Geometria Projectiva.. UCM

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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MOÇAMBIQUE
Instituto de Educação à Distância
CURSO
Licenciatura em Ensino de Matemática
4o Ano
Cadeira: Geometria Projectiva
Tema: Primeiro Trabalho
Docente:
Jemusse Matias Thangata 
Nome do estudante:
Jacobe Nafitala Calodza
Código do Estudante: 708194205
	
Cidade de Tete, Maio, 2022
	Folha de Feedback
	Categorias
	Indicadores
	Padrões
	Classificação
	
	
	
	Pontuação máxima
	Nota do tutor
	Subtotal
	Estrutura
	Aspectos organizacionais
	· Capa
	0.5
	
	
	
	
	· Índice
	0.5
	
	
	
	
	· Introdução
	0.5
	
	
	
	
	· Actividades
	0.5
	
	
	Conteúdo
	Actividades2 por unidade
	· Organização dos dados
	17.0[footnoteRef:1] [1: A cotação pode ser distribuída de acordo com o peso da actividade
2. O número das actividades pode variar em função ao docente] 
	
	
	
	
	· Indicação correta da fórmula
	
	
	
	
	
	· Passos da resolução
	
	
	
	
	
	· Resultado obtido
	
	
	
	Aspectos gerais
	Formatação 
	· Paginação, tipo e tamanho de letra, parágrafo, espaçamento entre linhas
	1.0
	
	
Folha para recomendações de melhoria: A ser prénchida pelo tutor
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Índice
1.	Introdução	5
2.	Objectivos	5
Metodologia	5
Actividade 1	6
Actividade 2	6
Actividade 3	7
Actividade 4	8
Actividade 5	9
Actividade 6	10
Actividade 7	11
Actividade 8	12
Conclusão	13
Referência bibliográfica	14
1. Introdução 
O presente trabalho é referente a resolução de exercícios de atividade 1 da Cadeira de geometria projetiva. A geometria projectiva fundamenta teoricamente a descritiva adicionando-lhe métodos que altera a abordagem inicial aos elementos e suas relações separando-se da euclidiana e reinterpretando de modo mais alargado, isto é, uma nova forma de ver. O que diferencia a projectiva da euclidiana são os pontos do infinito ou impróprios.
A geometria projectiva baseia-se na geometria euclidiana tal como as outras geometrias não euclidianas que surgiram a partir da discussão da base euclidiana.
2. Objectivos 
Geral
· Resolver os problemas da primeira atividade da cadeira de geometria projectiva
Específicos 
· Usar o teorema de Desargues, o teorema de Staudt e seus casos particulares para resolver tarefas;
· Definir num quadrivértice (ou quadrilátero) o conjunto de quatros pontos (ou rectas) que forma um quadruplo harmónico;
Metodologia 
A metodologia usada na resolução desta tarefa foi a de consulta bibliográfica. No âmbito da qualidade das figuras, usou-se software GeoGebra na produção das mesmas.
Actividade 1
1- Escreva a proposição dual de:
a. Em cada recta há pelo menos, três pontos.
Dual: em cada ponto passam pelo menos, três rectas.
b. Nem todos os pontos pertencem a um mesmo plano
Dual: nem todas as rectas interceptam-se a um mesmo ponto.
c. Três rectas distintas e as suas correspondentes imagens são suficientes para determinar uma Única projectividade.
Dual: Três pontos distintos e as suas correspondentes imagens são suficientes para determinar uma Única projectividade.
e. Dois, planos distintos definem uma única recta.
Dual: Duas rectas não paralelas definem um único ponto.
f. Duas rectas não paralelas definem um único ponto.
Dual: Dois pontos distintos definem uma e só uma recta.
Actividade 2
2. Baseia se no princípio de dualidade no espaço e formule as propriedades duais das seguintes:
a. A uma recta pertencem infinitos pontos.
Dual: por um ponto passam infinitas rectas.
b. Dois pontos distintos determinam uma recta a qual pertencem.
Dual: duas rectas distintas determinam um ponto ao qual se interceptam.
c. Um ponto e uma recta que não se pertence determinam um plano.
Dual: Um plano e um ponto que não se pertencem determinam uma recta.
d. Três, pontos, não pertencentes a uma recta, determinam um plano.
 Dual: três planos, não pertencentes a uma recta, determinam um ponto.
Actividade 3
3. Diga qual das seguintes configurações é possível representar e, representa a:
Resposta: São possíveis as configurações a.(39; 93) e c. (103; 103).
· Representando geometricamente, teremos:
a.(39; 93)
Resolução 
Resposta: a figura é a configuração do teorema de Pappus que é () ou simplesmente .
b. (105: 510)- não é possível representar.
c.(103; 103)
Resolução 
Resposta: a figura representa a configuração de Desargues que é ou simplesmente 
Actividade 4
4. Seja dado o paralelogramo ABCD e uma recta n em qualquer posição. Seja M um ponto pertencente ao lado (AB). Traçar por M uma recta L paralela a n, apenas com régua.
Resolução 
Resposta: a figura representa a resolução da atividade numero 4.
Actividade 5
5. Mostre que se três triângulos são perspectivos dois a dois com um mesmo centro de 
perspectividade, então os eixos de perspectividade são concorrentes.
Resolução 
Resposta: os triangulo são perspectivos com o mesmo centro de pespectividade que é ponto ,	 e os seus eixos de perspectividade, recta e recta , respectivamente, são concorrentes no ponto .
Actividade 6
6. No plano a fim um trapézio está inscrito num quadrilátero tal que as bases destes sejam paralelas a uma das diagonais do quadrilátero. Provar que os lados não paralelos do trapézio intersectam se na outra diagonal do quadrilátero.
Resolução
Resposta: temos o quadrilátero e o trapézio cuja base ee paralela a diagonal do do quadrilátero, consequentemente os lados não paralelos do trapézio () intersectam-se na outra diagonal do quadrilátero () no ponto 
Actividade 7
7. Dados dois pontos A e B e uma recta P, determinar a intersecção de P com (AB), sem 
traçar (AB). (dica: completar o quadrivertice ABCD e usar o teorema de Staudt tomando a 
recta P como eixo de persctividade).
Resolução
Resposta: a figura acima representada, ilustra a resoluçãoda actividade número 7.
Actividade 8
8. Dado o quadrivertice ABCD com os pontos diagonais P, Q e R, prove que no lado (AC) os vértices A e C, são conjugados harmonicamente com os pontos diagonais P e (AC) e da intersecção das rectas (QR) e (AC).
Resolução
· é ponto da intersecção das rectas (QR) e (AC).
Resposta: são Conjugados harmónicos isto é, estão separados harmonicamente 
Conclusão 
Durante a realização do trabalho relativamente a resolução da primeira atividade da cadeira de geometria projectiva, concluiu-se, no que tange a proposição de dualidade, é só trocarmos, nos axiomas de incidência, os termos ponto por recta, recta por ponto e seus derivados como concorrentes por colineares , vértices por lados, sobre por passam, ligam por intersectam.
Referência bibliográfica 
· MUCHANGA, F. A. Manual de Geometria Projectiva: Universidade Católica de Moçambique Centro de Ensino á Distância. Ribeirão, Moçambique.
· SOUZA, Jayme Rios De: Elementos de Geometria projectiva. Porto Editora Ltda.