Caderno Senoides e fasores

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Senoides, Fasores e 
Números Complexos 
 
 
S.S. 
FÓRMULAS E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
PROF. VIVIANA RAQUEL ZURRO 
 
 
1 
Sumário 
SENOIDES E FASORES ................................................................................................................ 2 
Fórmulas ..................................................................................................................................... 2 
Relações trigonométricas ......................................................................................................... 2 
Senoides .................................................................................................................................. 2 
Números complexos ................................................................................................................ 3 
Fórmulas de Euler.................................................................................................................... 3 
Fasores .................................................................................................................................... 3 
Exercícios Resolvidos ................................................................................................................. 5 
Como reduzir um ângulo maior que 360o ao seu equivalente menor ou igual a 360o ............... 5 
Senoides e fasores .................................................................................................................. 5 
Operações com números complexos ..................................................................................... 12 
Exercícios Propostos ................................................................................................................. 17 
Referências ................................................................................................................................... 18 
 
 
 
 
2 
SENOIDES E FASORES 
Fórmulas 
Relações trigonométricas 
1. 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 + 90°) 
2. 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 𝑐𝑜𝑠(𝛼– 90°) 
3. 𝑠𝑒𝑛(−𝛼) = −𝑠𝑒𝑛(𝛼) 
4. 𝑐𝑜𝑠(−𝛼) = 𝑐𝑜𝑠(𝛼) 
5. −𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ± 180°) 
6. −𝑐𝑜𝑠(𝛼) = 𝑐𝑜𝑠(𝛼 ± 180°) 
Senoides 
• 𝑣(𝑡) = �̂�𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 𝜑) 
• 𝜔 = 2𝜋𝑓 
• 𝑇 =
2𝜋
𝜔
=
1
𝑓
 
 
• �̂�, 𝑉𝑚 ou 𝑉𝑝: Valor de pico, valor máximo da forma de onda. 
• 𝑣(𝑡): Valor instantâneo, amplitude da forma de onda em um instante qualquer. 
 
 
3 
• 𝑉𝑝𝑝: Valor pico a pico, diferença entre os valores de pico positivo e negativo. 
• 𝑇: Período, intervalo de tempo entre repetições sucessivas. 
• ω: Frequência angular em radianos/segundos. 
• f: Frequência em Hz. 
Números complexos 
• 𝑗 = √−1, 𝑗2 = −1, −𝑗 =
1
𝑗
, em engenharia elétrica o número imaginário i é chamado de j para 
não confundir com a corrente i. 
• 𝑗 = 1∠90𝑜 = 𝑒𝑗
𝜋
2, −𝑗 = 1∠−90𝑜 = 𝑒−𝑗
𝜋
2 
• Forma retangular: 𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦 
• Forma polar: 𝑧 = 𝑟∠𝜑 
• Forma exponencial: 𝑧 = 𝑟𝑒𝑗𝜑 
• 𝑟 = √𝑥2 + 𝑦2 e 𝜑 = 𝑡𝑎𝑛−1
𝑦
𝑥
 
• 𝑥 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜑 e 𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜑 
• 𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦 = 𝑟∠𝜑 = 𝑟𝑒𝑗𝜑 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑗𝑟𝑠𝑒𝑛𝜑 
Fórmulas de Euler 
• 𝑒𝑗𝜑 = 𝑐𝑜𝑠(𝜑) + 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝜑) 
• 𝑠𝑒𝑛(𝜑) =
𝑒𝑗𝜑−𝑒−𝑗𝜑
2𝑗
 
• 𝑐𝑜𝑠(𝜑) =
𝑒𝑗𝜑+𝑒−𝑗𝜑
2
 
Fasores 
• 𝑽 = �̂�. 𝑒𝑗𝜑 = �̂�∠𝜑 
• 𝑰 = 𝐼∠𝜑 
 
 
4 
 
Ângulos complementares Ângulos suplementares Ângulos replementares 
Ângulos complementares: 𝛼 + 𝛽 = 90𝑜 
Ângulos suplementares: 𝛼 + 𝛽 = 180𝑜 
Ângulos replementares: 𝛼 + 𝛽 = 360𝑜 
 
 
 
