TELA-com-quantas-cores-posso-pintar-um-mapa---guia-do-professor

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Experimento
Ministério da 
Ciência e Tecnologia
Ministério 
da Educação
Secretaria de 
Educação a Distância
Guia do professor
licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons 
geometria 
e medidas
análise de dados 
e probabilidade
Com quantas cores posso pintar um mapa?
Objetivos da unidade
Apresentar o Teorema das Quatro Cores;1. 
Introduzir questões de Topologia;2. 
Capacitar o aluno a tomar decisões de acordo com determinadas 3. 
restrições.
Guia do professor
Sinopse
Neste experimento, abordaremos o Teorema das Quatro Cores. Os alunos 
serão convidados a pensar sobre como colorir diversos mapas utilizando 
apenas quatro cores. Posteriormente, trocaremos os mapas por curvas 
fechadas, e proporemos aos alunos pintá-las também com o mínimo de 
cores possível. No Fechamento, apresentamos a demonstração do caso 
das curvas fechadas e sugerimos alguns jogos e um desafio.
Conteúdo
Geometria, Topologia.
Objetivos
Apresentar o Teorema das Quatro Cores;1. 
Introduzir questões de Topologia;2. 
Capacitar o aluno a tomar decisões de acordo com determinadas res-3. 
trições.
Duração
Uma aula dupla.
Com quantas 
cores posso 
pintar 
um mapa?
O Teorema das Quatro Cores afirma que todo mapa pode ser colorido com 
quatro ou menos cores, respeitando-se a condição de que países vizinhos, 
com alguma linha de fronteira em comum, tenham cores diferentes. 
 Conta-se que, em 1852, o então jovem matemático, Francis Guthrie, 
estava colorindo um mapa dos condados da Inglaterra. Enquanto pintava, 
estava atento em não colorir com a mesma cor países que dividissem 
alguma linha de fronteira. Guthrie notou, experimentalmente, que quatro 
cores seriam suficientes para colorir todo o mapa. Como matemático, tentou 
fazer uma demonstração acerca de sua descoberta, mas isso estava longe 
de ser encontrado facilmente. 
 Este problema ficou cada vez mais conhecido por outros matemáticos, 
inclusive pela Comunidade Matemática Britânica. Assim, em 1879, Alfred 
Bray Kempe publicou um artigo no qual supostamente dava uma demons-
tração de que quatro cores são suficientes para colorir qualquer mapa. 
Porém, onze anos depois, em 1890, Percy John Heawood apontou um erro 
sutil na demonstração de Kampe e foi capaz de demonstrar que cinco cores 
são suficientes para colorir qualquer mapa.
 Apenas em 1976, mais de um século após o problema ter sido conjec-
turado, Wolfgang Haken e Kenneth Appel demonstraram que quatro cores 
são, de fato, suficientes. O trabalho de Haken e Appel foi o primeiro resultado 
de impacto cuja prova foi feita utilizando um computador. Basicamente, 
o que eles fizeram foi exibir um conjunto de 1936 mapas, de forma que 
qualquer contraexemplo para o teorema pode ser descartado através da 
análise de um desses mapas. Foi uma prova engenhosa, que necessitou de 
um programa de computador especialmente escrito para encontrar certas 
compatibilidades entre os mapas. 
 Em 1996, uma nova demonstração foi apresentada por quatro mate-
máticos, Neil Robertson, Dan Sanders, Paul Seymor e Robin Thomas. 
No entanto, além de bastante complexa, também exige a análise de um 
número gigantesco de casos particulares no computador, o que impossi-
bilita que a prova seja escrita formalmente.
Formalmente, o conteúdo abordado por este experimento não faz parte 
da grade curricular do Ensino Médio. Porém, trata-se de um problema de 
formulação simples que motivou o trabalho de muitos matemáticos e que 
mistura elementos de geometria e grafos de maneira bastante acessível e 
atraente.
