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AE Rosa Maria Salani Mota 1 
Amostragem Estratificada (AE) 
Estrutura da Amostragem estratificada : 
•Divisão da população em subpopulações bem definidas (estratos). 
•Em cada estrato realiza-se uma amostragem independente dos 
demais estratos. 
•Em cada estrato, usam-se estimadores convenientes para os 
parâmetros populacionais de interesse. 
•Monta-se para a população um estimador, combinando-se os 
estimadores de cada estrato, e determinam-se suas propriedades. 
 
AE Rosa Maria Salani Mota 2 
Amostragem Estratificada 
•Na amostragem aleatória simples, uma única estimativa é obtida 
para toda a população alvo. 
Porem, para cada estrato, é obtida uma estimativa que, dada a 
maior homogeneidade dos estratos, geralmente é mais precisa que 
a estimativa da ACS para a população alvo. 
•A estimativa para população alvo é obtida pela combinação 
ponderada das estimativas dos estratos. 
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Notação : 
Seja a população alvo Ω e Ωh Ω o estrato h, h=1,2,...,L 
Seja o vetor de dados populacionais d = (y11; ...; y1N1 ; ... ; yhi ; ... ; yLNL ) 
• Nh o tamanho populacional no estrato h N o tamanho da 
população, N = h=1 Nh (soma do tamanho populacional dos estratos) 
• Th = : total populacional no estrato h 
 
• : média populacional no estrato h 
 
Estimação na AE 
μh = 
 𝑦𝑖ℎ
𝑁ℎ
𝑖=1
𝑁ℎ
= 
𝑇ℎ
𝑁ℎ
 = 𝑌 ℎ 
 𝑦𝑖ℎ
𝑁ℎ
𝑖=1
 
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• 2h = : variância populacional 
do estrato h 
• 
Então: 
 : total populacional 
 
 
média populacional 
 
Estimação na AE- notação 
1
𝑁ℎ 
 (𝑌𝑖ℎ − 𝜇ℎ)
2 =
𝑁ℎ − 1
𝑁ℎ 
𝑆ℎ
2
𝑁ℎ
𝑖=1
 
𝑇 = 𝑇ℎ
𝐿
ℎ=1 = 𝑦𝑖ℎ
𝑁ℎ
𝑖=1
𝐿
ℎ=1 = 𝑁ℎ𝑌 ℎ
𝐿
ℎ=1 
𝜇 = Ῡ = 
𝑇
𝑁
 = 
1
𝑁 
 𝑇ℎ
𝐿
ℎ=1 =
1
𝑁 
 𝑁ℎ𝜇ℎ =
𝐿
ℎ=1 
𝑁ℎ
𝑁
𝜇ℎ = 𝑊ℎ𝜇ℎ
𝐿
ℎ=1
𝐿
ℎ=1 
Wh =
Nh
N
 : peso relativo do estrato h com Wh
𝐿
ℎ=1 = 1 
AE Rosa Maria Salani Mota 5 
 
 2= 
 
2= 
 
2 = 
Onde 
 
e S2 = 
 
 
Estimação na AE- notação 
1
𝑁 
 (𝑌𝑖ℎ − 𝜇)
2 =
1
𝑁 
 (𝑌𝑖ℎ − 𝜇ℎ + 𝜇ℎ − 𝜇)
2
𝑁ℎ
𝑖=1
𝐿
ℎ=1
𝑁ℎ
𝑖=1
𝐿
ℎ=1
 
1
𝑁 
 (𝑌𝑖ℎ − 𝜇ℎ)
2
𝑁ℎ
𝑖=1
𝐿
ℎ=1
+
1
𝑁 
 𝜇ℎ − 𝜇 
2
𝑁ℎ
𝑖=1
𝐿
ℎ=1
= 
1
𝑁 
 𝑁ℎ
𝐿
ℎ=1
𝜎ℎ
2 +
1
𝑁 
 𝑁ℎ(𝜇ℎ − 𝜇)
2
𝐿
ℎ=1
 
 𝑊ℎ
𝐿
ℎ=1
𝜎ℎ
2 + 𝑊ℎ(𝜇ℎ − 𝜇)
2
𝐿
ℎ=1
= 𝜎𝑑
2 + 𝜎𝑒
2 
 𝜎𝑑
2 = 𝑊ℎ
𝐿
ℎ=1
𝜎ℎ
2 𝑒 𝜎𝑒
2 = 𝑊ℎ(𝜇ℎ − 𝜇)
2
𝐿
ℎ=1
 
