[Portfolio] Cálculo 2 - Integrais Triplas, Integrais de Linha e Integrais de Superfície [2]

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Questão 1
Pelo Teorema de Green:
Neste caso, a curva C é a circunferência de raio 3 na abertura γ(0). Ou seja:
Ou seja, trata-se da circunferência no plano xOz com centro em (10,0,0) e raio 3. Como ela está neste plano, sua coordenada y será constante e igual a 0, enquanto sua equação é
A parametrização desta curva é:
Esta parametrização faz com que a curva C tenha orientação anti-horária, ou seja, positiva.
Assim:
Com
Então:
E:
Assim:
Portanto:
Usando a propriedade trigonométrica
Temos
Fazendo
Se t=0, u=0; Se t=2π, u=4π. Então:
Portanto:
Resposta correta: 28.274
Questão 2
Usando uma integral dupla para calcular o volume, temos:
Sendo a região R dada por:
Completando quadrados:
Temos uma região elíptica, então fazemos:
Assim:
Portanto, agora temos uma região S no plano-uv definida pela circunferência de raio 1.
Temos então:
Temos 
E para encontrar o jacobiano precisamos das derivadas:
Então:
Então:
Transformando para coordenadas polares:
A região S é definida por:
Então
Resolvendo esta integral externamente:
Resposta: 113.49945938889
Questão 3
Pelo Teorema da Divergência:
Em que G é uma região tridimensional qualquer envolta pela superfície fechada S. Tomamos aqui o caso mais simples, em que G é uma esfera de raio R e centro a origem, onde se encontra a carga puntiforme Q. Neste caso, temos:
Então o campo elétrico pode ser escrito como
Neste caso, o divergente é:
Assim:
A integral tripla de dV sobre G é, por definição, igual ao volume da região G, ou seja, o volume da esfera de raio R, dado por
Portanto:
Questão 4
Como o integrando é independente de z e os limites de integração em z são constantes, podemos fazer dV=dz*dA e então:
Sendo agora R a região do plano-xy dada por
Ou seja, uma elipse. Vamos fazer uma mudança de variáveis de x e y para u e v usando o método do Jacobiano, transformando esta elipse em uma circunferência para que possamos aplicar coordenadas polares para obter a integral dupla.
Fazemos:
Então:
Ou seja, uma circunferência de raio 1, que chamaremos de região “S”, mas agora no plano-uv. Temos então:
Temos 
E para encontrar o jacobiano precisamos das derivadas:
Então:
Portanto:
Usando coordenadas polares:
Como a região é uma circunferência de raio 1, temos:
Então:
Novamente, podemos fazer
Portanto:
Voltando ao início, temos que:
A outra integral é:
Portanto:
Resposta correta: 2375.0440461139
Questão 1
 
 
Pelo Teorema de Green:
 
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?
·
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=
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·
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Neste caso, a curva C é a circunferência de raio 3 na abertura 
γ(0). Ou seja:
 
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0
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=
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10
cos
?
0
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,
10
sin
?
0
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,
11
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0
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?
=
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10
,
0
,
0
?
 
Questão 1 
 
Pelo Teorema de Green: 
????????·????
??
=??·????
??
 
Neste caso, a curva C é a circunferência de raio 3 na abertura γ(0). Ou seja: 
??0=10cos0,10sin0,110=10,0,0