5 
Exercícios Resolvidos 
Como reduzir um ângulo maior que 360o ao seu equivalente menor ou igual a 360o 
𝛼 > 360𝑜 
𝛼
360
= 𝑁, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 
𝑁, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 − 𝑁 = 0, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 
𝛼 = 0, 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛. 360 
𝛼 ≤ 360𝑜 
Exemplo: 
𝛼 = 1285𝑜 
1285
360
= 3,56944 
3,56944 − 3 = 0,56944 
𝛼 = 0,56944.360 = 205𝑜 
𝛼 = 1285𝑜 ≡ 205𝑜 
Senoides e fasores 
1. Transforme as seguintes senoides em fasores: 
a. 𝑣(𝑡) = −4𝑠𝑒𝑛(30𝑡 + 50
𝑜) 
b. 𝑖(𝑡) = 6 cos(50𝑡 − 40
𝑜) 
c. 𝑣(𝑡) = −7 cos(2𝑡 + 40
𝑜) 
d. 𝑖(𝑡) = 4 sen(10𝑡 − 420
𝑜) 
Resolução: 
a. 𝑣(𝑡) = −4𝑠𝑒𝑛(30𝑡 + 50
𝑜) 
Da relação trigonométrica 5: 
𝑣(𝑡) = −4𝑠𝑒𝑛(30𝑡 + 50
𝑜) = 4𝑠𝑒𝑛(30𝑡 + 50𝑜 + 180𝑜) = 4𝑠𝑒𝑛(30𝑡 + 230𝑜) [𝑉] 
Para poder trabalhar com fasores deveremos transformar o seno em cosseno. Aplicando a relação 
trigonométrica 2: 
𝑣(𝑡) = 4𝑐𝑜𝑠(30𝑡 + 230
𝑜 − 90𝑜) = 4𝑐𝑜𝑠(30𝑡 + 140𝑜) [𝑉] 
𝑽 = 4∠140𝑜 [𝑉] 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b. 𝑖(𝑡) = 6 cos(50𝑡 − 40
𝑜) 
 
 
6 
𝑰 = 𝟔∠−𝟒𝟎𝒐 [𝑨] 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c. 𝑣(𝑡) = −7 cos(2𝑡 + 40
𝑜) 
Aplicando a relação trigonométrica 6: 
𝑣(𝑡) = 7𝑐𝑜𝑠(2𝑡 + 40
𝑜 − 180𝑜) = 7𝑐𝑜𝑠(2𝑡 − 140𝑜) [𝑉] 
𝑽 = 𝟕∠−𝟏𝟒𝟎𝒐 [𝑽] 
Ou: 
𝑣(𝑡) = 7𝑐𝑜𝑠(2𝑡 + 40
𝑜 + 180𝑜) = 7𝑐𝑜𝑠(2𝑡 + 220𝑜) [𝑉] 
𝑽 = 𝟕∠𝟐𝟐𝟎𝒐 [𝑽] 
 
Figura 1: Os ângulos de −140𝑜 e 220𝑜 são replementares (a soma é igual a 360𝑜), por 
isso a posição do fasor é a mesma para qualquer um dos ângulos. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
d. 𝑖(𝑡) = 4 sen(10𝑡 − 420
𝑜) 
Aplicando a relação trigonométrica 2: 
 
 
7 
𝑖(𝑡) = 4𝑐𝑜𝑠(10𝑡 − 420
𝑜 − 90𝑜) = 4𝑐𝑜𝑠(10𝑡 − 510𝑜) [𝐴] 
𝐼 = 4∠−510𝑜 
Como: 
−510𝑜 = −510𝑜 + 360𝑜 = −150𝑜 
Então: 
𝑰 = 𝟒∠−𝟏𝟓𝟎𝒐 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2. Determine as senoides representadas pelos seguintes fasores: 
a. 𝑽 = 𝑗8𝑒−𝑗20
𝑜
 
b. 𝑰 = −3 + 𝑗4 
c. 𝑽 = −10∠30𝑜 
d. 𝑰 = 𝑗(5 − 𝑗2) 
e. 𝑽 = −2 − 𝑗4 
Resolução: 
a. 𝑽 = 𝑗8𝑒−𝑗20
𝑜
 