1
𝑁 − 1 
 (𝑌𝑖ℎ − 𝜇)
2 = 
𝑁ℎ − 1
𝑁 − 1
𝐿
ℎ=1
𝑆ℎ
2 + 
𝑁ℎ
𝑁 − 1
(𝜇ℎ − 𝜇)
2
𝐿
ℎ=1
𝑁ℎ
𝑖=1
𝐿
ℎ=1
 
Variação dentro dos estratos 
Variação entre os estratos 
AE Rosa Maria Salani Mota 6 
Estimação na AE - Estimadores 
•Os estimadores podem ser expressos em termos dos 
estimadores dos parâmetros nos estratos: 
 
 Estimador da média: 
 
 
 Estimador do total : 
 
 
 
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•Usando a ACSs para a coleta da amostra em cada estrato então, 
para uma amostra de tamanho nh no estrato h, h=1,...,L 
 
- Por estrato: 
 Estimador da média: com 
 
 
 
 
 Estimador do total : com 
Estimação na AE – Estimadores usando a ACS 
𝜇 ℎ = 𝑦 ℎ =
 𝑦𝑖ℎ
𝑛ℎ
𝑖=1
𝑛ℎ
 𝑣𝑎𝑟 𝑦 ℎ = 1 − 𝑓ℎ 
𝑠ℎ
2
𝑛ℎ
 ; 𝑠ℎ
2 = 
 (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 ℎ
𝑛ℎ
𝑖=1 )
2
𝑛ℎ − 1
 
 𝑠ℎ
2 = 
 (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 ℎ
𝑛ℎ
𝑖=1 )
2
𝑛ℎ − 1
= 
 (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 )
2 − 𝑛ℎ (𝑦 −𝑦 ℎ)
2𝑛ℎ
𝑖=1
𝑛ℎ − 1
 
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 Propriedade: Se a amostragem por estrato é a ACSs, o estimador 
da média populacional: 
 
 é um estimador não tendencioso de Ῡ com 
 
 
 
 
 
 
onde, ; , 
 
e 
 
 
 
 
Propriedades dos estimadores populacionais na AE 
 𝑠ℎ
2 = 
 (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 ℎ
𝑛ℎ
𝑖=1 )
2
𝑛ℎ − 1
= 
 (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 )
2 − 𝑛ℎ (𝑦 −𝑦 ℎ)
2𝑛ℎ
𝑖=1
𝑛ℎ − 1
 
AE Rosa Maria Salani Mota 9 
Prova: sendo 
 
 
 
 
 
 
 
onde e 
 
e, como, 
 
Estimação na AE – Propriedades dos estimadores 
𝑣𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑠𝑡 = 𝑊ℎ
2 𝑣𝑎𝑟 𝑦 ℎ 
 
𝐿
ℎ=1
=𝐴𝐶𝑆𝑠 𝑊ℎ
2 1 − 𝑓ℎ 
𝑠ℎ
2
𝑛ℎ
𝐿
ℎ=1
 
𝐸(𝑦 𝑒𝑠𝑡 ) = 𝑊ℎ𝐸 𝑦 ℎ =𝐴𝐶𝑆
𝐿
ℎ=1 𝑊ℎ𝑌 ℎ =
𝐿
ℎ=1 
𝑁ℎ
𝑁
𝑌 ℎ =(𝑑𝑒𝑓𝑖 𝑛 .𝑑𝑒 𝑌 ℎ ) 
𝐿
ℎ=1
1
𝑁 
 𝑌𝑖ℎ
𝑁ℎ
𝑖 = 𝑌 
𝐿
ℎ=1 
AE Rosa Maria Salani Mota 10 
(yih - h )2 = (yih -  +  - h )2 = (yih - )2+( - h )2 + 2 (yih - )( - h) 
 
 
onde 
 
então 
 
 
 
ou seja, 
Estimação na AE – Propriedades dos estimadores 
 𝑦𝑖ℎ − 𝑦 𝑦 −  ℎ = 
𝑛ℎ
𝑖=1
𝑛ℎ 𝑦 ℎ − 𝑦 𝑦 −  ℎ = −𝑛ℎ 𝑦 −  ℎ 2 
 (𝒚𝒊𝒉 − 𝒚 𝒉
𝒏𝒉
𝒊=𝟏
 )𝟐 = (𝒚𝒊𝒉 − 𝒚 )
𝟐 + 𝒏𝒉 (𝒚 −𝒚 𝒉)
𝟐 − 𝟐
𝒏𝒉
𝒊=𝟏
 𝒏𝒉 (𝒚 −𝒚 𝒉)
𝟐 = (𝒚𝒊𝒉 − 𝒚 )
𝟐 − 𝒏𝒉 (𝒚 −𝒚 𝒉)
𝟐
𝒏𝒉
𝒊=𝟏
 
