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Sólidos convexos 
Série Rádio Cangália 
Objetivos 
Apresentar e demonstrar o Teorema de 
Euler. 
Sólidos convexos 
 
Série 
Rádio Cangália 
Conteúdos 
Função potência; Teorema de 
Euler; Números binários. 
Duração 
Aprox. 9 minutos. 
Objetivos 
Apresentar e demonstrar o 
Teorema de Euler. 
Sinopse 
Durante sua programação discute 
e apresenta os principais passos 
para a demonstração 
do Teorema de Euler para sólidos 
convexos. 
Material relacionado 
Experimentos: Cortar cubos; 
Vídeos: Sinfonias de poliedros. 
 
ÁUDIO 
Sólidos convexos 3/10 
Introdução 
Sobre a série 
A série Rádio Cangália, apresenta programas de variedades 
descontraídos que usualmente abordam uma informação ou notícia de 
conhecimentos gerais com comentários de um professor de 
matemática. No segundo bloco é apresentado um resultado, um 
teorema ou uma curiosidade matemática com algumas ideias de 
demonstração. O programa pode ter também tem uma piada e uma 
frase célebre, sem preocupação de coerência e sim para ter motivos de 
discussão e reforçar a descontração. 
Sobre o programa 
O programa dá os principais passos para demonstrar o Teorema de 
Euler para poliedros convexos: 
Em um poliedro convexo com F faces, A arestas e V vértices, a 
seguinte relação é sempre válida: 
V+F-A=2 
O primeiro passo para a demonstração do teorema é remover a tampa 
do sólido convexo, fazendo com que o número de faces se altere em 
uma unidade, ao passo que o número de arestas e vértices permaneça 
o mesmo, logo V+F-A=1. Em seguida vem a deformação das faces e 
arestas para o plano. É importante manter as quantidades de vértices, 
faces e arestas nesse processo de deformação plástica. 
Vamos mostrar o passo a passo de um caso particular – uma caixa! Ao 
tirar uma das faces visualizamos a caixa como na ilustração à 
esquerda. Observe que nessa projeção não vemos uma parte da face 
de baixo, nem de uma parte de uma face interna, nem pedaços de 
duas arestas. Em destaque as faces externas mais escuras. No que se 
 
ÁUDIO 
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refere ao teorema de Euler, não há diferenciação entre parte interna ou 
externa. Mencionamos isso apenas para facilitar a visualização. 
A ilustração à direita mostra uma deformação “plástica” da caixa sem 
tampa da esquerda. Nesse processo, não criamos nem destruímos 
vértices, nem arestas, nem faces – apenas deformamos a caixa para o 
plano. 
 
Agora temos várias faces no plano, que são polígonos com algumas 
arestas e alguns vértices em comum. Para cada polígono, cruzemos as 
diagonais com segmentos de reta, formando assim vários triângulos. 
No caso da caixa, todos os polígonos são quadriláteros, e assim cada 
diagonal divide o quadrilátero em dois triângulos. Note ainda que cada 
diagonal acrescenta uma aresta e uma face, mas não altera o número 
de vértices, o que faz com que a relação V+F-A não se modifique. 
 
ÁUDIO 
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Agora, a remoção de uma aresta externa faz com A decresça em uma 
unidade, mas assim a face do triângulo fica “destruída” e F também 
decresce uma unidade, mas os vértices e algumas arestas continuam, 
pois fazem parte de outros triângulos. Isto então não altera a relação 
V+F-A. Já a remoção de um triângulo com duas arestas externas, faz 
com que V e F decresçam em uma unidade e A decresça em duas, o 
que novamente não altera a relação V+F-A. Tal algoritmo pode ser 
aplicado até sobrar apenas um triângulo que possui 3 arestas, 3 
vértices e 1 face, levando a V+F-A=1, que é o que queríamos 
demonstrar, já que havíamos removido a tampa do poliedro. 
Reproduzimos abaixo a demonstração mais completa que aparece no 
experimento Cortar cubos. 
Teorema de Euler para poliedros 
Existem diferentes demonstrações do Teorema de Euler para poliedros 
convexos. Por exemplo, em [LIMA et al, 2000] encontramos uma 
demonstração [WAGNER, 2005] que envolve projeções paralelas; já em 
[POMPEO; DOLCE] é apresentada uma demonstração desse teorema em 
que é usada indução matemática. 
Para poliedros mais gerais homeomorfos à esfera, apresentamos, a 
seguir, em linhas gerais, a ideia da demonstração do Teorema de Euler 
 
ÁUDIO 
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que é basicamente devida a Cauchy (1789 - 1857). Para uma análise 
mais rigorosa e justificativa mais precisa a respeito dessa 
demonstração, ver [LIMA, 1997] ou [LIMA, 1985]. 
Teorema. Para todo poliedro homeomorfo à esfera vale a relação V – 
A + F = 2, onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é 
o número de faces do poliedro. 
Demonstração 
Consideremos um poliedro P homeomorfo à esfera, com F faces, A 
arestas e V vértices. Vamos inicialmente retirar uma de suas faces. A 
nova figura terá o mesmo número de vértices, o mesmo número de 
arestas, porém F-1 faces. 
Provaremos que, para essa nova figura, vale a relação V - A + (F-1) = 1. 
Nessa nova figura existem arestas que pertencem a apenas uma face, 
são as chamadas arestas livres. 
Vamos considerar a figura obtida ao se “esticar” de modo conveniente 
essa nova figura a partir de suas arestas livres, achatando-a até que 
ela se torne uma figura plana. A ilustração seguinte mostra o processo 
de esticar e achatar um poliedro, do qual foi retirada a face superior, 
até transformá-lo em uma figura plana. 
 
