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Revisão de Pré-Cálculo
NÚMEROS REAIS E OPERAÇÕES
Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni
 Departamento de Matemática, FEG, UNESP
Lc. Ismael Soares Madureira Júnior
 
Guaratinguetá, SP, Outubro, 2016
Direitos reservados. Reprodução autorizada desde que citada a 
fonte.
OBJETIVOS
● Manipular corretamente expressões 
algébricas.
● Relembrar as regras da aritmética.
● Relembrar alguns produtos notáveis, expansões 
e fatorações.
● Destacar o papel das potências com expoentes 
fracionários e negativos na representação de 
radicais e inverso multiplicativo de potências. 
3
Aritmética
3
1. Comutativa
Adição: a + b = b + a
Multiplicação: a.b = b.a
2. Associativa
Adição: (a + b) + c = a + (b + c)
Multiplicação : (a.b).c = a.(b.c)
3. Elemento Neutro
Adição: a + 0 = a
Multiplicação: a.1 = a
Sejam a, b e c números reais, variáveis ou expressões algébricas.
4. Elemento Inverso
Adição: a + (– a ) = 0
Multiplicação: a . (1/a) = 1 , a ≠ 0
6. Distributiva
Multiplicação com relação à adição:
a.(b + c) = a.b + a.c
JRRZ & ISMJ
4
Aritmética
Subtração é a adição com o oposto (inverso aditivo)
a – b = a + (- b)
Divisão é a multiplicação pelo inverso multiplicativo 
(b ≠ 0)
a ÷ b = a . (1/b)
Assim, a subtração e a divisão são casos particulares da adição 
e da multiplicação, não sendo portanto novas operações. 
 
5
PRODUTOS NOTÁVEIS
5
Quadrado da soma de dois termos: 
(x + y)² = (x + y).(x + y) = x² + 2.x.y + y²
Produto da soma pela diferença de dois termos 
(x + y).(x – y) = x² – y² 
Cubo da soma de dois termos:
(x + y)³ = (x+y).(x+y)² = x³ + 3.x².y + 3.x.y² + y³
Quadrado da diferença de dois termos:
(x – y)² = (x – y).(x – y) = x² – 2.x.y + y²
Cubo da diferença de dois termos:
(x – y)³ = (x – y).(x – y).(x – y) = x³ – 3.x².y + 3.x.y² – y³ 
JRRZ & ISMJ
6
PRODUTOS NOTAVEIS 
 
1) A expansão para 
 pode ser obtida da expansão para 
 substituindo y por – y.
2) Expansão do binômio 
 coeficientes binomiais
(x− y)2
(x+ y)2(x+ y)2
(x+ y)n = ∑
k=0
n
( nk) . x
n−k . yk
( nk ) =
n!
(n−k )! . k !
7
PRODUTOS NOTAVEIS - ÁLGEBRA GEOMÉTRICA
 
(x + y)² = x² + 2.x.y + y²
JRRZ & ISMJ
8
Fatoração
 k.a + k.b = k.(a + b) 
 k.a + k.b + m.a + m.b = (k + m).(a + b) 
 a² + 2ab + b² = (a + b)²
 
 a² – b² = (a – b).(a + b)
 a³ – b³ = (a – b).(a² + ab + b²)
9
ÁLGEBRA - EXEMPLOS 
 Simplifique as expressões abaixo (fatore ou expanda)
1) 
2)
3) 
4)
 
x2 + b.x + b2/4
x3−7.x
(x+h)3 − x3
JRRZ & ISMJ
(x+ y)4
10
Frações
10
wv
zu
w
z
v
u
z
w
v
u
zv
wu
z
w
v
u
zv
wvzu
z
w
v
u
v
wu
v
w
v
u
.
.
/.4
.
.
.3
.
..
.2
.1




