Axiomas da Geometria Projetiva Plana

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Axiomas da geometria projetiva plana I
A partir de agora nos concentraremos na geometria
projetiva plana, que pode ser definida tarvés dos seguintes
6 axiomas:
MA620 - Aula 15 – p. 1/5
Axiomas da geometria projetiva plana I
A partir de agora nos concentraremos na geometria
projetiva plana, que pode ser definida tarvés dos seguintes
6 axiomas:
Axioma I: Quaisquer duas retas são incidentes com pelo
menos um ponto.
MA620 - Aula 15 – p. 1/5
Axiomas da geometria projetiva plana I
A partir de agora nos concentraremos na geometria
projetiva plana, que pode ser definida tarvés dos seguintes
6 axiomas:
Axioma I: Quaisquer duas retas são incidentes com pelo
menos um ponto.
Axioma II: Existem quatro pontos, tais que quaisquer três
deles são não colineares.
MA620 - Aula 15 – p. 1/5
Axiomas da geometria projetiva plana I
A partir de agora nos concentraremos na geometria
projetiva plana, que pode ser definida tarvés dos seguintes
6 axiomas:
Axioma I: Quaisquer duas retas são incidentes com pelo
menos um ponto.
Axioma II: Existem quatro pontos, tais que quaisquer três
deles são não colineares.
Axioma III: Dois pontos distintos são incidentes com
exatamente uma reta.
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Axiomas da geometria projetiva plana I
A partir de agora nos concentraremos na geometria
projetiva plana, que pode ser definida tarvés dos seguintes
6 axiomas:
Axioma I: Quaisquer duas retas são incidentes com pelo
menos um ponto.
Axioma II: Existem quatro pontos, tais que quaisquer três
deles são não colineares.
Axioma III: Dois pontos distintos são incidentes com
exatamente uma reta.
Axioma IV: Três pontos diagonais de um quadrângulo
completo nunca são colineares.
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Axiomas da geometria projetiva plana II
Axioma V: Se uma projetividade deixa invariante cada um
de três pontos distintos de uma reta, então ela deixa
invariantes todos os pontos da reta.
MA620 - Aula 15 – p. 2/5
Axiomas da geometria projetiva plana II
Axioma V: Se uma projetividade deixa invariante cada um
de três pontos distintos de uma reta, então ela deixa
invariantes todos os pontos da reta.
E o teorema de Desargues passa a ser um axioma:
Axioma VI: Se dois triângulos são perspectivos por um
ponto, então eles são perspectivos por uma reta.
MA620 - Aula 15 – p. 2/5
Axiomas da geometria projetiva plana II
Axioma V: Se uma projetividade deixa invariante cada um
de três pontos distintos de uma reta, então ela deixa
invariantes todos os pontos da reta.
E o teorema de Desargues passa a ser um axioma:
Axioma VI: Se dois triângulos são perspectivos por um
ponto, então eles são perspectivos por uma reta.
Ou equivalentemente: Sejam ABC e A′B′C ′ dois triângulos
em um mesmo plano, tais que as linhas AA′, BB′ e CC ′
são incidentes em um mesmo ponto O. Seja P o ponto de
interseção de BC com B′C ′, Q o ponto de interseção de
CA com C ′A′, e R o ponto de interseção de AB com A′B′.
Então P , Q e R são colineares.
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Princípio da dualidade
Se em cada axioma trocarmos os termos “ponto"por “reta",
“reta"por “ponto", “concorrentes"por “colineares"etc,
obtemos enunciados que podem ser demonstrados
verdadeiros!
MA620 - Aula 15 – p. 3/5
Princípio da dualidade
Se em cada axioma trocarmos os termos “ponto"por “reta",
“reta"por “ponto", “concorrentes"por “colineares"etc,
obtemos enunciados que podem ser demonstrados
verdadeiros!
Exemplos
Dualizando o Axioma I obtemos: Quaisquer dois pontos
são incidentes com pelo menos uma reta. Mas isto é uma
consequência simples do Axioma III!
MA620 - Aula 15 – p. 3/5
Princípio da dualidade
Se em cada axioma trocarmos os termos “ponto"por “reta",
“reta"por “ponto", “concorrentes"por “colineares"etc,
obtemos enunciados que podem ser demonstrados
verdadeiros!