𝑗 = 1∠90𝑜 
8𝑒−𝑗20
𝑜
= 8∠−20𝑜 
𝑽 = 1∠90𝑜. 8∠−20𝑜 = 1.8∠(−20𝑜 + 90𝑜) = 8∠70𝑜 [𝑉] 
𝒗(𝒕) = 𝟖𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 + 𝟕𝟎
𝒐) [𝑽] 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b. 𝑰 = −3 + 𝑗4 
 
 
8 
 
Figura 2: Transformação de coordenadas retangulares para coordenadas polares (INTMATH, 
2016). 
|𝑰| = √(−3)2 + 42 = 5 
Como a parte real é negativa: 
𝜑𝐼 = 𝑡𝑔
−1
4
−3
± 180𝑜 = 126,9𝑜 = −233,13𝑜 
𝑰 = 5∠126,9𝑜 [𝐴] 
𝒊(𝒕) = 𝟓𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 + 𝟏𝟐𝟔, 𝟗𝟎
𝒐) [𝑨] 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c. 𝑽 = −10∠30𝑜 
𝑽 = 10∠(30𝑜 + 180𝑜) = 10∠210𝑜 [𝑉] 
𝒗(𝒕) = 𝟏𝟎𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 + 𝟐𝟏𝟎
𝒐) [𝑽] 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
d. 𝑰 = 𝑗(5 − 𝑗2) 
𝑗 = 1∠90𝑜 
5 − 𝑗2 = 𝑛 
|𝑛| = √52 + (−2)2 = 5,38 
𝜑𝑛 = 𝑡𝑔
−1
−2
5
= −21,8𝑜 
𝑛 = 5,38∠−21,8𝑜 
𝑰 = 1∠90𝑜. 5,38∠−21,8𝑜 = 1.5,38∠(90𝑜 − 21,8𝑜) = 5,38∠68,2𝑜[𝐴] 
𝒊(𝒕) = 𝟓, 𝟑𝟖𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 + 𝟔𝟖, 𝟐
𝒐) [𝑨] 
 
 
9 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
e. 𝑽 = −2 − 𝑗4 
|𝑽| = √(−2)2 + (−4)2 = 4,47 
Como a parte real é negativa: 
𝜑𝑉 = 𝑡𝑔
−1
−4
−2
± 180𝑜 = 243,43𝑜 = −116,56𝑜 
𝑽 = 4,47∠243,43𝑜 = 4,47∠ − 116,56𝑜 [𝑉] 
243,43𝑜 e 116,56𝑜 são ângulos replementares: 
|243,43𝑜| + |−116,56𝑜| = 360𝑜 
 
Figura 3: A posição final do fasor é a mesma tanto para o ângulo positivo (ângulos 
replementares). 
𝒗(𝒕) = 𝟒, 𝟒𝟕𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 + 𝟐𝟒𝟑, 𝟒𝟑
𝒐) = 𝟒, 𝟒𝟕𝒄𝒐𝒔(𝝎𝒕 − 𝟏𝟏𝟔, 𝟓𝟔𝒐) [𝑽] 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
3. Determine a defasagem entre os pares de senoides e verifique qual está adiantada. 
a. 𝑣(𝑡) = −4𝑠𝑒𝑛(30𝑡 + 50
𝑜) e 𝑖(𝑡) = 6cos(30𝑡 − 40
𝑜) 
b. 𝑣(𝑡) = 10𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 50
𝑜) e 𝑖(𝑡) = −0,5 sem(𝜔𝑡 − 40
𝑜) 
Resolução: 
a. 𝑣(𝑡) = −4𝑠𝑒𝑛(30𝑡 + 50
𝑜) e 𝑖(𝑡) = 6 cos(30𝑡 − 40
𝑜) 
Aplicando as relações trigonométricas 5 e 2: 
𝑣(𝑡) = 4𝑠𝑒𝑛(30𝑡 + 50
𝑜 + 180𝑜) = 4𝑠𝑒𝑛(30𝑡 + 230𝑜) 
𝑣(𝑡) = 4𝑐𝑜𝑠(30𝑡 + 230
𝑜 − 90𝑜) = 4𝑐𝑜𝑠(30𝑡 + 140𝑜)[𝑉] 
𝑖(𝑡) = 6 𝑐𝑜𝑠(30𝑡 − 40
𝑜) 
𝜑𝑣 = 140
𝑜 
 
