AD1-A1-2011-1-Gabarito

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Álgebra I
AD1 - Primeira Avaliação a Distância - Aulas 1 a 6
Questão 1: (2, 0 pontos) Demonstre a seguinte igualdade
(A×B) \ (C ×D) = [(A \ C)×B] ∪ [A× (B \D)]
Solução: Mostremos inicialmente que
(A×B) \ (C ×D) ⊂ [(A \ C)×B] ∪ [A× (B \D)] .
Tomemos então um elemento arbitrário (a, b) ∈ (A×B)\(C ×D), das definições de produto
cartesiano e diferença entre conjuntos vem que a ∈ A, b ∈ B e ou a /∈ C ou b /∈ D.
Se a /∈ C, como a ∈ A, tem-se que a ∈ A \ C e como b ∈ B então concluimos que
(a, b) ∈ (A \ C)×B.
Analogamente se b /∈ D, como b ∈ B então b ∈ B \ D e como a ∈ A então (a, b) ∈
[A× (B \D)].
Conclusão
(a, b) ∈ [(A \ C)×B] ∪ [A× (B \D)] .
Vamos mostrar agora a inclusão contrária, isto é,
[(A \ C)×B] ∪ [A× (B \D)] ⊂ (A×B) \ (C ×D) .
Tomemos agora (a, b) ∈ [(A \ C)×B] ∪ [A× (B \D)], dáı vem que (a, b) ∈ (A \ C)×B ou
(a, b) ∈ A× (B \D).
Se (a, b) ∈ (A \ C) × B então a ∈ (A \ C) e b ∈ B donde conclui-se que a ∈ A, a /∈ C e
b ∈ B, ou seja, (a, b) ∈ A×B e (a, b) /∈ (C ×D), isto é, (a, b) ∈ (A×B) \ (C ×D).
Se (a, b) ∈ A × (B \D) então a ∈ A e b ∈ B \ D, assim a ∈ A, b ∈ B e b /∈ D donde
concluimos que (a, b) ∈ (A×B) \ (C ×D).
Questão 2: Para n, i ∈ N, definimos n
i
 =

n!
i! (n− i)!
, se n ≥ i
0, se n < i
1
(a) (1, 0 ponto) Mostre que para todo par n e i, de números naturais não nulos, vale a relação n
i− 1
 +
 n
i
 =
 n + 1
i
 ,
conhecida como Relação de Stifel.
(b) (1, 0 ponto) Utilizando o Prinćıpio de Indução e o item anterior, mostre que dado um
par n e i de números naturais quaisquer, o número
 n
i
 é natural.
Solução:
(a) Observe inicialmente que o número binomial
(
n
i
)
não tem sentido quando i < 0. Se
n = 1 então i = 1 (porque a fórmula não faz sentido para i = 0) e(
1
0
)
+
(
1
1
)
= 2 =
(
2
1
)
e, portanto, a expressão é verdadeira neste caso.
Suponha que a expressão seja verdadeira para algum número natural, chamemos k este
número e para todo i ∈ N− {0} com i ≤ k. Queremos mostrar que(
k + 1
i
)
+
(
k + 1
i + 1
)
=
(
k + 2
i + 1
)
.
De fato,
(
k + 1
i
)
+
(
k + 1
i + 1
)
=
(k + 1)!
i!(k − i + 1)!
+
(k + 1)!
(i + 1)!(k − i)!
=
=
k + 1
i
k!
(i− 1)!(k − i + 1)!
+
k + 1
(i + 1)i
k!
(i− 1)!(k − i)!
=
=
(k + 1)
(i + 1)
((
k
i− 1
)
+
(
k
i
))
︸ ︷︷ ︸
Hip. de Indução
+
(k + 1)
i(i + 1)
(
k
i−1
)
=
=
(k + 1)
i(i + 1)
[
i
(
k+1
i
)
+
(
k
i−1
)]
=
= (k + 1).
(k + 1)!
(i + 1)!(k − i + 1)!
+
(k + 1)!
(i + 1)!(k − i + 1)!
=
=
(k + 2)!
(i + 1)!(k − i + 1)!
=
(
k + 2
i + 1
)
.