 Esta pode ser uma boa oportunidade para colocar os seus alunos em 
contato com questões matemáticas realmente complexas e atuais.
O experimento está dividido em duas etapas e o Fechamento. As ativi-
dades estão organizadas de forma intuitiva, em ordem crescente de difi-
culdade.
 O problema das quatro cores
Na primeira etapa, os alunos são convidados a colorir diferentes mapas 
tentando utilizar o menor número de cores possível. Ao longo desta etapa, 
incentive os alunos a criarem suas próprias conjecturas de quantas cores 
são suficientes para pintar qualquer mapa. Ao final, mencione o Teorema 
das Quatro Cores.
Quem não tem quatro, caça com cinco
O objetivo principal desta seção é apresentar uma demonstração do 
Teorema das Cinco Cores. Como dissemos na Introdução, a demonstração 
do Teorema das Quatro Cores utiliza um programa de computador, o que 
dificulta sua escrita formal num papel. Felizmente, para cinco cores a tarefa 
é possível (daí o título dessa seção).
A arte de colorir mapas – do ponto de vista matemático. �
 Dizemos que um mapa está apropriadamente colorido, ou simplesmente 
colorido, quando duas regiões que tenham qualquer fronteira em comum 
estão pintadas com cores diferentes. Regiões que possuem apenas um 
ponto em comum podem receber a mesma cor. A região que fica por fora 
do mapa, denominada oceano, também precisa estar pintada.
 Três regiões mutuamente vizinhas em um mapa possuem exatamente 
um ponto em comum denominado vértice. Os contornos do mapa que 
conectam dois vértices são denominados fronteiras. É importante salientar 
que, conforme definido acima, os vértices de um mapa são diferentes dos 
vértices de cada região que forma o mapa. Na figura abaixo os pontos 
e são vértices do mapa. O ponto , ao contrário, não é considerado um 
vértice do mapa.
 Iremos nos concentrar em mapas cujas regiões são limitadas por polí-
gonos fechados ou fronteiras circulares. Vamos supor também que a cada 
vértice do mapa estejam conectadas exatamente três fronteiras. Tal mapa 
é denominado regular.
 Essas suposições não implicam perda da generalidade. Se um mapa 
possui algum vértice que esteja conectado com mais de três fronteiras, 
B C
A
fig. 1
podemos fazer um pequeno círculo em torno de , juntando seu interior 
a uma das regiões e obtendo um novo mapa onde cada vértice está conec-
tado com exatamente três fronteiras.
 O novo mapa conterá o mesmo número de regiões do mapa anterior. 
A região que foi aumentada tem, no entanto, mais vizinhos. Se este novo 
mapa, que é regular, puder ser colorido com cinco cores, o mapa original 
também o pode. Assim, é suficiente demonstrar o teorema para mapas 
regulares.
 Vamos iniciar demonstrando dois fatos que serão utilizados para provar 
o Teorema das Cinco Cores.
 O primeiro deles é entender que a fórmula de Euler ( ) 
vale para o mapa. Considere um mapa regular no plano com vértices, 
A
fig. 2
fig. 3
 fronteiras e regiões, incluindo o oceano. Estamos interessados em 
verificar que vale a relação .
 Para tanto, observe que, se adicionarmos uma fronteira no mapa, esta-
remos criando uma nova região. Neste caso, os valores de e de serão 
acrescidos de uma unidade. Como e têm sinais opostos na fórmula 
, os aumentos serão cancelados e a relação não será alterada, 
ou seja, podemos acrescentar ou subtrair fronteiras sem alterar o valor de 
.
 Também podemos inserir um ponto (um pseudovértice) sobre uma 
fronteira qualquer. Fazendo isso, estaremos adicionando também uma 
fronteira a mais. Ou seja, o valor de e de aumentarão em uma unidade. 
Como e têm sinais opostos na fórmula , os aumentos serão 
cancelados e a relação não será alterada. 