 
10 
𝜑𝑖 = −40
𝑜 
𝜑 = 𝜑𝑣 − 𝜑𝑖 = 140
𝑜 − (−40𝑜) = 180𝑜 
A tensão adianta a corrente em 180o. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b. 𝑣(𝑡) = 10𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 50
𝑜) e 𝑖(𝑡) = −0,5 sem(𝜔𝑡 − 40
𝑜) 
Aplicando as relações trigonométricas 5 e 2: 
𝑖(𝑡) = 0,5𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 − 40
𝑜 + 180𝑜) = 0,5𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 140𝑜) 
𝑖(𝑡) = 0,5𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 140
𝑜 − 90𝑜) = 0,5𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 50𝑜)[𝐴] 
𝑣(𝑡) = 10𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 50
𝑜)[𝑉] 
𝜑𝑣 = 𝜑𝑖 = 50
𝑜 
A corrente e a tensão estão em fase. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
4. A corrente consumida por um motor monofásico que aciona uma bomba de água é igual a: 
𝑖𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = −8 cos(500𝜋𝑡 − 30
𝑜) [𝐴] 
Resolução: 
𝑖𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 8 cos(500𝜋𝑡 − 30
𝑜 + 180𝑜) [𝐴] 
𝑖𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 = 8 cos(500𝜋𝑡 + 150
𝑜) [𝐴] 
Equação geral: 
𝑖(𝑡) = 𝐼 cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖) [𝐴] 
a. Qual é a amplitude da corrente? �̂� = 𝟖[𝑨] 
b. Qual é a frequência angular ω? 𝝎 = 𝟓𝟎𝟎𝝅 [
𝒓𝒂𝒅
𝒔
] 
c. Qual é a frequência f do motor? 𝒇 =
𝝎
𝟐𝝅
=
𝟓𝟎𝟎𝝅
𝟐𝝅
= 𝟐𝟓𝟎[ 𝑯𝒛] 
d. Qual é o período T da corrente? 𝑻 =
𝟏
𝒇
=
𝟏
𝟐𝟓𝟎[𝑯𝒛]
= 𝟒[𝒎𝒔] 
e. Qual é o ângulo inicial da corrente do motor? 𝝋𝒊 = 𝟏𝟓𝟎
𝒐 
f. Qual é o valor da corrente em t=2ms? (Dica: deixar os dois ângulos na mesma unidade: 𝜋 ≡
180𝑜) 
ATENÇÃO: O ângulo da função está em duas unidades DIFERENTES!!! 𝜔𝑡 está em radianos e 𝜑𝑖 
em graus. 
Em 2ms: 
 
 
11 
cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖) 
𝛼 = 𝜔𝑡|𝑡=2𝑚𝑠 = 500𝜋 [
𝑟𝑎𝑑
𝑠
] . 2[𝑚𝑠] = 𝜋[𝑟𝑎𝑑] 
Conversão de radianos para graus 
𝜋 ⟶ 180𝑜 
𝜋 ⟶ 𝛼 
𝛼 =
𝜋. 180𝑜
𝜋
= 180𝑜 
𝒊𝒎𝒐𝒕𝒐𝒓 |𝒕=𝟐𝒎𝒔 = 𝟖 𝒄𝒐𝒔(𝟏𝟖𝟎
𝒐 + 𝟏𝟓𝟎𝒐) = 𝟖 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝟑𝟎𝒐) = 𝟔, 𝟗𝟐[𝑨] 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
5. Calcular o valor da função no tempo especificado para cada opção: Como não serão usados 
fasores, para fazer este cálculo não é necessário transformar a senoide. 
a. Qual é o valor da corrente em t=2ms? 𝑖 = 4 sen(50𝑡 − 30𝑜) [𝐴] 
b. Qual é o valor da corrente em t=25ms? 𝑖 = 5 cos(120𝜋𝑡 + 120𝑜) [𝐴] 
c. Qual é o valor da tensão em t=1m? 𝑣 = −10 cos(4𝑡 − 30𝑜) [𝑉] 
Resolução: 
a. 𝑖 = 4 sen(50𝑡 − 30𝑜) [𝐴] 
𝑖 = 4 sen(50𝑡 − 30𝑜) [𝐴] 
Em 2ms: 
sen(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖) 
𝛼 = 𝜔𝑡|𝑡=2𝑚𝑠 = 50 [
𝑟𝑎𝑑
𝑠
] . 2[𝑚𝑠] = 100𝑒−3[𝑟𝑎𝑑] 
Conversão de radianos para graus 
𝜋 ⟶ 180𝑜 
100𝑒−3 ⟶ 𝛼 
𝛼 =
100𝑒−3. 180𝑜
𝜋
= 5,72𝑜 
𝒊|𝒕=𝟐𝒎𝒔 = 𝟒 𝒔𝒆𝒏(𝟓, 𝟕𝟐
𝒐 − 𝟑𝟎𝒐) = 𝟒 𝒔𝒆𝒏(−𝟐𝟒, 𝟐𝟖𝒐) = −𝟏. 𝟔𝟒[𝑨] 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b. 𝑖 = 5 cos(120𝜋𝑡 + 120𝑜) [𝐴] 
𝑖 = 5 cos(120𝜋𝑡 + 120𝑜) [𝐴] 
Em 25ms: 
cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖) 
 