 𝑠ℎ
2 = 
 (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 ℎ
𝑛ℎ
𝑖=1 )
2
𝑛ℎ − 1
= 
 (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 )
2 − 𝑛ℎ (𝑦 −𝑦 ℎ)
2𝑛ℎ
𝑖=1
𝑛ℎ − 1
 
• Intervalo de Confiança 
• Pelo Teorema Central do Limite, a estimativa da média (Ῡ) 
como do total ( = N Ῡ) no caso de grandes amostras tem 
distribuição Gaussiana. 
• Para amostras estratificadas o Intervalo de Confiança com 
100(1 − )% a: 
 
 Estimativa da Média est ± t(1 − /2; d) 
 
 Estimativa do Total ± t(1 − /2; d) 
 
 
 
IC na AE – Propriedades dos estimadores 
 𝑡 𝑒𝑠𝑡
 
Onde t ~ t-Student com d graus de liberdade (gl) 
- por Satterthwaite (1946)1 e citado por COCHRAN 
(1977), o valor aproximado do gl 
 
d = ; a 
h
= Nh (Nh - nh)/ nh 
 
Considerando que n é “suficientemente grande” então: 
t(1 − /2; d) ≅ percentil de ordem 1 − /2 da normal padrão 
IC na AE – Propriedades dos estimadores 
 𝑎ℎ 𝜎 ℎ
2𝐿
ℎ=1 
2
 (𝑎ℎ 𝜎 ℎ
2𝐿
ℎ=1 )
2/(𝑛ℎ − 1)
 
1 Biometrics Bulletin, Vol. 2, No. 6, (Dec., 1946), pp. 110-114 
TAMANHO DA AMOSTRA NA AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA 
população 1 2 3 4 5 6 7 8 Ῡ (μ) 2 
renda 13 17 6 5 10 12 19 6 11 24 
região A B A A A B B A - - 
Exemplo: Considerando o exemplo 20: 
ESTRATO Região A (N=5) Região B (N=3) 
Subpopulação 1 3 4 5 8 2 6 7 
renda 13 6 5 10 6 17 12 19 
WA = 5/8 = 0,625 ; μA = 8 WB = 3/8 = 0,375 ; μB = 16 
A
2 = 9,2 ou SA
2 = 11,5 B
2 =8,7 ou SB
2= 13,0 
 Retirando uma ACSs de tamanho n=3 com nA =1 e nB =2 
 
var (Ῡest ) = (0,625)
2 (1-1/5) (11.5/1) + (0,375)2 (1-2/3) (13/2) 
 
var (Ῡest ) = 3,9 
 
 Retirando uma ACSs de tamanho n=3 com nA =2 e nB =1 
 
var (Ῡest ) = (0,625)
2 (1-2/5) (11,5/2) + (0,375)2 (1-1/3) (13/1) 
 
var (Ῡest ) = 2,4 
 
Conclusão o tipo de alocação da amostra nos estratos pode 
reduzir ou aumentar a variância. 
 
 
 
Estimação na AE – Propriedades dos estimadores 
• Tamanho da Amostra e Alocação das Unidades 
Amostrais : 
 Assumindo uma ACSc em cada estrato então, o tamanho da 
amostra para um erro “E” e um nível de significância (1- )%. 
 E2 = z2 onde 
Como depende de nh , h = 1, ..., L, 
e sendo nh = n wh onde , encontra-se 
 
 
 
 
 
 
 
AE – tamanho da amostra 
 𝑣𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑠𝑡 = 𝑊ℎ
2 𝜎
2 
𝑛ℎ
𝐿
ℎ=1
 
𝑛 =
𝑧2 𝑊ℎ
2 
𝜎 ℎ
2
𝑤ℎ
𝐿
ℎ=1 
𝐸2
=
𝑧2 𝑁ℎ
2 
𝜎 ℎ
2
𝑤ℎ
𝐿
ℎ=1 
(𝑁𝐸)2
 
wh =
nh
n
 onde wh = 1
L
h=1
 
 Se a amostragem é sem reposição e a população é de 
tamanho finito 
 
onde, 
z = percentil de ordem 1− /2 da normal padrão