 Assim, podemos ir apagando regiões no mapa, produzindo um mapa 
cada vez menor, com menos regiões, menos fronteiras e menos vértices, 
até chegar a um mapa com uma única região poligonal. Sem perder a gene-
ralidade, vamos contar todos os vértices e lados dessa região poligonal.
 Neste mapa, podemos triangularizar a região, incluindo fronteiras, sem 
alterar . Finalmente, apagamos todas as regiões criadas, exceto 
um triângulo. Neste triângulo teremos , , e, portanto, 
. Como as alterações feitas no mapa original para produzir o 
último triângulo não afetam , concluímos que no mapa original 
também vale . 
 Note que, ao contar os elementos para o triângulo, não incluímos o 
oceano. Fazendo isso, chegamos a . Ou seja, a relação de 
Euler, , vale para o mapa.
 Com isso, podemos demonstraro seguinte fato:
Todo mapa regular contém pelo menos uma região poligonal com menos 
de seis lados.
 Lema 1
Demonstração
Seja o número de regiões com vértices e o número total de regiões 
no mapa. 
 Note que, se uma dada região não tem vértices ou tem apenas um 
vértice, então ela tem apenas um país vizinho e podemos colori-la com 
qualquer cor, exceto com a cor do vizinho. Como essas regiões não causam 
problemas, vamos deixá-las de lado e supor, no resto da prova, que elas 
não estão presentes.
 Assim, temos que
. . . . (1)
 Cada fronteira está ligada a exatamente dois vértices e em cada vértice 
se conectam três fronteiras. Se é o número total de fronteiras no mapa 
e é o número total de vértices, temos
. (2)
 Os países com dois vértices têm duas fronteiras; países com três vizinhos 
têm três fronteiras, e assim por diante. Como cada fronteira pertence a dois 
países, o resultado da soma . . . é igual ao dobro do número 
de fronteiras no mapa, isto é,
. . . . (3)
 Multiplicando ambos os lados da fórmula de Euler ( ) por 
seis, temos
. (4)
 De (2), podemos ver que . Substituindo em (4), temos
.
 Como . . ., chegamos a
. . . . . . ,
que pode ser escrita na forma
. . . .
 Como o lado direito da última equação é um número positivo, podemos 
concluir que pelo menos um dos números , , , deve ser positivo. 
Ou seja, o mapa deve conter pelo menos uma região com menos de seis 
lados, e o Lema 1 está provado. W
Vamos iniciar agora a demonstração do teorema.
O Teorema das Cinco Cores
Todo mapa pode ser colorido com, no máximo, cinco cores.
Demonstração
Pelo Lema 1, podemos considerar que o mapa possui pelo menos uma 
região com menos de seis fronteiras (menos de seis vizinhos). Vamos 
separar a demonstração em dois casos.
Caso 1: O mapa contém uma região com 2, 3 ou 4 vizinhos
Neste caso, para pintar o mapa com regiões, vamos remover uma 
das fronteiras da região , unindo-a, momentaneamente, a alguma região 
vizinha. O mapa resultante será regular, com regiões. 
 Como a região possui no máximo quatro vizinhos, se puder ser 
colorido com cinco cores, o mapa original também poderá. Para tanto, 
 Teorema
basta voltar ao mapa original (devolvendo a fronteira retirada) e pintar 
a região com uma cor diferente das de seus vizinhos.
fig. 4 M.
fig. 5 M1.
fig. 6 M pintado.
R
R
R
Caso 2: O mapa contém uma região com 5 vizinhos
Neste caso, vamos denotar por , , , e as cinco regiões 
vizinhas a . Sempre podemos encontrar duas dessas vizinhas que não 
estejam lado a lado. Vamos supor que e não são vizinhas entre 
si. Podemos remover as fronteiras de , formando uma grande região que 
engloba , e . 
 O novo mapa será regular e terá regiões. Se este novo mapa 
puder ser colorido com cinco cores, o mapa original também poderá. 