 
12 
𝛼 = 𝜔𝑡|𝑡=25𝑚𝑠 = 120𝜋 [
𝑟𝑎𝑑
𝑠
] . 25[𝑚𝑠] = 3𝜋[𝑟𝑎𝑑] 
Conversão de radianos para graus 
𝜋 ⟶ 180𝑜 
3𝜋 ⟶ 𝛼 
𝛼 =
3𝜋. 180𝑜
𝜋
= 540𝑜 ≡ 180𝑜 
𝒊|𝒕=𝟐𝟓𝒎𝒔 = 𝟓 𝒄𝒐𝒔(𝟏𝟖𝟎
𝒐 + 𝟏𝟐𝟎𝒐) = 𝟓 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝟎𝟎𝒐) = 𝟐, 𝟓[𝑨] 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c. 𝑣 = −10 cos(4𝑡 − 30𝑜) [𝑉] 
𝑣 = −10 cos(4𝑡 − 30𝑜) [𝑉] 
Em 1m = 60s: 
cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑣) 
𝛼 = 𝜔𝑡|𝑡=60𝑠 = 4 [
𝑟𝑎𝑑
𝑠
] . 60[𝑠] = 240[𝑟𝑎𝑑] 
Conversão de radianos para graus 
𝜋 ⟶ 180𝑜 
240 ⟶ 𝛼 
𝛼 =
240. 180𝑜
𝜋
= (13,751𝑒3)𝑜 ≡ 70,98𝑜 
𝒗|𝒕=𝟔𝟎𝒔 = −𝟏𝟎 𝒄𝒐𝒔(𝟕𝟎, 𝟗𝟖
𝒐 − 𝟑𝟎𝒐) = −𝟏𝟎 𝒄𝒐𝒔(𝟒𝟎, 𝟗𝟖𝒐) = −𝟕, 𝟓𝟒[𝑽] 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Operações com números complexos 
Considerando os números complexos a seguir (MATH IS FUN, 2015) 
𝑎 = 3 − 𝑗2 
𝑏 = 5∠30𝑜 
𝑐 = −6 + 𝑗3 
𝑑 = −5 − 𝑗5 
6. Calcular as seguintes expressões: 
a. 𝑧 = 𝑎 + 𝑏 
b. 𝑧 =
𝑐
𝑑
 
 
 
13 
c. 𝑧 = 𝑏. 𝑐 
d. 𝑧 = 𝑐 − 𝑑 
e. 𝑧 =
𝑎
𝑏
 
f. 𝑧 = 𝑎. 𝑏 + 𝑐 
Resolução: 
a. Em operações de soma e subtração é conveniente trabalhar com coordenadas retangulares 
então o número complexo b vai ter que ser transformado. 
𝑏 = |𝑏|∠𝜑𝑏 = 𝑥 + 𝑗𝑦 
𝑥 = |𝑏| cos(𝜑𝑏) = 5𝑐𝑜𝑠(30
𝑜) = 4,33 
𝑦 = |𝑏| sen(𝜑𝑏) = 5𝑠𝑒𝑛(30
𝑜) = 2,5 
𝑏 = 5∠30𝑜 = 4,33 + 𝑗2,5 
𝑧 = (3 − 𝑗2) + (4,33 + 𝑗2,5) = 3 − 𝑗2 + 4,33 + 𝑗2,5 
𝑧 = 3 + 4,33 − 𝑗2 + 𝑗2,5 
𝒛 = 𝟕, 𝟑𝟑 + 𝒋𝟎, 𝟓 = 𝟕, 𝟑𝟒∠𝟑, 𝟗𝒐 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b. 𝑧 =
𝑐
𝑑
 
