RESUMO ALGEBRA LINEAR

Prévia do material em texto

ALGEBRA LINEAR
Soma de vetores
● Método do polígono: une a extremidade de um vetor ao outro
● Ao fechar o polígono, a soma é o vetor nulo
● Método do paralelogramo:une as origens dos dois vetores
Combinação Linear: Escrever um vetor em termos de outros vetores;
● Um conjunto de vetores é Linearmente Dependente se um dos elementos for
combinação linear dos outros;
● Caso contrário, Linearmente Independente;
● Teste: Encontrar coeficientes não nulos que igual o conjunto de vetores ao vetor nulo
● Ao escalonar a matriz formada pelos vetores, se tiver alguma linha ou coluna
formada por zeros, é LD
Produto Escalar
●
Produto Vetorial
Produto Misto
● Vale zero se um dos vetores for nulo, ou se
dois deles são colineares (paralelos);
● Equivalentes na ordem cíclica;
●
Determinantes
Regra de Sarrus: Regra padrão, determinantes 2x2 e 3x3 geralmente;
Teorema de Laplace: O determinante é igual à soma dos produtos dos elementos de uma
fila pelos seus respectivos cofatores.
● Cofator: Elimina linha i e coluna j, calcula Dij;
● Ex.: matriz 3x3 - det(A) = a11.C11 + a12.C12 + a13.C13;
Escalonamento: Transformar em matriz triangular;
Teorema de Binet: o determinante do produto é igual ao produto dos determinantes, dado
que as matrizes envolvidas sejam quadradas e de mesma ordem.
Matriz inversa
● Condições: Matriz quadrada e DET 0;≠
● A.A-¹= I
● Matriz 2x2:
○ Trocar os elementos da diagonal principal;
○ Multiplicar por -1 os elementos da matriz secundária;
○ Dividir a nova matriz pelo determinante da matriz original.
● Matriz nxn, n>2:
○ Escrever a matriz ao lado da matriz identidade de mesma ordem;
○ Escalonar a original até virar identidade;
○ A matriz inversa é a que se formou no lado direito.
● Matriz transposta: Primeira linha vira primeira coluna, segunda linha vira segunda
coluna e etc.
Espaço Vetorial: conjunto não vazio equipado com as operações de soma de vetores e de
multiplicação por escalar e que satisfazem as propriedades usuais dos espaços .
Axiomas:
● Subespaço Vetorial: Contém o vetor nulo, é fechado para soma e para o produto.
● Base de um espaço vetorial V é um conjunto ordenado de vetores que geram V e
são LI. Podemos ter infinitas bases para o mesmo espaço e qualquer vetor de V
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
○ TESTE: 1º verifica se vale zero, depois se gera qualquer vetor aleatório.
Transformações Lineares
Tipo de função entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e
multiplicação por escalar. Apresenta três elementos:
● Conjunto A chamado de Domínio;
● Conjunto B chamado de Contra Domínio;
● Uma regra (fórmula) pra associar os conjuntos A e B;
● Transformação Linear: T(u+v) = T(u) + T(v); T( u) = T(u)λ λ
Núcleo de uma transformação linear
● Conjunto de elementos do domínio que zeram a TL. Análogo às raízes da função;
● Dimensão: quantidade de vetores do núcleo;
Imagem de uma transformação linear
● Todos os elementos transformados a partir do domínio de uma TL;
● Em outras palavras, são os elementos do contradomínio;
● Representa como uma combinação dos componentes separadamente.
Teorema Núcleo Imagem
TL Injetiva:
● Para cada vetor do domínio, existe uma e apenas
uma imagem;
● Leva cada valor diferente do domínio a um valor
diferente do contra domínio;
● Nunca leva dois vetores diferentes ao mesmo valor;
● Nuc (T) = 0
TL Sobrejetiva:
● Imagem é idêntica ao contradomínio;
● Todos os vetores do contradomínio estão na imagem;
● Basta comparar a dimensão da imagem com a dimensão do contradomínio;
TL Bijetiva:
● Sobrejetiva e injetiva simultaneamente;
● Se as dimensões do domínio e contradomínio são iguais;
Representação analítica
Matriz que representa a TL