Sejam u, v, w e z números reais, variáveis ou expressões algébricas. 
Todos os denominadores são considerado como diferentes de zero.
11
ÁLGEBRA - EXEMPLOS 
 Simplifique as expressões abaixo 
1)
2) (coloque sob o mesmo denominador )
3) (idem)
4) (separe as frações) 
1
x−2
+
x
x+3
(x+h)2− x2
h
1 +
x ²
a ² − x ²
2x+3
x−1
JRRZ & ISMJ
12
Potenciação
12
Sejam u e v números reais, variáveis ou expressões algébricas. 
Considere m e n números inteiros positivos.
Definição (produto de n fatores iguais a u)
Produto de potências na mesma base 
Distributiva
Potência de uma potência
Observação (observe a posição dos parênteses)
un .um = un+m
(u.v)n = un . vn
(un)m = un.m
un = u.u...u
(un)m ≠ u(n
m)
13
Potenciação - Exercícios
13
1) Prove as propriedades da potenciação a partir da definição.
2) Expanda a seguinte expressão 
3) Escreva a expressão abaixo como uma soma de potências 
em x
(1 + 2 x2+ x4) ²
x (2 + √x + x3)
JRRZ & ISMJ
14
Potenciação – Expoentes Negativos
14
Expoente Zero
Expoente Negativo
Divisão na mesma base
Distributiva
un
um
= un−m
u−n = 1 /un
u0 = 1
( uv )
n
=
un
vn
JRRZ & ISMJ
15
Radicais 
15
Sejam u >= 0, v >= 0 e n um inteiro positivo
Definição
Operações inversas
Distributiva
Raiz de uma Raiz
Raiz de uma potência 
Consideração 
 
y =
n
√ u se yn = u
n
√ u.v =
n
√ u .
n
√ v
n√ m√ u = n.m√ u
( n√ u )
n
=
n√ un = u
n
√ um = ( n√ u )
m
n
√ u > 0 para u>0
16
Radicais – argumento negativo 
16
Se u < 0 então existe (nos reais) apenas para n ímpar. 
Definição é a mesma e as propriedades continuam válidas. 
Observe que se u < 0 e n é par então existe.
Neste caso 
Se u < 0 e v < 0 então u.v > 0 e existe para todo n inteiro 
positivo mas a distributiva só é válida para n ímpar. 
 
n
√ u
un>0 e
n√ un
n√ un = ∣u∣ = −u
n√ u.v
17
Radicais e Potenciação – Expoentes Fracionários
17
Sejam m e n inteiros e considere que a raiz enésima de u exista
Notação
Deste modo, as propriedades dos radicais são equivalentes as 
propriedades das potências.
u1/n =
n
√ u
um/n = ( um)
1/n
=
n√ um
um/n = ( u1/n )
m
= ( n√ u )
m
JRRZ & ISMJ
18
Radicais e Potenciação – Exemplos
18
 Nos exercícios 1 e 2 use a notação de potências fracionárias para 
reescrever as expressões com raízes. 
1) Verifique 
2) Simplifique 
3) Elimine as raízes do denominador 
Dica: multiplique e divida por 
2.a .b
√a − √b
√a + √b
√ax = ax /2
(4 − x2)√4 − x ² −
1
3
(4 − x ²)3/2
19
Radicais e Potenciação – Exemplos
19
4 e 5) Faça as substituições indicadas e reescreva as expressões em 
termos da variável u
4) substitua u = x – 3. 
5) substitua u = x^2 + 1. 
6) Considere u > 0. Mostre que 
Dica: use as propriedades dos radicais e das potências para desenvolver o 
lado direito.
x. √ x−3
x. √ x2+1
n
√ u .
m
√ u =
n.m√ un+m
JRRZ & ISMJ
20
 Softwares para Computação Científica
Disponíveis online (gratuitos)
● Wolfram Alpha
● Geogebra
Capacidades algébrica e gráfica
Comandos do tipo
Expanda, Fatore, Simplifique, Resolva, ...
21
 Wolfram Alpha
● Expand (x + y)^3
● Expand (a + b)*(a - b)
● Simplify 1 + x^2/(a^2 – x^2)
● Simplify (4 – x^2)*sqrt(4 – x^2) – 1/3 (4 – 
x^2)^(3/2)
● Factor x^2 + 2x - 35
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