Questão resolvida - O teorema de Fubini nos diz que_ se f(x,y) é contínua no retângulo [a,b]x[c,d] Então a integral dupla na região R é calculada por meio das integrais iteradas - Cálculo II

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• O teorema de Fubini nos diz que: se é contínua no retângulo . f x, y( ) a, b × c, d[ ] [ ]
Então a integral dupla na região R é calculada por meio das integrais iteradas
 
f x, y dA = f x, y dy dx = f x, y dx dy∫
R
∫ ( )
b
a
∫
d
c
∫ ( )
d
c
∫
b
a
∫ ( )
 
 Sabendo disso, determine o volume do sólido S que é delimitado pela curva 
 e os planos e os três planos coordenados.x + y + z = 42 2 x = 1, y = 1
 Comprove o teorema de Fubini para este exercício, fazendo o cálculo da integral 
dupla a partir das duas ordens de integração possíveis. Não se esqueça de 
demonstrar todos os cálculos.
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos colocar a expressão em forma de uma função do tipo ;f x, y( )
 
x + 2y + z = 4 z = 16 - x - y f x, y = 4 - x - 2y2 2 → 2 2 → ( ) 2 2
 
A integral dupla sobre a região é dada por;
 
4 - x - y dA∫
R
∫ 2 2
A região de integração é um quadrado no plano xy, como a região é limitada pelos planos R
coordenados e , esse quadrado vai da origem até em e, também, da x = 1 e y = 1 1 x
origem até, no eixo , .y 1
 
 
 A função é contínua no retângulo já que se trata de função polinomial (sendo aqui um caso 
partícular de retângulo, ou seja, um quadrado).
 
 
Assim, os limites de integração vão de 0 a 3 em x e em y; como o enunciado pede que se 
prove o teorema de Fubini, devemos provar que a igualdade abaixo é verdadeira;
 
4 - x - y dx dy = 4 - x - y dydx
1
0
∫
1
0
∫ 2 2
1
0
∫
1
0
∫ 2 2
 
Vamos, então, resolver as integrais iteradas, começando com;
 
4 - x - y dx dy = 4x - - y x dxdy
1
0
∫
1
0
∫ 2 2
1
0
∫ x
3
3
2
1
0
 
= 4 ⋅ 1 - - y ⋅ 1 - 4 ⋅ 0 - - y ⋅ 0 dy = 4 - - y dy
1
0
∫ 1
3
( )3 2 0
3
( )3 2
1
0
∫ 1
3
2
 
 
x
y
1
1
= - y dy = - y dy = y - = ⋅ 1 - - ⋅ 0 -
1
0
∫ 12 - 1
3
2
1
0
∫ 11
3
2 11
3
y
3
3 1
0
11
3
1
3
( )3 11
3
0
3
( )3
 = - =
11
3
1
3
10
3
0
Agora, fazemos a integração mudando a ordem, desta vez integrando, primeiro, em relação a
y e , em seguida, em relação a x e devemos ter o mesmo resultado, ou seja;
 
4 - x - y dydx = 4y - x y - dx =
1
0
∫
1
0
∫ 2 2 10
3
→
1
0
∫ 2 y
3
3 1
0
10
3
 
 Os valores deram iguais, provando-se verdadeira o teorema de Fubini;
 
4 - x - y dx dy = 4 - x - y dydx =
1
0
∫
1
0
∫ 2 2
1
0
∫
1
0
∫ 2 2 10
3
 
 
= 4 ⋅ 1 - x ⋅ 1 - - 4 ⋅ 0 - x ⋅ 0 - 2 dx
1
0
∫ 2 1
3
( )3
2
0
3
( )3
= 4 - x - dx = 4 - - x dx = - x dx = - x dx
1
0
∫ 2 1
3
1
0
∫ 1
3
2
1
0
∫ 12 - 1
3
2
1
0
∫ 11
3
2
0
= - x dx = - x dx = x - = ⋅ 1 - - ⋅ 0 -
1
0
∫ 12 - 1
3
2
1
0
∫ 11
3
2 11
3
x
3
3 1
0
11
3
1
3
( )3 11
3
0
3
( )3
 = - =
11
3
1
3
10
3
0
(Resposta )