03-Sentenças Abertas e Quantificadores

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Sentenças Abertas e Quantificadores
ma sentença aberta p(x) é aquela cujo valor lógico depende de
uma variável x (ou mais de uma). Por exemplo:
• p(x): x + 1 = 7
Para x = 6 é verdadeira, mas para x = 5 é falsa.
 
• p(y): y é um número natural e y > 2
Para y = 5 é verdadeira, mas para y = 1 é falsa.
 
• p(Q): Q é um polígono que possui um ângulo interno de 90º.
Se Q é um triângulo retângulo, um quadrado... é verdadeira, mas se
Q for um triângulo equilátero, então a sentença é falsa.
 
• p(x,y): x, y ∈ R e x > y 
Para (x, y) = (2, 1) é verdadeira, mas para (x, y) = (0, 5) é falsa.
 
O conjunto-verdade Vₚ de uma sentença aberta p(x) é o conjunto de
todos os elementos/valores/objetos a tais que p(a) é uma proposição
verdadeira. Nos exemplos anteriores temos que os conjuntos-verdade
são, respectivamente, Vₚ = {6}, Vₚ = {y ∈ N ; y > 2} = {3, 4, 5, 6...}, Vₚ =
polígonos que possuem um ângulo interno reto , Vₚ = {(x, y) ∈ R²; x > y}
 
Sendo A o conjunto de todos os possíveis valores/objetos da variável x da
sentença aberta p(x), temos três possibilidades:
• p(x) é verdadeira para todo x ∈ A. Neste caso Vₚ = A e p(x) é
uma propriedade universal no conjunto A.
• p(x) é verdadeira somente para alguns x ∈ A. Neste caso Vₚ é um
subconjunto próprio de A e p(x) é uma propriedade possível no
conjunto A.
• p(x) é falsa para todo x ∈ A. Neste caso, Vₚ = Ø e p(x) é
uma propriedade impossível no conjunto A.
Para atribuir um valor-lógico às sentenças abertas, usamos os
quantificadores. O quantificador universal é indicado pelo símbolo e lê-
se: “para todo”, ou “qualquer que seja”. Por exemplo:
• (∀x ∈ N) (x + 5 = 7)
“Para todo número natural x, temos que x + 5 = 7.” 
Valor-lógico: Falso.
 
• ∀y ∈ R, y² + 1 > 0
“Para todo número real y, temos que y² + 1 > 0.”
Valor-lógico: Verdadeiro.
 
• 2z > z, ∀z∈N
“O dobro de z é maior do que z, para todo número natural z.”
Valor-lógico: Verdadeiro.
Se p(x) é uma sentença aberta em A, então o quantificador a torna uma
proposição (∀x ∈ A) (p(x)).
• Se Vₚ = A, a proposição é verdadeira;
• Se Vₚ ≠ A, a proposição é falsa.
 
O quantificador existencial é indicado pelo símbolo ∃! e lê-se: “existe”,
ou “existe pelo menos um”.
 
• (∃ x ∈ N) (x + 5 = 7)
“Existe um número natural x tal que x + 1 = 7.”
Valor-lógico: Verdadeiro.
 
• ∃ y ∈ R; y² + 1 < 0
“Existe um número real y tal que y² + 1 < 0.”
Valor-lógico: Falso
 
• ∃ z ∈ Z; 2z < z
“Existe um número inteiro z tal que o dobro de z é menor do que z”
Valor-lógico: Falso
 
Se p(x) é uma sentença aberta em A, então o quantificador ∃ a torna uma
proposição (∃ x ∈ A) (p(x)).
• Se Vₚ ≠ Ø, a proposição é verdadeira;
• Se Vₚ = Ø, a proposição é falsa.
 
Quando o quantificador existencial é escrito ∃! significa que além da
existência, é garantida a unicidade, e lê-se “existe e é único” ou “existe
apenas um”.
• (∃! x ∈ N) (x + 5 = 7)
“Existe um único número natural x tal que x + 1 = 7.”
Valor-lógico: Verdadeiro
 
• ∃! y ∈ R; y² + 1 < 0
“Existe um único número real y tal que y² + 1 < 0.”
Valor-lógico: Falso
 
• ∃! z ∈ Z; 2z < z
“Existe apenas um número inteiro z tal que o dobro de z é menor do que
z."
Valor-lógico: Falso
 
Se p(x) é uma sentença aberta em A, então o quantificador ∃! a torna
uma proposição (∃x! ∈ A) (p(x)).
• Se Vₚ = {a} a proposição é verdadeira;
• Se Vₚ ≠ {a} , a proposição é falsa.
 
 
Atividade extra
No livro “Iniciação à Lógica Matemática”, de Edgard de Alencar Filho, o
autor esmiúça o estudo das sentenças abertas com várias variáveis. A
atividade extra desta aula é a leitura do capítulo 14 deste livro.
 
Referência Bibliográfica
Iezzi, Gelson Carlos Murakami. Fundamentos de Matemática Elementar,
1: Conjuntos, Funções. 9ª edição. Editora Atual. São Paulo, 2013.
Alencar Filho, Edgard de. Iniciação a Lógica Matemática. Editora Nobel.
São Paulo, 2002.
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