Exercícios de Grupos e Subgrupos

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Álgebra 2 - Turma 1 (2022)
Lista de exerćıcios 1
Grupos e Subgrupos
1. Mostre que Z× Z = {(x, y) | x, y ∈ Z} com a operação definida por:
(a, b)⊕ (c, d) = (a+ c, b+ d) para todos (a, b), (c, d) ∈ Z× Z,
é um grupo abeliano.
2. Sejam C o conjunto dos números complexos e n um inteiro positivo. Mostre que
Cn = {(z1, z2, . . . , zn) | z1, z2, . . . , zn ∈ C},
com a operação definida por
(z1, z2, . . . , zn)⊕ (w1, w2, . . . , wn) = (z1 + w1, z2 + w2, . . . , zn + wn),
é um grupo abeliano.
3. Seja
Q =
{
±
(
1 0
0 1
)
, ±
(
i 0
0 −i
)
, ±
(
0 1
−1 0
)
, ±
(
0 i
i 0
)}
,
onde i2 = −1. Construa a tábua de Q e mostre que Q com a operação de multiplicação de matrizes é um
grupo não abeliano. Este grupo é chamado grupo dos quatérnios.
4. Mostre que G = R \ {−1} com a operação ∗ definida por:
a ∗ b = a+ b+ ab, ∀a, b ∈ G
é um grupo. É abeliano?
5. Sejam (G, ∗) e (J, •) grupos. Mostre que o produto cartesiano G× J com a operação definida por:
(a, b)� (c, d) = (a ∗ c, b • d), ∀(a, b), (c, d) ∈ G× J
é um grupo. Esse grupo é chamado produto direto (externo) de G e J . Quando as operações em G e J
são ambas de adição, escrevemos (a, b)⊕ (c, d) no lugar de (a, b)� (c, d).
6. Construa a tabela dos produtos diretos Z2 × Z2 e Z2 ×D6.
7. Sejam Rθ : IR
2 → IR2, definida por Rθ(x, y) = (xcosθ− ysenθ, xsenθ+ ycosθ), e β : IR2 → IR2, dada por
β(x, y) = (x,−y), isto é, Rθ é a rotação em torno da origem segundo o ângulo θ e β é a reflexão em torno
do eixo Ox. Mostre que
(i) Rθ e β são isometrias em IR
2, ie, são funções bijetoras que preservam distância.
(ii) (Rθ)
k = Rkθ, para todo inteiro k ≥ 1 ;
(iii) se α = R2π/n, onde n ≥ 3 é um inteiro, então,
αn = I (I = transformação identidade), β2 = I e αj ◦ β = β ◦ αn−j ,
para j = 1, 2, ..., n− 1.
(iv) Monte a tábua de D8 = {I, α, α2, α3, β, β ◦α, β ◦α2, β ◦α3} com a operação de composição de funções
e verifique que (D8, ◦) é um grupo, onde α = Rπ/2.
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8. Mostre que na tábua de um grupo finito (G, ∗), cada elemento de G aparece uma única vez em cada linha
e em cada coluna. (Sugestão: use as leis de cancelamento).
9. Seja (G, ∗) um grupo com elemento neutro e. Mostre detalhadamente que
(i) se a ∈ G e a ∗ a = a, então a = e.
(ii) se x2 = e para todo x ∈ G, então G é abeliano.
(iii) se x1, x2, . . . , xn são elementos de G tais que x1 ∗ x2 ∗ . . . ∗ xn = e, então x2 ∗ x3 ∗ . . . ∗ xn ∗ x1 = e.
10. Mostre que se (G, ∗) é um grupo, então {e} e G são subgrupos de G. Estes subgrupos são chamados de
subgrupos triviais de G.
11. Verifique se são subgrupos:
(a) {x ∈ Q | x > 0} de (Q∗, ·);
(b)
{
1+2m
1+2n | m,n ∈ Z
}
de (Q∗, ·);
(c) {z ∈ C | |z| = 1} de (C∗, ·);
(d) {a+ b
√
2 | a, b ∈ Q} de (R,+);
(e) {I, α2, β, β ◦ α2} de (D8, ◦);
(f) {I, α, β, β ◦ α} de (D8, ◦);
(g) Z[i] = {a+ ib | a, b ∈ Z} de (C,+).
12. Seja
H =
{(
cos a sen a
−sen a cos a
)
: a ∈ R
}
.
Mostre que H é um subgrupo do grupo linear (GL2(R), ·).
