Propagacao-Erros

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Experimento 4
Propagac¸a˜o de Erros
Varlei Rodrigues
Vamos supor que em um experimento no´s tenhamos medido os paraˆmetros x, y, ..., z n vezes.
x1, y1, ..., z1
x2, y2, ..., z2
...
...
xn, yn, ..., zn
medidas
Devido aos erros experimentais, instrumentais e estat´ısticos, na˜o e´ poss´ıvel saber qual o valor
”verdadeiro” destes paraˆmetros. Mas sabemos que os valores me´dios x, y, ..., z sa˜o aqueles
que melhor se aproximam desses, dentro de uma faixa de confianc¸a σx, σy, ..., σz :
x =
1
n
n∑
i=1
xi σ
2
x =
1
n
n∑
i=1
(xi − x)2
y =
1
n
n∑
i=1
yi σ
2
y =
1
n
n∑
i=1
(yi − y)2 (1)
...
...
z =
1
n
n∑
i=1
zi σ
2
y =
1
n
n∑
i=1
(yi − y)2
Mas como achar o valor que se aproxima do ”verdadeiro” e a sua faixa de confiabilidade quando
a propriedade no qual estamos interessados na˜o puder ser medido diretamente, mas sim atrave´s
de um modelo matema´tico? Por exemplo, se quizermos achar uma velocidade baseados em
medidas de distaˆncia e tempo.
Vamos supor que queremos achar w em func¸a˜o de x, y, ..., z:
w = w(x, y, ..., z) (2)
Uma opc¸a˜o seria calcular todos os wi para todos os conjuntos xi, yi, ..., zi de medidas e em
seguida a me´dia w e σ2w
w1 = w(x1, y1, ..., z1)
w2 = w(x2, y2, ..., z2)
...
...
wn = w(xn, yn, ..., zn)
medidas
w =
1
n
n∑
i=1
wi σ
2
w =
1
n
n∑
i=1
(wi − w)2 (3)
1
Como devemos calcular todos os valores de wi, esta operac¸a˜o passa a ser bastante trabalhosa,
principalmente para um grande nu´mero de medidas. Uma pergunta que podemos fazer e´ se
podemos obter w diretamennte da me´dia dos paraˆmetros medidos no experimento:
w = w(x, y, ..., z)? (4)
Para responder a esta pergunta, vamos expandir o valor de wi em se´ries de poteˆncias dos desvios
em torno dos valores me´dios de x, y, ..., z:
wi = w(x, y, ..., z) +
+
(
∂w
∂x
)
(xi − x) +
(
∂w
∂y
)
(yi − y) + ...+
(
∂w
∂z
)
(zi − z) + (5)
+
1
2
(
∂2w
∂x2
)
(xi − x)2 + 1
2
(
∂2w
∂y2
)
(yi − y)2 + ...+ 1
2
(
∂2w
∂z2
)
(zi − z)2 +
+ ...
Se a func¸a˜o w varia lentamente, no´s podemos considerar que os termos de segunda ordem e
superiores sa˜o despres´ıveis, ou seja:
1
2
(
∂2w
∂x2
)
(xi − x)2 ∼ 0 (6)
Calculando a me´dia e w usando os valores de wi obtidos na expansa˜o (5) teremos:
w =
1
n
n∑
i=1
wi
=
1
n
[
n∑
i=1
w(x, y, ..., z)+ (7)
+
n∑
i=1
(
∂w
∂x
)
(xi − x) +
n∑
i=1
(
∂w
∂y
)
(yi − y) + ...+
n∑
i=1
(
∂w
∂z
)
(zi − z)
]
Rearranjando os termos da equac¸a˜o (7):
w =
1
n
[
n∑
i=1
w(x, y, ..., z)+ (8)
+
(
∂w
∂x
) n∑
i=1
(xi − x) +
(
∂w
∂y
) n∑
i=1
(yi − y) + ...+
(
∂w
∂z
) n∑
i=1
(zi − z)
]
Nesta expressa˜o os termos a` direita da igualdade sa˜o nulos, com excec¸a˜o do primeiro, pois:
1
n
n∑
i=1
(xi − x) = 1
n
n∑
i=1
xi − 1
n
n∑
i=1
x = x− 1
n
nx = 0 (9)
2
Desta forma, em primeira aproximac¸a˜o, w pode ser obtido usando os valores me´dios de x, y, ..., z:
w = w(x, y, ..., z) (10)
Agora, vamos usar o mesmo racioc´ınio para calcular o desvio padra˜o de w:
σ2w =
1
n
n∑
i=1
(wi − w)2 (11)
Usando wi obtido em (5) ate´ primeira ordem teremos:
(wi − w)2 = [w(x, y, ..., z)+ (12)
+
(
∂w
∂x
)
(xi − x) +
(
∂w
∂y
)
(yi − y) + ...+
(
∂w
∂z
)
(zi − z) +
− w]2 =
=
(
∂w
∂x
)2
(xi − x)2 +
(
∂w
∂y
)2
(yi − y)2 + ...+
+ 2
(
∂w
∂x
)(
∂w
∂y
)
(xi − x)(yi − y) + 2
(
∂w
∂x
)(
∂w
∂z
)
(xi − x)(zi − z) +
+ ...
Entretanto,
2
(
∂w
∂x
)(
∂w
∂y
) n∑
i=1
(xi − x)(yi − y) = 0 (13)
Por isso, podemos ignorar os termos cruzados na expressa˜o (12) e escrever σ2w como:
σ2w =
1
n

(
∂w
∂x
)2 n∑
i=1
(xi − x)2︸ ︷︷ ︸
nσ2x
+
(
∂w
∂y
)2 n∑
i=1
(yi − y)2︸ ︷︷ ︸
nσ2y
+...
 (14)
Desta forma, podemos calcular σ2w a partir das derivadas primeiras da func¸a˜o w e dos σ
2 de
cada valor medido:
σ2w =
(
∂w
∂x
)2
σ2x +
(
∂w
∂y
)2
σ2y + ...+
(
∂w
∂z
)2
σ2z (15)
Refereˆncia Bibliogra´fica: Jose´ Henrique Vuolo, Fundamentos da Teoria de Erros (Editora
Edgard Blu¨cher Ltda, Sa˜o Paulo, 1992).
3
Exemplo:Incerteza no volume de um cilindro:
V = piLR2 R σ2R
L σ2L
}
me´dias das medidas
Usando a expressa˜o (15) para encontrar σ2V :
σ2V =
(
∂V
∂R
)2
σ2R +
(
∂V
∂L
)2
σ2L
σ2V =
(
2pi L R
)2
σ2R +
(
pi R
2
)2
σ2L (16)
Podemos ainda dividir os dois lados da igualdade por V 2:(σV
V
)2
=
(
2pi L R
pi L R2
)2
σ2R +
(
pi R2
pi L R2
)2
σ2L (17)
(σV
V
)2
=
(
2σR
R
)2
+
(σL
L
)2
(18)
4