Valor absoluto

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Números reais e desigualdades
Professor Veneza
Valor absoluto ou módulo
Antes de iniciarmos a definição de valor absoluto, é importante nos
familiarizarmos com uma forma mais compacta de escrever desigualdades.
Definição 1 Se a, b, c ∈ R
(i) a < b < c se e somente se a < b e b < c
(ii) a < b ≤ c se e somente se a < b e b ≤ c
(iii) a ≤ b < c se e somente se a ≤ b e b < c
(vi) a ≤ b ≤ c se e somente se a ≤ b e b ≤ c
Vamos ver a partir da definição de Valor absoluto que a ideia dessa forma de
escrever números é tomar a distância entre o número zero e o número que
desejamos escrever em módulo. Observe
Definição 2 O módulo ou valor absoluto de x denotado por |x| é dado por
|x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
Exemplo 1 Qual é o módulo de |5| e | − 8|
Pela definição, |5| = 5 e | − 8| = 8
Da definição surgem várias propriedades importantes, vou listar algumas
Propriedade 1 |x| < a se e somente se −a < x < a onde a > 0
Propriedade 2 |x| ≤ a se e somente se −a ≤ x ≤ a onde a > 0
Propriedade 3 |x| > a se e somente se x > a ou x < −a onde a > 0
Propriedade 4 |x| ≥ a se e somente se x ≥ a ou x ≤ −a onde a > 0
Exemplo 2 Qual é o conjunto-solução da inequação |x− 5| < 6
Solução
Pela propriedade 1, temos que −6 < x− 5 < 6, somando 5 em cada uma das
desigualdades temos que −1 < x < 11. Logo o conjunto-solução é dado por
(−1, 11).
1
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Aqui, imagino que muitos alunos tenham dificuldade nessa passagem por não
saber operar (somar,subtrair, multiplicar e dividir) números inteiros, pois
temos que fazer a seguinte operação −6 + 5, onde o primeiro número pode ser
interpretado como 6 passos a esquerda e o segundo como 5 passos a direita,
dessa forma é posśıvel compreender que o corpo que se move ficará 1 passo a
esquerda. Portando −6 + 5 = −1.
Exemplo 3 Qual é o conjunto-solução da inequação |3x− 5| ≥ 4
Solução
Pela propriedade 4, temos que 3x− 5 ≥ 4 ou 3x− 5 ≤ −4, somando 5 e
dividindo por 3 encontramos x ≥ 3 ou x ≤ 13 . Logo o conjutno-solução é dado
por (−∞, 13 ] ∪ [3,∞)
Propriedade 5 Se a, b ∈ R, então |ab| = |a|.|b|
Propriedade 6 Se a, b ∈ R, então |ab | =
|a|
|b|
Propriedade 7 Se a, b ∈ R, então |a+ b| ≤ |a|+ |b|
Propriedade 8 Se a, b ∈ R, então |a− b| ≤ |a|+ |b|
Propriedade 9 Se a, b ∈ R, então |a| − |b| ≤ |a− b|
Exemplo 4 Qual é o valor de x na inequação |7x| = 4− x
Solução
Pela propriedade 5, temos que |7x| = |7|.|x| = 4− x, que é igual a |x| = 4−x7 ,
dai, pela definição temos que x = 4−x7 , se x > 0 e −x =
4−x
7 , se x < 0.Logo,
simplificando, temos que x = 12 ou x =
−2
3 .
2