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AE Rosa Maria Salani Mota 1 Amostragem Estratificada (AE) Estrutura da Amostragem estratificada : •Divisão da população em subpopulações bem definidas (estratos). •Em cada estrato realiza-se uma amostragem independente dos demais estratos. •Em cada estrato, usam-se estimadores convenientes para os parâmetros populacionais de interesse. •Monta-se para a população um estimador, combinando-se os estimadores de cada estrato, e determinam-se suas propriedades. AE Rosa Maria Salani Mota 2 Amostragem Estratificada •Na amostragem aleatória simples, uma única estimativa é obtida para toda a população alvo. Porem, para cada estrato, é obtida uma estimativa que, dada a maior homogeneidade dos estratos, geralmente é mais precisa que a estimativa da ACS para a população alvo. •A estimativa para população alvo é obtida pela combinação ponderada das estimativas dos estratos. AE Rosa Maria Salani Mota 3 Notação : Seja a população alvo Ω e Ωh Ω o estrato h, h=1,2,...,L Seja o vetor de dados populacionais d = (y11; ...; y1N1 ; ... ; yhi ; ... ; yLNL ) • Nh o tamanho populacional no estrato h N o tamanho da população, N = h=1 Nh (soma do tamanho populacional dos estratos) • Th = : total populacional no estrato h • : média populacional no estrato h Estimação na AE μh = 𝑦𝑖ℎ 𝑁ℎ 𝑖=1 𝑁ℎ = 𝑇ℎ 𝑁ℎ = 𝑌 ℎ 𝑦𝑖ℎ 𝑁ℎ 𝑖=1 AE Rosa Maria Salani Mota 4 • 2h = : variância populacional do estrato h • Então: : total populacional média populacional Estimação na AE- notação 1 𝑁ℎ (𝑌𝑖ℎ − 𝜇ℎ) 2 = 𝑁ℎ − 1 𝑁ℎ 𝑆ℎ 2 𝑁ℎ 𝑖=1 𝑇 = 𝑇ℎ 𝐿 ℎ=1 = 𝑦𝑖ℎ 𝑁ℎ 𝑖=1 𝐿 ℎ=1 = 𝑁ℎ𝑌 ℎ 𝐿 ℎ=1 𝜇 = Ῡ = 𝑇 𝑁 = 1 𝑁 𝑇ℎ 𝐿 ℎ=1 = 1 𝑁 𝑁ℎ𝜇ℎ = 𝐿 ℎ=1 𝑁ℎ 𝑁 𝜇ℎ = 𝑊ℎ𝜇ℎ 𝐿 ℎ=1 𝐿 ℎ=1 Wh = Nh N : peso relativo do estrato h com Wh 𝐿 ℎ=1 = 1 AE Rosa Maria Salani Mota 5 2= 2= 2 = Onde e S2 = Estimação na AE- notação 1 𝑁 (𝑌𝑖ℎ − 𝜇) 2 = 1 𝑁 (𝑌𝑖ℎ − 𝜇ℎ + 𝜇ℎ − 𝜇) 2 𝑁ℎ 𝑖=1 𝐿 ℎ=1 𝑁ℎ 𝑖=1 𝐿 ℎ=1 1 𝑁 (𝑌𝑖ℎ − 𝜇ℎ) 2 𝑁ℎ 𝑖=1 𝐿 ℎ=1 + 1 𝑁 𝜇ℎ − 𝜇 2 𝑁ℎ 𝑖=1 𝐿 ℎ=1 = 1 𝑁 𝑁ℎ 𝐿 ℎ=1 𝜎ℎ 2 + 1 𝑁 𝑁ℎ(𝜇ℎ − 𝜇) 2 𝐿 ℎ=1 𝑊ℎ 𝐿 ℎ=1 𝜎ℎ 2 + 𝑊ℎ(𝜇ℎ − 𝜇) 2 𝐿 ℎ=1 = 𝜎𝑑 2 + 𝜎𝑒 2 𝜎𝑑 2 = 𝑊ℎ 𝐿 ℎ=1 𝜎ℎ 2 𝑒 𝜎𝑒 2 = 𝑊ℎ(𝜇ℎ − 𝜇) 2 𝐿 ℎ=1 1 𝑁 − 1 (𝑌𝑖ℎ − 𝜇) 2 = 𝑁ℎ − 1 𝑁 − 1 𝐿 ℎ=1 𝑆ℎ 2 + 𝑁ℎ 𝑁 − 1 (𝜇ℎ − 𝜇) 2 𝐿 ℎ=1 𝑁ℎ 𝑖=1 𝐿 ℎ=1 Variação dentro dos estratos Variação entre os estratos AE Rosa Maria Salani Mota 6 Estimação na AE - Estimadores •Os estimadores podem ser expressos em termos dos estimadores dos parâmetros nos estratos: Estimador da média: Estimador do total : AE Rosa Maria Salani Mota 7 •Usando a ACSs para a coleta da amostra em cada estrato então, para uma amostra de tamanho nh no estrato h, h=1,...,L - Por estrato: Estimador da média: com Estimador do total : com Estimação na AE – Estimadores usando a ACS 𝜇 ℎ = 𝑦 ℎ = 𝑦𝑖ℎ 𝑛ℎ 𝑖=1 𝑛ℎ 𝑣𝑎𝑟 𝑦 ℎ = 1 − 𝑓ℎ 𝑠ℎ 2 𝑛ℎ ; 𝑠ℎ 2 = (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 ℎ 𝑛ℎ 𝑖=1 ) 2 𝑛ℎ − 1 𝑠ℎ 2 = (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 ℎ 𝑛ℎ 𝑖=1 ) 2 𝑛ℎ − 1 = (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 ) 2 − 𝑛ℎ (𝑦 −𝑦 ℎ) 2𝑛ℎ 𝑖=1 𝑛ℎ − 1 AE Rosa Maria Salani Mota 8 Propriedade: Se a amostragem por estrato é a ACSs, o estimador da média populacional: é um estimador não tendencioso de Ῡ com onde, ; , e Propriedades dos estimadores populacionais na AE 𝑠ℎ 2 = (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 ℎ 𝑛ℎ 𝑖=1 ) 2 𝑛ℎ − 1 = (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 ) 2 − 𝑛ℎ (𝑦 −𝑦 ℎ) 2𝑛ℎ 𝑖=1 𝑛ℎ − 1 AE Rosa Maria Salani Mota 9 Prova: sendo onde e e, como, Estimação na AE – Propriedades dos estimadores 𝑣𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑠𝑡 = 𝑊ℎ 2 𝑣𝑎𝑟 𝑦 ℎ 𝐿 ℎ=1 =𝐴𝐶𝑆𝑠 𝑊ℎ 2 1 − 𝑓ℎ 𝑠ℎ 2 𝑛ℎ 𝐿 ℎ=1 𝐸(𝑦 𝑒𝑠𝑡 ) = 𝑊ℎ𝐸 𝑦 ℎ =𝐴𝐶𝑆 𝐿 ℎ=1 𝑊ℎ𝑌 ℎ = 𝐿 ℎ=1 𝑁ℎ 𝑁 𝑌 ℎ =(𝑑𝑒𝑓𝑖 𝑛 .𝑑𝑒 𝑌 ℎ ) 𝐿 ℎ=1 1 𝑁 𝑌𝑖ℎ 𝑁ℎ 𝑖 = 𝑌 𝐿 ℎ=1 AE Rosa Maria Salani Mota 10 (yih - h )2 = (yih - + - h )2 = (yih - )2+( - h )2 + 2 (yih - )( - h) onde então ou seja, Estimação na AE – Propriedades dos estimadores 𝑦𝑖ℎ − 𝑦 𝑦 − ℎ = 𝑛ℎ 𝑖=1 𝑛ℎ 𝑦 ℎ − 𝑦 𝑦 − ℎ = −𝑛ℎ 𝑦 − ℎ 2 (𝒚𝒊𝒉 − 𝒚 𝒉 𝒏𝒉 𝒊=𝟏 )𝟐 = (𝒚𝒊𝒉 − 𝒚 ) 𝟐 + 𝒏𝒉 (𝒚 −𝒚 𝒉) 𝟐 − 𝟐 𝒏𝒉 𝒊=𝟏 𝒏𝒉 (𝒚 −𝒚 𝒉) 𝟐 = (𝒚𝒊𝒉 − 𝒚 ) 𝟐 − 𝒏𝒉 (𝒚 −𝒚 𝒉) 𝟐 𝒏𝒉 𝒊=𝟏 𝑠ℎ 2 = (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 ℎ 𝑛ℎ 𝑖=1 ) 2 𝑛ℎ − 1 = (𝑦𝑖ℎ − 𝑦 ) 2 − 𝑛ℎ (𝑦 −𝑦 ℎ) 2𝑛ℎ 𝑖=1 𝑛ℎ − 1 • Intervalo de Confiança • Pelo