vermelho)
grid on; % coloca uma grade no grafico
xlabel('x(t)'); % coloca rotulo no eixo das abscissas (x) do grafico
ylabel('v(t)'); % coloca rotulo no eixo das ordenadas (v) do grafico
title(['a = ', num2str(a),' b =', num2str(b),' Cond.In .= ',num2str(x0)]); % o titulo do grafico
Essa programação mostrada dá origem aos Gráficos 4 e 5. Para os demais, foram modificados apenas os valores de “a” e “b” como solicitado em cada um dos enunciados. 
Gráfico do slide 18 – Equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas – Raízes Complexas
Sistema Estável 
Por exemplo, para equação (3) na qual a = 4 e b = 53, resultando em alfa 1 = -2 +j7 e alfa 1 = -2 -j7 e com condições iniciais x0 = 5 e dx0/dt = 2, temos que a solução dada pela equação (8) é .
Gráfico 4 – Sistema estável com a= 4; b = 53; Condição inicial [5 2].
Gráfico 5 – Convergência das soluções da equação. 
Gráfico do slide 17 – Equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas – Raízes Complexas
Sistema Estável 
Por exemplo, para equação (3) na qual a = -4 e b = 53, resultando em alfa1 = 2 +j7 e alfa2 = -2 -j7 e com condições iniciais x0 = 5 e dx0/dt = 2, temos que a solução dada pela equação (8) é .
Gráfico 6 – Sistema estável com a= = -4; b = 53; Condição inicial [5 2].
Gráfico 7 – Divergência das soluções da equação. 
Gráfico do slide 14 – Equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas – Raízes reais duplas
Sistema Estável 
Por exemplo, para equação (3) na qual a = 10 e b = 25, resultando em alfa1 = -5 e com condições iniciais x0 = 5 e dx0/dt = 2, temos que a solução dada pela equação (7) é .
Gráfico 8 – Sistema estável com a= 10; b = 25; Condição inicial [5 2].
Gráfico do slide 13 – Equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas – Raízes reais duplas
Sistema Estável 
Por exemplo, para equação (3) na qual a = -10 e b = 25, resultando em alfa1 = 5 e com condições iniciais x0 = 5 e dx0/dt = 2, temos que a solução dada pela equação (7) é .
Gráfico 9 – Sistema estável com a= -10; b = 25; Condição inicial [5 2].
Gráfico do slide 10 – Equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas – Raízes reais e distintas
Sistema Estável 
Por exemplo, para equação (3) na qual a = 5 e b = 6, resultando em alfa1 = -2 e alfa2 = -3, com condições iniciais x0 = 5 e dx0/dt = 2, temos que a solução dada pela equação (6) é .
Gráfico 10 – Sistema estável com a= 5; b = 6; Condição inicial [5 2].
Gráfico do slide 09 – Equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas – Raízes reais e distintas
Sistema Estável 
Por exemplo, para equação (3) na qual a = -5 e b = 6, resultando em alfa1 = 2 e alfa2 = 3, com condições iniciais x0 = 5 e dx0/dt = 2, temos que a solução dada pela equação (6) é .
Gráfico 11 – Sistema estável com a= -5; b = 6; Condição inicial [5 2].
Instruções do exercício adicional
Adicional: como obter o gráfico da pág. 29?
O gráfico da página 29, mostrado acima, é o retrato de fase de sistemas lineares, e assim, ele mostra a estabilidade do ponto de equilíbrio de Sistemas de 2ª ordem não lineares e para onde convergirá ou divergirá as soluções tomadas no espaço de estados (x1, x2) quando alfa1 e alfa2 são complexos conjugados. Assim, temos que:
No primeiro, alfa1 e alfa2 são complexos conjugados com parte real negativa, assim a oscilação é amortecida e qualquer solução tomada no espaço de estados (x1, x2) convergirá para o (0,0). No segundo, alfa1 e alfa2 são complexos conjugados com parte real positiva, assim a oscilação possui amplitude crescente, ou seja, qualquer solução tomada no espaço de estados (x1, x2) divergirá/fugirá do (0,0).
	Esses gráficos são obtidos quando os programas eqlin_o2.m e main_EDO2L.m
são rodados no software escolhido. Assim, o programa já nos traz informações acerca da estabilidade das possíveis respostas obtidas quando temos alfa1 e alfa2 como complexos conjugados. Acima foram observados esses gráficos obtidos para cada um dos sistemas estudados. 
	O gráfico 5 mostra um sistema estável, já que temos “a” e “b” positivos e assim os valores reais de alfa1 e alfa2 são negativos, mostrando um sistema convergente para zero e assim, estável. Oposto a ele, o gráfico 7 mostra um sistema instável, já que “a” é negativo e além disso, o valor real de alfa1é positivo, mostrando um sistema divergente para zero e assim, instável.