13. Verifique que se G é um grupo e H,K são subgrupos de G com H ⊆ K, então H é também subgrupo de
K.
14. Verifique que o conjunto das matrizes do tipo
(
a b
−b a
)
, onde a e b são números reais não simultanea-
mete nulos, é um subgrupo de (GL2(R), ·).
15. Verifique que SLn(R) = {A ∈ GLn(R) | det(A) = 1} é um subgrupo de (GLn(R), ·).
16. Mostre que se H e K são subgrupos de um grupo G, então H ∩K é um subgrupo de G.
17. Mostre que se H é um subgrupo do grupo aditivo Z, então existe um inteiro m ≥ 0 tal que H = mZ,
onde mZ = {mk | k ∈ Z}.
Sugestão: para H 6= {0}, tome m como sendo o menor inteiro positivo tal que m ∈ H.
18. Seja G um grupo multiplicativo. Mostre que
(i) Z(G) = {x ∈ G | ax = xa, ∀a ∈ G} é um subgrupo de G. Chamamos Z(G) de centro do grupo G.
(ii) G é abeliano se, e somente se, Z(G) = G.
(ii) se H é um subgrupo de G e x ∈ G, então xHx−1 = {xhx−1 | h ∈ H} é um subgrupo de G. Este
subgrupo é chamado subgrupo conjugado de H por x.
(iii) Determine Z(D6), Z(D8) e Z(Q), onde Q é o grupo dos quatérnios.
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Homomorfismos
1. Considere os seguintes grupos: (Z,+), (R,+), (C∗, ·), (R∗, ·), (Z × Z,+) e (M2×2(R),+). Verifique, em
cada caso, se f é um homomorfismo de grupos, se é injetora e se é sobrejetora.
(i) f : Z→ Z, dada por f(x) = mx, para todo inteiro x, sendo m um inteiro dado. (para sobrejetividade
analise os casos: m = 0, |m| = 1 e |m| ≥ 2)
(ii) f : R∗ → R∗, dada por f(x) = |x|, para todo x ∈ R∗ o grupo multiplicativo dos reais.
(iii) f : C∗ → R∗, definida por f(z) = |z|, onde |a+ ib| = (a2 + b2)1/2
(iv) f : Z→ C∗, dada por f(m) = im, para todo inteiro m
(v) f : C∗ → C∗, definida por f(z) = z, onde a+ ib = a− ib
(vi) f : R∗ → R∗, dada por f(x) = x2
(vii) f : R→ R, dada por f(x) = 2x+ 5
(viii) f : Z× Z→ Z, tal que f(a, b) = 2a+ 3b
(ix) f : Z→ Z× Z, tal que f(a) = (a, 0)
(x) f : Z→ Z× Z, dada por f(a) = (a, 2a)
(xi) f : Z× Z→ Z× Z, dada por f(a, b) = (−b, a)
(xii) f : M2×2(R)→M2×2(R) dada por f
(
a b
c d
)
=
(
d 2b
2c a
)
.
2. Determine o núcleo de cada homomorfismo do exerćıcio acima.
3. Suponha que G seja um grupo multiplicativo abeliano. Mostre que f : G → G, dada por f(x) = x−1, é
um homomorfismo de grupos.
4. Sejam (G, ∗) e (J,4) grupos e f : G→ J um homomorfismo. Mostre que
(i) se x1, x2, . . . , xn ∈ G, então f(x1 ∗ x2 ∗ . . . ∗ xn) = f(x1)4f(x2)4 . . .4f(xn)
(ii) f(xk) = (f(x))k, para todo x ∈ G e todo inteiro k.
(iii) se K é um subgrupo de J , então f−1(K) = {x ∈ G : f(x) ∈ K} é um subgrupo de G
5. Mostre que o grupo (ZZ4,⊕) não é isomorfo ao produto direto ZZ2 × ZZ2;
6. Mostre que os grupos
H =
{(
cos a sen a
−sen a cos a
)
: a ∈ R
}
e J = {z ∈ C∗ | |z| = 1}.
são isomorfos.
7. Seja f : X → Y uma função bijetora. Mostre que a função φ : SX → SY , definida por φ(g) = f ◦ g ◦ f−1,
é um isomorfismo de grupos.
8. Um automorfismo de um grupo G é um isomorfismo de G em G. Mostre que
Aut(G) = {f |f é um automorfismo de G}
com a operação de composição de funções é um grupo. Este grupo é chamado grupo de automorfismos
de G.
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