2
(b) Observe que a afirmação é claramente válida para n = 0 e n = 1 e i qualquer, e para
i = 0 e n qualquer. Faremos então indução sobre n, para n ≥ 1 e i ≥ 1. Suponha então, por
hipótese de indução, que
 n
i
 é natural para um determinado n e para i qualquer, nas
condições estabelecidas acima. Da Relação de Stifel vem que n + 1
i
 =
 n
i− 1
 +
 n
i
 ,
que é natural pela nossa hipótese de indução.
Questão 3: (2, 0 pontos) Seja A o conjunto definido por
A = {X ⊂ Z tal que X é um conjunto limitado} .
Verifique se valem as propriedades reflexiva, anti-simétrica e transitiva para a relação definida
em A por
X ≤ Y ⇐⇒ existe x ∈ X tal que x ≤ y, qualquer que seja y ∈ Y ,
e conclua se esta é uma relação de ordem.
Solução: Observe, inicialmente, que um conjunto limitado de números inteiros é um con-
junto finito da forma X = {x1, x2, x3, x4, ...xn} e, portanto, possui um elemento mı́nimo m
e um elemento máximo M .
• É reflexiva
X ≤ X, pois X possui um mı́nimo m tal que m ≤ x, qualquer que seja x ∈ X.
• Não é anti-simétrica
Para X = {1, 2} e Y = {1, 3}, tem-se X ≤ Y e Y ≤ X, mas X 6= Y .
• É transitiva
Sejam X,Y e Z tais que X ≤ Y e Y ≤ Z. Como Y ≤ Z então existe y0 ∈ Y tal que
y0 ≤ z, qualquer que seja z ∈ Z. Por outro lado, se X ≤ Y então existe x ∈ X tal que
x ≤ y, qualquer que seja y ∈ Y . Em particular, x ≤ y0 ≤ z, qualquer que seja z ∈ Z.
Logo, X ≤ Z.
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Conclusão: Não é uma relação de ordem.
Questão 4: (2, 0 pontos) Dados n números naturais consecutivos, mostre que um e apenas
um destes números é diviśıvel por n.
Solução: Se n = 1 ou n = 2, então a afirmação é verdadeira porque 1 divide qualquer
número e para qualquer número natural a, ou bem a é par ou bem a + 1 é par. Portanto,
exatamente um dos números a, a + 1 é diviśıvel por 2. Sejam a, a + 1, · · · , a + n − 1 os n
números naturais consecutivos. Vamos mostrar que um, e somente um, deles é diviśıvel por
n. Pelo Teorema de Euclides existem inteiros d e r, com 0 ≤ r < n tais que a = n · d + r.
Logo, a + k = n · d + r + k, para todo k ∈ {0, 1, · · · , n − 1}. Como 0 ≤ r < n existe
k ∈ {0, 1, · · · , n− 1} tal que r + k = n e, portanto, a + k é diviśıvel por n para este k.
Por outro lado, não podem existir dois múltiplos de n na sequência. De fato, se b e c são
termos da sequência (suponha b < c) e n divide ambos, então n divide a c − b (confira!) e
claramente temos 0 < c− b < n. Uma contradição, já que o menor múltiplo positivo de n é
n.
Questão 5: (2, 0 pontos) Na organização de uma festa de aniversário estão dispońıveis 180
balas de caramelo, 252 balas de hortelã e 324 balas de iogurte. Pretende-se dividir as balas
em pacotes que só contenham um sabor, mas espera-se que cada pacote tenha a mesma
quantidade e que não sobre bala após a divisão. Quantas unidades, no máximo, pode haver
em cada pacote?
Solução: Seja d o número de balas que devemos colocar em cada pacote. Como cada pacote
só tem um sabor de bala, se o número de pacotes de balas de caramelo, hortelã e iogurte
são, respectivamente, q1, q2 e q3, então vale
180 = q1 · d, 252 = q2 · d, 324 = q3 · d,
isto é, d divide os três número 180, 252 e 324. Queremos que o número de balas em cada
pacote seja o maior posśıvel, ou seja, queremos que d divida os três número e que seja máximo
nesta propriedade. Logo, d = mdc(180, 252, 324) = 36.
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