𝑐 = −6 + 𝑗3 
𝑑 = −5 − 𝑗5 
Método 1 (mais difícil): 
𝑧 =
−6 + 𝑗3
−5 − 𝑗5
 
Multiplicando e dividindo pelo complexo conjugado (trocar o sinal da parte imaginária) do 
denominador (número d): 
𝑑∗ = −5 + 𝑗5 
 
𝑧 =
−6 + 𝑗3
−5 − 𝑗5
.
−5 + 𝑗5
−5 + 𝑗5
=
(−6 + 𝑗3). (−5 + 𝑗5)
(−5 − 𝑗5). (−5 + 𝑗5)
=
𝑁
𝐷
 (1) 
𝑁 = (−6 + 𝑗3). (−5 + 𝑗5) = (−6). (−5) + (−6). (𝑗5) + (𝑗3). (−5) + (𝑗3). (𝑗5) 
𝑁 = 30 − 𝑗30 − 𝑗15 + (𝑗3). (𝑗5) 
(𝑗3). (𝑗5) = 𝑗2. 3.5 = (−1). 15 = −15 
𝑁 = 30 − 𝑗30 − 𝑗15 − 15 
𝑁 = 15 − 𝑗45 
 
 
14 
𝐷 = (−5 − 𝑗5). (−5 + 𝑗5) = (−5). (−5) + (−5). (𝑗5) + (−𝑗5). (−5) − (𝑗5). (𝑗5) 
𝐷 = 25 − 𝑗25 + 𝑗25 − (𝑗5)2 
(𝑗5)2 = 𝑗2. 52 = −25 
𝐷 = 25 − (−25) = 25 + 25 = 50 
Substituindo na equação (1): 
𝑧 =
𝑁
𝐷
=
15 − 𝑗45
50
=
15
50
− 𝑗
45
50
 
