Exercicios-Matrizes

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Engenharia de Produção 
Engenharia Civil 
 
 
Engenharia de Produção / Engenharia Civil Folha 2 1 
Profa. Zenira Pires de Souza 
Disciplina: Geometria Analítica 
Professora: Zenira Pires de Souza 
EXERCÍCIOS – MATRIZES 
1. Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária 
da matriz A = (aij) de ordem 4 em que aij= i – j. 
2. Dada a matriz B = (bij) de ordem 4 x 3, em que bij = i – j2, calcule o elemento b41. 
3. Dadas as matrizes � =	� 0 √2 4−6 3 �5 1 2� 		�	� = 	�
0 −6 5� 3 14 8 ��	 , calcule x, y e z para que B = At.. 
4. Dada a matriz � = 	�1 −1 02 3 40 1 −2�		, obtenha a matriz X tal que X = A + At. 
5. Dadas as matrizes � = � 32−1� e � = �
104−8�, resolva a equação: 2X – A + 
�� B = 0. 
6. Se � = �2 13 −1�	, � = �−1 21 0� 		�		� = �4 −12 1 �	, calcule uma matriz X de ordem 2 tal que ���� =	���	 + 	�. 
7. Sabendo que "�� � �� ��# +	$3� −�4� 2�%	= �4 05 −1� , calcule x e y. 
8. Sejam � = & ��' (�−27 log �-�. 		�		� = $2
/ 9( 1% , determine a, b e c para que A = B. 
9. Suponha que A, B, C, D e E sejam as matrizes de tamanho: A3x1 , B3x6 , C6x2 , D2x6 e E1x3 . 
Em cada parte, determine se a expressão matricial dada está definida. Para as que estão definidas, 
dê o tamanho (ordem) da matriz resultante. 
a) E.A b) A.Bt c) Bt (A + Et) d) 2A + C 
e) (Ct + D) Bt f) C.D + Bt. Et g) (B. Dt ) Ct h)DC + EA 
10. Considere as matrizes A=(aij) e B=(bij), quadradas de ordem 2 com aij = 3i + 4j e bij = -4i – 3j. 
Sabendo que C = A + B, determine C2. 
11. Se � = �1 24 −3� , calcule A2 + 2A – 11.I, onde I é a matriz identidade de ordem 2. 
 
 
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12. Considere as matrizes � = � 		3 0−1 2		1 1�	, � = �4 −10 0 �	, � = 	 �1 4 23 1 5�	, 2 = �
1 5 2−1 0 13 2 4� e 3 =
� 6 1 3−1 1 24 1 3�. Calcule a expressão dada, se possível: 
a) 4E – 2D b) -3(D + 2E) c) tr(D) d) tr(D – 3E) 
e) 4.tr(7B) f) 2At + C g) Bt + 5Ct h) ���4 −	�5� 
i) B - Bt j) tr(B.C) l) (3E)D m) (AB)C 
n) A(BC) o) (DA)t p) (Ct.B)At q) BAt – 2C 
 
13. Sejam � = �3 −2 76 5 40 4 9� 		�		� = �
6 −2 40 1 37 7 5� , determine: 
a) a primeira linha de A.B b) a terceira linha de A.B 
c) a segunda coluna de A.B d) a primeira coluna de B.A 
e) a terceira linha de A.A f) a terceira coluna de A.A 
 
14. Resolva as equações matriciais em termos de a, b, c e d: 
a) � ( 3−1 ( + 6� = 	 � 4 7 − 217 + 21 −2 � b) � ( − 6 6 + (37 + 1 27 − 1� = 	 �8 17 6� 
 
15. Calcule a e b de modo que o produto das matrizes � = � 1 3−1 0� 	�		� = �( 60 2�	comute. 
16. Sendo � = �2 10 3� , determine uma matriz B, tal que A.B = I2. 
17. Considere a função y = f(X) definida com matrizes X de tamanho 2x1 por y = A.X, sendo � =�1 10 1�. Determine o valor de y para: 
a) 8 = �11� b) 8 = �20� 
c) 8 = �43� d) 8 = � 2−2� 
18. Calcular a inversa da matriz dada: 
a) � = �3 15 2� b) � = �2 −34 4 � 
c) � = � 6 4−2 −1� d) 2 = �2 00 3� 
 
19. Seja ) � = �3 12 1� , determine: 
 
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a) A3 b) A-3 c) A2 – 2A + I 
d) p(A), onde p(x) = x – 2 e) p(A), onde p(x) = 2x2 – x + 1 f) p(A), onde p(x) = x3 – 2x + 4 
 
Respostas 
Questão 1: 0 Questão 2: 3 Questão 3: x = √2 , y=8 e z = 2 
Questão 4: 8 = 	�2 1 01 6 50 5 −4�	 Questão 5: 8 = &
−10 � . Questão 6 : 8 = �
28 123 3� 
Questão 7: x=1 e y=-1 Questão 8: a= -3 , b=c= -4 
Questão 9 : a) 1x1 b) Não está definida c) 6x1 d) Não está definida 
 e) 2x3 f) Não está definida g) 3x6 h) Não está definida 
Questão 10 : 8 = �−1 00 −1� Questão 11 : � = �0 00 0� 
Questão 12: a)	�22 −6 8−2 4 610 0 4� b)	�
−39 −21 −249 −6 −15−33 −12 −30� c) 5 d) -25 e) 112 
 f) �7 2 43 5 7� g) Não está definida h) 9
:;
− �5 �			<5 0		 5 <5=
>? i) �0 −11 0 � j) Não está definida 
 l)	�42 108 7512 −3 2136 78 63� m) �
3 45 9−1 −15 −31 15 3 � n) �
3 45 9−1 −15 −31 15 3 � o) � 0 −2 1112 1 8 � 
 p) �12 −6 348 −24 1224 −12 6 � q) �10 −14 −1−6 −2 −10� 
Questão 13: a) @67 41 41A b) @63 67 57A c) �412167� d) ) �
6663� e) @24 56 97A f) �
769897� 
Questão 14: a) a = 4, b = - 6 , c = -1 , d = 1 b) ( = <� 	,			6 = 	− B� 			,			1 = − 5C 			,			7 = � C 
Questão 15: a= 2, b=0 Questão 16 : 8 = &�� − �'0 � . 
Questão 17: a) � = �21� b) � = �20� c) � = �73� d) � = � 0−2� 
Questão 18: a) ��� = � 2 −1−5 3 � b) ��� = &
�C �D− �C ��D. 
c) ��� = "− �� 21 3# d) 2�� = &�� 00 � . 
Questão 19: a) �41 1530 11� b) � 11 −15−30 41 � c) �6 24 2� d) �1 12 −1� 
 e) �20 714 6� f) �39 1326 13