Teorema Central do Limite, a estimativa da média (Ῡ) como do total ( = N Ῡ) no caso de grandes amostras tem distribuição Gaussiana. • Para amostras estratificadas o Intervalo de Confiança com 100(1 − )% a: Estimativa da Média est ± t(1 − /2; d) Estimativa do Total ± t(1 − /2; d) IC na AE – Propriedades dos estimadores 𝑡 𝑒𝑠𝑡 Onde t ~ t-Student com d graus de liberdade (gl) - por Satterthwaite (1946)1 e citado por COCHRAN (1977), o valor aproximado do gl d = ; a h = Nh (Nh - nh)/ nh Considerando que n é “suficientemente grande” então: t(1 − /2; d) ≅ percentil de ordem 1 − /2 da normal padrão IC na AE – Propriedades dos estimadores 𝑎ℎ 𝜎 ℎ 2𝐿 ℎ=1 2 (𝑎ℎ 𝜎 ℎ 2𝐿 ℎ=1 ) 2/(𝑛ℎ − 1) 1 Biometrics Bulletin, Vol. 2, No. 6, (Dec., 1946), pp. 110-114 TAMANHO DA AMOSTRA NA AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA população 1 2 3 4 5 6 7 8 Ῡ (μ) 2 renda 13 17 6 5 10 12 19 6 11 24 região A B A A A B B A - - Exemplo: Considerando o exemplo 20: ESTRATO Região A (N=5) Região B (N=3) Subpopulação 1 3 4 5 8 2 6 7 renda 13 6 5 10 6 17 12 19 WA = 5/8 = 0,625 ; μA = 8 WB = 3/8 = 0,375 ; μB = 16 A 2 = 9,2 ou SA 2 = 11,5 B 2 =8,7 ou SB 2= 13,0 Retirando uma ACSs de tamanho n=3 com nA =1 e nB =2 var (Ῡest ) = (0,625) 2 (1-1/5) (11.5/1) + (0,375)2 (1-2/3) (13/2) var (Ῡest ) = 3,9 Retirando uma ACSs de tamanho n=3 com nA =2 e nB =1 var (Ῡest ) = (0,625) 2 (1-2/5) (11,5/2) + (0,375)2 (1-1/3) (13/1) var (Ῡest ) = 2,4 Conclusão o tipo de alocação da amostra nos estratos pode reduzir ou aumentar a variância. Estimação na AE – Propriedades dos estimadores • Tamanho da Amostra e Alocação das Unidades Amostrais : Assumindo uma ACSc em cada estrato então, o tamanho da amostra para um erro “E” e um nível de significância (1- )%. E2 = z2 onde Como depende de nh , h = 1, ..., L, e sendo nh = n wh onde , encontra-se AE – tamanho da amostra 𝑣𝑎𝑟 𝑦 𝑒𝑠𝑡 = 𝑊ℎ 2 𝜎 2 𝑛ℎ 𝐿 ℎ=1 𝑛 = 𝑧2 𝑊ℎ 2 𝜎 ℎ 2 𝑤ℎ 𝐿 ℎ=1 𝐸2 = 𝑧2 𝑁ℎ 2 𝜎 ℎ 2 𝑤ℎ 𝐿 ℎ=1 (𝑁𝐸)2 wh = nh n onde wh = 1 L h=1 Se a amostragem é sem reposição e a população é de tamanho finito onde, z = percentil de ordem 1− /2 da normal padrão