𝒛 = 𝟎, 𝟑 − 𝒋𝟎, 𝟗 = 𝟎, 𝟗𝟓∠−𝟕𝟏, 𝟓𝒐 
Método 2: 
𝑧 =
−6 + 𝑗3
−5 − 𝑗5
 
Transformando os números c e d para coordenadas polares: 
𝑐 = −6 + 𝑗3 = |𝑐|∠𝜑𝑐 
|𝑐| = √(−6)2 + 32 = 6,7 
Como a parte real é negativa devemos somar ou subtrair 180O ao cálculo em algumas calculadoras. 
𝜑𝑐 = 𝑡𝑔
−1 (
3
−6
) + 180𝑜 = 153,43𝑜 
𝑐 = 6,7∠153,43𝑜 
Proceder da mesma maneira com o número d 
𝑑 = −5 − 𝑗5 = |𝑑|∠𝜑𝑑 
|𝑑| = √(−5)2 + (−5)2 = 7,07 
Como a parte real é negativa devemos somar ou subtrair 180o ao cálculo em algumas calculadoras. 
𝜑𝑑 = 𝑡𝑔
−1 (
−5
−5
) + 180𝑜 = −135𝑜 
𝑑 = 7,07∠−135𝑜 
𝑧 =
𝑐
𝑑
=
6,7∠153,43𝑜
7,07∠−135𝑜
= |𝑧|∠𝜑𝑧 
|𝑧| =
6,7
7,07
= 0,95 
𝜑𝑧 = 𝜑𝑐 − 𝜑𝑑 = 153,43
𝑜 − (−135𝑜) = 288,43𝑜 = 288,43𝑜 − 360𝑜 = −71,57𝑜 
𝒛 = 𝟎, 𝟗𝟓∠−𝟕𝟏, 𝟓𝒐 = 𝟎, 𝟑 − 𝒋𝟎, 𝟗 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
15 
c. 𝑧 = 𝑏. 𝑐 
𝑏 = 5∠30𝑜 
𝑐 = −6 + 𝑗3 
𝑧 = (5∠30𝑜). (−6 + 𝑗3) 
Neste caso é conveniente trabalhar com coordenadas polares. 
𝑐 = −6 + 𝑗3 = |𝑐|∠𝜑𝑐 
|𝑐| = √(−6)2 + 32 = 6,7 
Como a parte real é negativa devemos somar ou subtrair 180O ao cálculo em algumas calculadoras. 
𝜑𝑐 = 𝑡𝑔
−1 (
3
−6
) + 180𝑜 = 153,43𝑜 
𝑐 = 6,7∠153,43𝑜 
Calculando: 
𝑧 = |𝑧|∠𝜑𝑧 = (5∠30
𝑜). (6,7∠153,43𝑜) 
|𝑧| = 5.6,7 = 33,5 
𝜑𝑧 = 𝜑𝑏 + 𝜑𝑐 = 30
𝑜 + 153,43𝑜 = 183,43𝑜 = −176,56𝑜 
𝒛 = 𝟑𝟑, 𝟓∠𝟏𝟖𝟑, 𝟒𝟑𝒐 = −𝟑𝟑, 𝟒𝟖 − 𝒋𝟐 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
d. 𝑧 = 𝑐 − 𝑑 
𝑐 = −6 + 𝑗3 
𝑑 = −5 − 𝑗5 
Neste caso é conveniente trabalhar com coordenadas retangulares. 
𝑧 = (−6 + 𝑗3) − (−5 − 𝑗5) = −6 + 𝑗3 + 5 + 𝑗5 
𝑧 = −6 + 𝑗3 + 5 + 𝑗5 = −6 + 5 + 𝑗3 + 𝑗5 
𝒛 = −𝟏 + 𝒋𝟖 = 𝟖, 𝟎𝟔∠𝟗𝟕, 𝟏𝟐𝒐 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------e. 𝑧 =
𝑎
𝑏
 
𝑎 = 3 − 𝑗2 
𝑏 = 5∠30𝑜 
𝑧 =
3 − 𝑗2
5∠30𝑜
 
Neste caso é conveniente trabalhar em coordenadas polares: 
 
 
16 
𝑎 = 3 − 𝑗2 = |𝑎|∠𝜑𝑎 
|𝑎| = √32 + (−2)2 = 3,6 
𝜑𝑎 = 𝑡𝑔
−1 (
−2
3
) = −33,7𝑜 
𝑎 = 3,6∠−33,7𝑜 
𝑧 =
𝑎
𝑏
=
3,6∠−33,7𝑜
5∠30𝑜
= |𝑧|∠𝜑𝑧 
|𝑧| =
3,6
5
= 0,72 
𝜑𝑧 = 𝜑𝑎 − 𝜑𝑏 = −33,7
𝑜 − 30𝑜 = −63,7𝑜 
𝒛 = 𝟎, 𝟕𝟐∠−𝟔𝟑, 𝟕𝒐 = 𝟎, 𝟑𝟐 − 𝒋𝟎, 𝟔𝟒 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
f. 𝑧 = 𝑎. 𝑏 + 𝑐 
𝑎 = 3 − 𝑗2 
𝑏 = 5∠30𝑜 
𝑐 = −6 + 𝑗3 
 𝑧 = (3 − 𝑗2). (5∠30𝑜) + (−6 + 𝑗3) (2) 
Neste exercício será resolvido primeiro o produto a.b, passando o número a para coordenadas 
polares. 
𝑎 = 3 − 𝑗2 = |𝑎|∠𝜑𝑎 
|𝑎| = √32 + (−2)2 = 3,6 
𝜑𝑎 = 𝑡𝑔
−1 (
−2
3
) = −33,7𝑜 
𝑎 = 3,6∠−33,7𝑜 
𝑝 = 𝑎. 𝑏 = (3,6∠−33,7𝑜). (5∠30𝑜) 
𝑝 = |𝑝|∠𝜑𝑝 
|𝑝| = 3,6.5 = 18 
𝜑𝑝 = 𝜑𝑎 + 𝜑𝑏 = −33,7
𝑜 + 30𝑜 = −3,7𝑜 
𝑝 = 18∠−3,7𝑜 = 𝑥 + 𝑗𝑦 
𝑥 = |𝑝| cos(𝜑𝑝) = 18𝑐𝑜𝑠(−3,7
𝑜) = 17,96 
𝑦 = |𝑝| sen(𝜑𝑝) = 18𝑠𝑒𝑛(−3,7
𝑜) = −1,16 
 
