LISTA I - Inducao

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UFOP - Universidade Federal de Ouro Preto
ICEB - Departamento de Matemática
Análise I - MTM 286 - 2022
LISTA I - Análise I
1. Considere a aplicação sucessor, s : N→ N que associa a cada número natural seu sucessor. Utilize o terceiro
axioma de Peano para provar que s não possui ponto fixo, isto é, N − {1} é a imagem de s, mas não existe
natural n tal que s(n) = n .
2. Use indução para provar a lei do cancelamento para soma e para o produto de números naturais, isto é, dados
naturais m, n e p, temos
p+ n = p+m ⇐⇒ m = n ⇐⇒ p . . . n = p ·m.
3. Prove o Algoritmo da Divisão de Naturais usando indução,isto é, dados m,n ∈ N tais que 1 < m < n, se n
não for algum múltiplo de m, então existirão únicos naturais q e r tais que n = mq + r e r < n.
4. Mostre que 2
n
n! <
1
n se, e só se,n ≥ 6, mas que
2n
n! ≤
4
n con n ∈ N
5. Usando PIM, mostre a validade das seguintes igualdades, qualquer que seja n:
(a)
n∑
k=1
(2k − 1) = 1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2
(b)
n∑
k=1
2k = 2 + 4 + 6 + · · ·+ 2n = n(n+ 1)
(c)
2n∑
k=1
k = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n = 1
2
n(n+ 1)
(d)
n∑
k=1
2k = 2 + 22 + 23 + · · ·+ 2n = 2(2n − 1)
(e) 1 +
n∑
k=1
2k = 1 + 2 + 22 + 23 + · · ·+ 2n = 2n+1 − 1.
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