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Poĺıgonos Elementos notáveis do triângulo Exerćıcios
MA093 – Matemática básica 2
Poĺıgonos - Elementos notáveis do triângulo
Francisco A. M. Gomes
UNICAMP - IMECC
Agosto de 2018
Poĺıgonos Elementos notáveis do triângulo Exerćıcios
Tópicos importantes
O objetivo dessa aula é investigar
1 Classificação de poĺıgonos.
2 Elementos de poĺıgonoos.
3 Elementos notáveis de triângulos.
Poĺıgonos Elementos notáveis do triângulo Exerćıcios
Poĺıgono
Definição
Dada uma sequência A1,A2, . . . ,An de n pontos distintos do plano,
tal que três pontos consecutivos não são colineares, denominamos
poĺıgono à reunião dos segmentos A1A2, A2A3, . . . ,AnA1.
Poĺıgonos Elementos notáveis do triângulo Exerćıcios
Elementos do poĺıgono
Elementos do poĺıgono
Vértices: A1,A2, . . . ,An
Arestas: A1A2, A2A3, . . . ,AnA1
Ângulos: Â1, Â2, . . . , Ân
Poĺıgonos Elementos notáveis do triângulo Exerćıcios
Poĺıgono simples
Definição
Um poĺıgono é simples se nenhum de seus lados intercepta outro
lado.
Poĺıgonos Elementos notáveis do triângulo Exerćıcios
Região poligonal
Definição
A reunião de um poĺıgono com seu interior é chamada região
poligonal.
Poĺıgonos Elementos notáveis do triângulo Exerćıcios
Poĺıgono convexo
Definição
Um poĺıgono é convexo se, tomando-se quaisquer dois pontos A e
B de sua região poligonal, o segmento AB está contido na região
poligonal.
Poĺıgonos Elementos notáveis do triângulo Exerćıcios
Poĺıgono equilátero e equiângulo
Definições
Um poĺıgono é
equilátero se todos os seus lados são congruentes.
equiângulo se todos os seus ângulos são congruentes.
Poĺıgonos Elementos notáveis do triângulo Exerćıcios
Poĺıgono regular
Definições
Um poĺıgono é regular se é convexo, equilátero e equiângulo.
Poĺıgonos Elementos notáveis do triângulo Exerćıcios
Diagonal
Definição
Chamamos de diagonal de um poĺıgono ao segmento cujas
extremidades são vértices não consecutivos do poĺıgono.
Poĺıgonos Elementos notáveis do triângulo Exerćıcios
Diagonal
Teorema
Um poĺıgono com n lados tem n(n − 3)/2
diagonais
Cada vértice tem (n − 3) vértices não
vizinhos.
Somando todos os vértices, teŕıamos
n(n − 3) diagonais.
Mas cada diagonal foi contada duas
vezes (uma para cada vértice).
Logo, temos n(n − 3)/2 diagonais.
Poĺıgonos Elementos notáveis do triângulo Exerćıcios
Soma dos ângulos internos
Teorema
A soma dos ângulos internos de um poĺıgono
convexo com n lados é igual a (n − 2) · 180◦.
As (n − 3) diagonais que partem de A1
formam (n − 2) triângulos.
A soma dos ângulos internos do poĺıgono
é a soma dos ângulos dos triângulos.
A soma dos ângulos do triângulo é 180◦.
Logo, a soma desejada é (n − 2) · 180◦.
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Peŕımetro
Definição
O peŕımetro de um poĺıgono simples é igual à soma das medidas
de seus lados.
p = a + b + c + d + e + f + g .
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Baricentro
Teorema
As três medianas de um triângulo se interceptam em um
mesmo ponto, o Baricentro.
O baricentro divide cada mediana em duas partes, uma das
quais mede o dobro da outra.
AM ≡ BM AO = 2NO
BN ≡ CN BO = 2PO
AP ≡ CP CO = 2MO
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Incentro
Teorema
As três bissetrizes de um triângulo se interceptam em um
mesmo ponto, o Incentro.
O incentro está à mesma distância dos lados do triângulo.
CÂO ≡ BÂO
AB̂O ≡ CB̂O
AĈO ≡ BĈO
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Circuncentro
Teorema
As três mediatrizes dos lados de um triângulo se interceptam
em um mesmo ponto, o Circuncentro.
O circuncentro está à mesma distância dos vértices do
triângulo.
AM ≡ BM BN ≡ CN AP ≡ CP AO ≡ BO ≡ CO
Poĺıgonos Elementos notáveis do triângulo Exerćıcios
Ortocentro
Teorema
As retas suporte das três alturas de um triângulo se
interceptam em um mesmo ponto, o Ortocentro.
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Exerćıcio 1
Problema
Determine o valor de x na figura abaixo.
90◦
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Exerćıcio 2
Problema
Sabendo que, na figura, o lado AB é paralelo a DE , determine o
valor de x .
120◦
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Exerćıcio 3
Problema
Sabendo que o triângulo ABP é equilátero e que o pentágono
ABCDE é regular, determine x .
x = 66◦
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Exerćıcio 4
Problema
Para qual poĺıgono convexo a soma dos ângulos internos fornece
1080◦?
O octógono, que tem 8 lados.
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Exerćıcio 5
Problema
Escreva uma equação quadrática que nos permita determinar o
poĺıgono que tem 54 diagonais. Encontre o número de lados do
poĺıgono resolvendo essa equação.
n2
2
− 3n
2
− 54 = 0
O poĺıgono tem 12 lados (dodecágono)
Poĺıgonos Elementos notáveis do triângulo Exerćıcios
Exerćıcio 6
Problema
Determine o valor de x na figura abaixo.
35◦
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Exerćıcio 7
Problema
Sendo G o baricentro do triângulo ABC , determine x , y e z .
x = 7, y = 12, z = 5
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Exerćıcio 8
Problema
Seja O o ortocentro (ponto de interseção das alturas) de um
triângulo isósceles de base AB. Sabendo que o ângulo AÔB mede
110◦, determine os ângulos internos do triângulo.
Dica: faça um desenho que represente o problema.
55◦, 55◦ e 70◦
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