 
17 
𝑝 = 17,96 − 𝑗1,16 
Da equação (2) 
𝑧 = 𝑝 + (−6 + 𝑗3) 
𝑧 = (17,96 − 𝑗1,16) + (−6 + 𝑗3) = 17,96 − 𝑗1,16 − 6 + 𝑗3 
𝒛 = 𝟏𝟏, 𝟗𝟔 + 𝒋𝟏, 𝟖𝟒 = 𝟏𝟐, 𝟏𝟑∠𝟖, 𝟕𝒐 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercícios Propostos 
1. Transforme as seguintes senoides em fasores: 
a. (1,5p) 𝑖 = − sen(120𝜋𝑡 + 80𝑜) [𝐴] 
Resposta: 𝑰 = 1∠170𝑜 
b. (1p) 𝑣 = 4 cos(1000𝑡 − 30𝑜) [𝑉] 
Resposta: 𝑽 = 4∠−30𝑜 
c. (1p) 𝑣 = −20 sen(120𝜋𝑡) [𝑉] 
Resposta: 𝑽 = 20∠90𝑜 
d. 𝑖 = − cos(120𝜋𝑡 − 50𝑜) [𝐴] 
Resposta: 𝑰 = 1∠ 130𝑜 [𝐴] 
e. 𝑣 = −4 sen(120𝜋𝑡 + 50𝑜) [𝑉] 
Resposta: 𝑽 = 4∠140𝑜[𝑉] 
f. 𝑣 = 10 sen(120𝜋𝑡 + 150𝑜) [𝑉] 
Resposta: 𝑽 = 10∠60𝑜[𝑉] 
2. Para a tensão 𝑣 = 10 sen(1000𝑡 + 30𝑜) [𝑉] determine: 
a. Qual é a frequência f? 
Resposta: 𝑓 ≅ 160𝐻𝑧 
b. Qual é o valor da tensão em t=4ms? (Dica: transformar ωt em graus. 𝜋 ≡ 180𝑜). 
Resposta: 𝑣 = −9,8[𝑉] 
3. Para a seguinte tensão determine: 
𝑣 = −8 sen(120𝜋𝑡 − 30𝑜) [𝑉] 
a. Qual é a amplitude da tensão? 
Resposta: 𝑉 = 8[𝑉] 
 
 
18 
b. Qual é a frequência f? 
Resposta: 𝑓 = 60𝐻𝑧 
c. Qual é o valor da tensão em t=4ms? (Dica: transformar 𝜔𝑡 em graus. 𝜋 ≡ 180𝑜). 
Resposta: 𝑣 = −6,66[𝑉] 
4. Para os números complexos seguintes calcule as seguintes expressões: 
𝑎 = −4 + 𝑗8 
𝑏 = 3 − 𝑗4 
𝑐 = 5∠ − 30𝑜 
𝑑 = 10∠60𝑜 
a. 𝑧 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑑 
Resposta: 𝑧 = 5,33 + 𝑗14,16 = 15,13∠69,37𝑜 
b. 𝑧 = 𝑏 − 𝑐 + 𝑑 
Resposta: 𝑧 = 3,67 + 𝑗7.16 = 8,04∠62,86𝑜 
c. 𝑧 = 𝑐. 𝑑 
Resposta: 𝑧 = 43,3 + 𝑗25 = 50∠30𝑜 
d. 𝑧 =
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
 
Resposta: 𝑧 = −1,76 − 𝑗0,180 = 1,77∠−174,16𝑜 
e. 𝑧 =
𝑏+𝑐
𝑑
 
Resposta: 𝑧 = −0,196 − 𝑗0,96 ≅ 1∠−101,5𝑜 
 
Referências 
INTMATH. Polar to Rectangular Online Calculator. Interactive Mathematics, 31 maio 2016. 
Disponivel em: <http://www.intmath.com/complex-numbers/convert-polar-rectangular-
interactive.php>. 
MATH IS FUN. Complex Number Calculator. Math is Fun, 2015. Disponivel em: 
<https://www.mathsisfun.com/numbers/complex-number-calculator.html>.