Para tanto, basta voltar ao mapa original, devolvendo as fronteiras reti-
radas. Neste caso, como e possuem a mesma cor, a região estará 
em contato com, no máximo, quatro cores distintas e uma quinta cor pode 
ser atribuída a ela.
fig. 7 M.
fig. 8 M1.
W2
W2
W1
W1
W5
W5
W4
W4
W3
W3
R
R
 Procedendo de acordo com o descrito nos casos 1 e 2, podemos converter 
qualquer mapa regular em um novo mapa que tem ou 
regiões, com a seguinte propriedade: se puder ser pintado com cinco 
cores, também poderá. 
 Esse processo pode ser aplicado recursivamente a , produzindo uma 
sequência de mapas , , , . . . , tal que, se puder ser pintado 
com cinco cores, então também poderá.
 Como o número de regiões nos mapas dessa sequência sempre diminui, 
chegaremos a um mapa que contém cinco ou menos regiões. Tal mapa pode 
claramente ser colorido com, no máximo, cinco cores. Assim, retornando 
etapa por etapa, concluímos que o mapa original pode ser colorido com 
cinco cores, o que completa a prova. W
Note que a prova apresentada é construtiva, no sentido de que pode ser 
perfeitamente aplicável na prática para colorir qualquer mapa com cinco 
cores em um número fi nito de passos.
 Curvas fechadas
Na segunda etapa são analisados mapas especiais, formados por curvas 
fechadas. O desafi o proposto é: Quantas cores são sufi cientes para colorir 
este tipo de mapa? 
fig. 9 M pintado.
W2W1
W5
W4
W3
R
 Os alunos terão a possibilidade de desenhar seus próprios mapas e 
chegarão à conclusão de que, neste caso, duas cores são suficientes. No 
Fechamento é apresentada uma demonstração para esse fato.
No fechamento do experimento é proposto um método para colorir qual-
quer mapa formado por uma curva fechada utilizando apenas duas cores. 
Este método pode ser considerado como uma demonstração do resultado 
obtido na Etapa 2. O procedimento apresentado utiliza argumentos bas-
tante simples e certamente será compreendido e apreciado pelos alunos. 
 Para encerrar, é proposto um desafio. Na verdade, um super desafio. 
O mapa proposto nesse encerramento foi apresentado em 1º de abril de 
1975, por Martin Gardner, editor por muitos anos da coluna de jogos mate-
fig. 10 Exemplo de mapa formado por curvas fechadas.
máticos da revista Scientific American. Gardner publicou o mapa com a 
alegação de que eram necessárias cinco cores para colori-lo. Obviamente 
se tratava de uma brincadeira de 1º de Abril. No entanto, se passou um bom 
tempo até que uma solução com quatro cores fosse conhecida. Portanto, 
não esperamos que alguém resolva o desafio imediatamente. Mas, afinal, 
para que servem os desafios?
Os jogos propostos no Fechamento podem ser utilizados como motivação 
inicial do experimento.
 Para tornar os jogos mais difíceis, pode ser sugerido aos alunos con-
siderar o oceano como uma grande região que também deve ser colorida 
(isso foi incluído na demonstração do Teorema das Cinco Cores, mas não 
estava explicitamente dito no Experimento).
Courant, Richard; Robbins, Herbert. What is mathematic? An Elementary 
Approach to Ideas and Methods. Oxford University Press: New York, 1996.
Ficha técnica
Ministério da 
Ciência e Tecnologia
Ministério 
da Educação
Secretaria de 
Educação a Distância
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática, 
Estatística e Computação 
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
Universidade Estadual 
de Campinas
Reitor
Fernando Ferreira Costa
Vice-Reitor
Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação
Euclides de Mesquita Neto
licença Esta obra está licenciada sob uma licença Creative Commons 
Autor
Cristiano Torezzan
Revisores
Matemática
Antônio Carlos Patrocínio 
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Projeto gráfico 
e ilustrações técnicas 
Preface Design
Ilustrador
Lucas Ogasawara de Oliveira