Exemplos
Dualizando o Axioma I obtemos: Quaisquer dois pontos
são incidentes com pelo menos uma reta. Mas isto é uma
consequência simples do Axioma III!
Dualizando o Axioma III obtemos: Duas retas distintas são
concorrentes com exatamente um ponto. Mas isto segue
dos Axiomas I e III.
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Princípio da dualidade
Exemplos
Dualizando o Axioma II obtemos: Existem quatro retas tais
que quaisquer três delas não são concorrentes em um
mesmo ponto.
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Princípio da dualidade
Exemplos
Dualizando o Axioma II obtemos: Existem quatro retas tais
que quaisquer três delas não são concorrentes em um
mesmo ponto.
O dual do Axioma VI (Teorema de Desargues) é a sua
recíproca: se dois triângulos são perspectivos por uma
reta, então eles são perspectivos por um ponto (veja
Teorema 2.2.3 no livro).
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Conjuntos quadrangulares
Seja PQRS um quadrângulo (ie. quatro pontos tais
quaisquer três deles são não colineares) e g uma reta não
incidente aos pontos P , Q, R ou S.
MA620 - Aula 15 – p. 5/5
Conjuntos quadrangulares
Seja PQRS um quadrângulo (ie. quatro pontos tais
quaisquer três deles são não colineares) e g uma reta não
incidente aos pontos P , Q, R ou S.
Um conjunto quadrangular é a coleção de pontos
incidentes a g e a um dos lados de PQRS. Um conjunto
quadrangular pode conter 4, 5 ou 6 pontos, dependendo se
g é incidente a dois, um ou nenhum dos pontos diagonais
de PQRS (lembre do Axioma IV).
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Conjuntos quadrangulares
Seja PQRS um quadrângulo (ie. quatro pontos tais
quaisquer três deles são não colineares) e g uma reta não
incidente aos pontos P , Q, R ou S.
Um conjunto quadrangular é a coleção de pontos
incidentes a g e a um dos lados de PQRS. Um conjunto
quadrangular pode conter 4, 5 ou 6 pontos, dependendo se
g é incidente a dois, um ou nenhum dos pontos diagonais
de PQRS (lembre do Axioma IV).
Teorema: Cada ponto de um conjunto quadrangular é
unicamente determinado pelos demais.
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Conjuntos harmônicos
Um conjunto quadrangular contendo apenas quatro pontos
(ou seja, a reta g sendo determinada por dois pontos
diagonais do quandângulo) é chamado de um conjunto
harmônico.
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Conjuntos harmônicos
Um conjunto quadrangular contendo apenas quatro pontos
(ou seja, a reta g sendo determinada por dois pontos
diagonais do quandângulo) é chamado de um conjunto
harmônico.
Seja A e B dois pontos diagonais de um quadrângulo, e
seja C um ponto colinear a A e B. Estes três pontos
determinam unicamente um ponto F que completa o
conjunto harmônico. Este ponto é sempre distinto de C e é
chamado de o conjugado harmônico de C.
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Conjuntos harmônicos
Um conjunto quadrangular contendo apenas quatro pontos
(ou seja, a reta g sendo determinada por dois pontos
diagonais do quandângulo) é chamado de um conjunto
harmônico.
Seja A e B dois pontos diagonais de um quadrângulo, e
seja C um ponto colinear a A e B. Estes três pontos
determinam unicamente um ponto F que completa o
conjunto harmônico. Este ponto é sempre distinto de C e é
chamado de o conjugado harmônico de C.
Teorema: A relação harmônica é invariante por qualquer
projetividade.
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	Axiomas da geometria projetiva plana I
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	Axiomas da geometria projetiva plana II
	Axiomas da geometria projetiva plana II
	Axiomas da geometria projetiva plana II
	Princípio da dualidade
	Princípio da dualidade
	Princípio da dualidade
	Princípio da dualidade
	Princípio da dualidade
	Conjuntos quadrangulares
	Conjuntos quadrangulares
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	Conjuntos harmônicos
	Conjuntos harmônicos
	Conjuntos harmônicos