 
ÁUDIO 
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Nas ilustrações seguintes, são apresentados alguns poliedros com 
suas respectivas figuras planas. Na primeira, foi retirada uma face 
quadrada; na segunda, uma face retangular e, na terceira, uma face 
pentagonal. 
 
 A figura plana terá o mesmo número V, A, e F-1, de vértices, 
arestas e faces, respectivamente. 
 Vamos traçar, nos polígonos da figura plana, diagonais que não se 
cortam, obtendo uma decomposição de cada uma de suas faces em 
triângulos. A ilustração que segue mostra a decomposição da figura 
plana correspondente ao cubo em triângulos. 
 
Observamos que, a cada diagonal traçada, a figura plana terá o 
mesmo número de vértices e aumenta-se o número de arestas e o 
número de faces em uma unidade cada um. Assim, o número de seus 
vértices menos o número de suas arestas mais o número de suas faces 
é igual a V-(A+1) +(F-1+1), ou seja, V-A+(F-1). Portanto, o resultado 
permanece inalterado. 
Vamos, então, supor que todas as faces da figura plana são 
triângulos. Note que podem existir apenas os seguintes tipos de 
triângulos: com apenas uma aresta livre, com duas arestas livres ou 
sem arestas livres. Este fato ocorre devido à definição de poliedro 
considerada e, também, devido à hipótese de o poliedro ser 
homeomorfo à esfera. 
A seguir, retiramos da figura uma a uma as faces triangulares. 
 
ÁUDIO 
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A retirada dos triângulos deve ser feita seguindo os seguintes 
critérios: 
• Se não existir triângulos com duas arestas livres, retiramos um 
triângulo com uma aresta livre, diminuindo uma aresta e uma face. 
Para a figura que resta, o número de vértices menos o número de 
arestas mais o número de faces é igual a V-(A-1) +(F-1-1), ou seja, 
V-A+(F-1). Assim, neste caso, o resultado permanece inalterado. 
Além disso, a figura continua tendo somente triângulos dos tipos 
citados anteriormente. É o caso dos dois primeiros passos da 
ilustração anterior. 
• Se existe triângulo com duas arestas livres, retiramos este 
triângulo, diminuindo um vértice, duas arestas e uma face. Na 
figura restante, o número de vértices menos o número de arestas 
mais o número de faces é igual a (V-1)-(A-2)+(F-1-1), ou seja, V-
A+(F-1). Novamente, o resultado permanece inalterado e a figura 
continua tendo somente triângulos dos três tipos citados. É o caso 
do terceiro passo da ilustração anterior. 
• Se, depois de retirar um triângulo com uma aresta livre, a figura 
voltar a ter triângulos com duas arestas livres, estes triângulos 
devem ser retirados, ou seja, só retiramos triângulos com apenas 
uma aresta livre quando não existir triângulo com duas arestas 
livres. 
O procedimento deve continuar até que reste apenas um triângulo.Como, para o triângulo, o número de vértices menos o número de 
arestas mais o número de faces é igual a 1, e em todas as retiradas 
este resultado permanece inalterado e igual a V-A+(F-1), concluímos 
que V-A+(F-1)=1, ou seja, V-A+F=2, onde V é o número de vértices, A o 
número de arestas e F o número de faces do poliedro P inicial, o que 
completa a prova. 
 
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Sugestões de atividades 
Antes da execução 
Antes da execução, sugerimos ao professor revisar com os alunos os 
conceitos de poliedros convexos, dando ênfase à definição de vértices, 
arestas e faces. 
Durante a execução 
Sugerimos ao professor fazer pausas sucessivas durante a 
demonstração do teorema de Euler, para que os alunos possam 
esboçar cada passo da demonstração. 
Depois da execução 
Após a execução, sugere-se ao professor, desenvolver o Experimento 
Cortar cubos. Para reforçar o conteúdo da fórmula de Euler, assistir o 
vídeo Sinfonia de poliedros. 
Sugestões de leitura 
G. Iezzi. Matemática. Editora Atual 
M.Paiva. Matemática. Editora moderna 
J.R.Giovanni. Matemática Fundamental. Editora FTD. 
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. 4. ed. Campinas: 
Editora da Unicamp, 2004. 
AZAMBUJA Filho, Zoroastro. Demonstração do Teorema de Euler 
para poliedros convexos. Revista do Professor de Matemática. São 
Paulo, n.3, p. 15-17, 1983. 
LIMA, Elon Lages. O Teorema de Euler sobre Poliedros. Revista 
Matemática Universitária. Rio de Janeiro: SBM, n.2, p.57-74, 
dezembro, 1985. Disponível em 
<http://www.rmu.sbm.org.br/Conteudo/n02/n02_Artigo03.pdf>. 
Acesso em: 02 ago. 2010. 
 
ÁUDIO 
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LIMA, Elon Lages. Meu professor de Matemática e outras histórias. 
3. ed. Rio de Janeiro: SBM, 1997. 
LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. 3. ed. 
Rio de Janeiro: SBM, 2000. Coleção do Professor de Matemática. 
POMPEO, José Nicolau; DOLCE, Osvaldo; Fundamentos de Matemática 
elementar. Geometria espacial, posição e métrica. São Paulo: Atual 
Editora. 1993. 
Vídeo de aula: Poliedros. Aula ministrada pelo Prof. Eduardo Wagner 
sobre a demonstração do Teorema de Euler para poliedros convexos 
disponível em 
<http://strato.impa.br/capem_jan2005.htm>. Acesso em: 02 ago. 
2010. 
Ficha técnica 
Autor Pedro Ferraz Villela 
Revisão Samuel Rocha de Oliveira 
Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva 
Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira 
Universidade Estadual de Campinas 
Reitor Fernando Ferreira Costa 
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca 
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto 
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica 
Diretor Jayme Vaz Jr. 
Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira