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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS
ICEx-Departamento de Matemática
Exerćıcios de EDB - 2021/1
Professora: Aniura Milanés
SEMANA 1
Exerćıcio 1.
Determine a ordem das equações a seguir. Classifique-as em lineares ou não lineares e especifique se cada
equação linear é ou não homogênea.
(a) x2∂3yxxu+ y
2∂2yu− log(1 + y2)u = 0;
(b) ∂xu+ u
3 = 1;
(c) u∂4yyxxu+ e
x∂xu = y;
(d) u∂2xu+ ∂
2
yu− u = 0;
(e) ∂2xu+ ∂tu = 3u;
Exerćıcio 2.
Comprove que as funções dadas são soluções das EDPs correspondentes.
(a) u(x, y) = x+ y, ∂2xu+ ∂
2
yu = 0;
(b) u(x, t) = x2 + 2t, ∂2xu = ∂tu;
(c) u(x, y) = sen(x) cosh(y)1, ∂2xu+ ∂
2
yu = 0;
(d) u(x, y) = sen(x− ct), ∂2t u− c2∂2xu = 0, onde c é uma constante;
(e) u(x, y) = f(x) + g(y),
∂2u
∂y∂x
= 0, onde f e g são funções arbitrárias;
(f) u(x, y) = f(x+ y) + g(x− y), ∂2xu− ∂2yu = 0, onde f e g são funções arbitrárias.
Exerćıcio 3.
Determine a solução geral de cada uma das equações a seguir
(a) ∂xu = 3x
2 + y2, u = u(x, y), (b) ∂3zyxu = 1, u = u(x, y, z),
Exerćıcio 4.
Verifique que as funções u1(x, y) = y, u2(x, y) = 2xy, u3(x, y) = x
3− 3xy2, u4(x, y) = ex sen y são soluções
da equação de Laplace bidimensional ∂2xu+ ∂
2
yu = 0. Construa quatro novas soluções desta equação usando
o Prinćıpio de Superposição.
Exerćıcio 5.
(a) Verifique que as funções u(x, t) = x e v(x, t) = x2 + 2t satisfazem a equação do calor.
(b) Como você poderia construir infinitas soluções dessa equação usando as soluções acima?
Exerćıcio 6.
Escreva a forma geral das EDPs lineares de segunda ordem com função incógnita u = u(x, y). Quando a
equação será homogênea? Por que você acha que eu não escrevi ela nas notas de aula?
1cosh(y) =
ey + e−y
2
2
Exerćıcio 7.
Verifique que para cada n ∈ N, a função
un(x, t) = e
−(nπ
L
)2kt sen
(nπ
L
x
)
satisfaz a equação do calor ∂tu = k∂
2
xu.
Exerćıcio 8.
Para as equações diferenciais parciais a seguir, obtenha equações diferenciais ordinárias que devem satisfazer
as funções X e T para obtermos soluções fatoradas da forma u(x, t) = X(x)T (t).
(a) ∂tu = ∂
2
xu− 3∂xu.
(b) ∂2xu+ ∂
2
yu = 0.
(c) ∂tu = k∂
4
xu.
(d) ∂2t u = c
2∂2xu, c > 0.
Exerćıcio 9.
Determine a solução do problema
ED ∂tu = 2∂
2
xu, 0 < x < 3, t > 0;
CF u(0, t) = 0 u(3, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ 3.
nos casos
(a) f(x) = 4 sen
(2πx
3
)
− sen
(5πx
3
)
(b) f(x) = 5 sen(4πx) + 2 sen(10πx)
(c) f(x) = −9 cos
(π
6
(2x+ 3)
)
(d) f(x) = 3 cos
(8πx
3
+
π
2
)
− 3 cos
(8πx
3
− π
2
)
+
sin(5πx)
Exerćıcio 10.
O aluno X acha que entendeu o prinćıpio de superposição e faz o seguinte racioćınio:
Como v(x, y) = x é solução da equação de Laplace bidimensional, então w(x, y) = xv(x, y) = x2 também é.
Mas a aluna Y substitui a função w na equação e obtém o seguinte.
∂2xw = 2, ∂
2
yw = 0⇒ ∂2xw + ∂2xw = 2.
w não é solução da equação!! Qual é o erro no racioćınio de X?
F Exerćıcio 11.
Considere a equação
∂xu∂yu− u (∂xu+ ∂yu) + u2 = 0.
(a) Esta EDP é não linear. Explique por quê.
(b) Verifique que as funções u1(x, y) = e
x e u2(x, y) = e
y são soluções desta equação.
(c) Verifique que para constantes arbitrárias c1 e c2, as funções c1u1 e c2u2 também são soluções da equação.
(d) Comprove que u = u1+u2 não é solução da equação. Sugestão: Verifique que ∂xu∂yu−u (∂xu+ ∂yu)+
u2 = (∂xu− u) (∂yu− u)
(e) Prove que u = c1u1 + c2u2 será solução somente se c1 = 0 ou c2 = 0.
3
SEMANA 2
Exerćıcio 12.
Verifique que a única função da forma X(x) = c1 + c2x satisfazendo X(0) = X(L) = 0 é a função nula,
calculando os coeficientes c1 e c2 e concluindo que eles devem ser nulos.
Exerćıcio 13.
Sem usar a fórmula obtida nas notas de aula, determine todas as soluções fatoradas da equação do calor
∂tu = 2∂
2
xu que se anulam quando x = 0 e quando x = 3.
Exerćıcio 14.
O problema a seguir
ED ∂tu = ∂
2
xu, 0 < x < 1, t > 0;
CF ∂xu(0, t) = 0 ∂xu(1, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ 1.
descreve a propagação do calor numa barra de comprimento L = 1 cujas extremidades também foram isoladas
termicamente.
(a) Se u(x, t) = X(x)T (t) for uma solução fatorada da equação, satisfazendo as condições de fronteira acima,
qual é o problema de fronteira que a função X deve satisfazer?
(b) Para quais valores de λ esse problema tem solução? Determine essas soluções.
(c) Obtenha as soluções fatoradas que você precisaria usar para resolver esse problema usando o método de
separação de variáveis.
Exerćıcio 15.
Determine a série de Fourier das funções a seguir.
(a) f(x) = x, −L ≤ x ≤ L;
(b) f(x) = 3x+ 1, −L ≤ x ≤ L;
(c) f(x) = |x|, estendida de forma 2L-periódica;
(d) f(x) = x2, −L ≤ x ≤ L;
(e) f(x) = x3, −L ≤ x ≤ L;
(f) f(x) = x3 − L2x, −L ≤ x ≤ L;
(g) f(x) = x cos(πx/L), −L ≤ x ≤ L.
(h) f(x) = ex, −L ≤ x ≤ L.
Exerćıcio 16.
Calcule a série de Fourier das funções a seguir, definidas no intervalo [−π, π].
(a) f(x) =
{
1, |x| ≤ π2 ;
0, caso contrário.
(b) f(x) =
{
1, 12π < |x| ≤ π;
0, caso contrário.
(c) f(x) =
{
1, 12π < x ≤ π;
0, caso contrário.
;
Exerćıcio 17.
Verdadeiro ou falso? Justifique
(a) A série de Fourier da função 2f(x) é obtida multiplicando cada termo na série de Fourier de f(x) por 2.
(b) Os coeficientes de Fourier de f(x) + g(x) se calculam somando os coeficientes correspondentes de f(x) e
de g(x).
4
(c) Os coeficientes de Fourier de f(x) ·g(x) se calculam multiplicando os coeficientes correspondentes de f(x)
e g(x).
Exerćıcio 18.
Verifique as igualdades∫ L
−L
sen
(nπ
L
x
)
cos
(mπ
L
x
)
dx = 0, n = 1, 2, . . . ,m = 0, 1, 2, . . . ; (1)∫ L
−L
cos
(nπ
L
x
)
cos
(mπ
L
x
)
dx = 0, n = 1, 2, . . . ,m = 1, 2, . . . , n 6= m; (2)∫ L
−L
sen
(nπ
L
x
)
sen
(mπ
L
x
)
dx = 0, n = 1, 2, . . . ,m = 1, 2, . . . , n 6= m (3)
e ∫ L
−L
cos2
(nπ
L
x
)
dx = L; (4)∫ L
−L
sen2
(nπ
L
x
)
dx = L. (5)
utilizando as identidades trigonométricas a seguir
cos2(α) =
1 + cos(2α)
2
(6)
sen2(α) =
1− cos(2α)
2
(7)
sen(α) cos(β) =
sen(α+ β) + sen(α− β)
2
(8)
sen(α) sen(β) =
cos(α− β)− cos(α+ β)
2
(9)
cos(α) cos(β) =
cos(α+ β) + cos(α− β)
2
. (10)
Exerćıcio 19.
Obtenha as séries de Fourier das funções abaixo sem calcular nenhuma integral.
(a) f(x) = sen(x)− cos(15x), −π ≤ x ≤ π;
(b) f(x) = sen3(x), −π ≤ x ≤ π;
(c) f(x) = cos(πx) sen(πx), −1 ≤ x ≤ 1;
(d) f(x) = sen(x)[sen(x) + cos(x)]2, −π ≤ x ≤ π;
Sugestão : Quais são os coeficientes de Fourier de uma soma finita da forma
p(x) =
a0
2
+
N∑
n=1
[
an cos
(nπ
L
x
)
+ bn sen
(nπ
L
x
)]
?
Utilize as fórmulas da questão anterior.
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SEMANA 3
Teorema de convergência das séries de Fourier
Exerćıcio 20.
Para todas as funções cujas séries de Fourier você calculou nos exerćıcios 14 (a), (c) e (h) e 15 (a), (b) e (c) ,
(a) Explique por que estas funções satisfazem as hipóteses do teorema de convergência das séries de Fourier
estudado nesta semana.
(b) Em quais pontos x do intervalo [−L,L] vale que f(x) = Sf(x)?
(c) Esboce o gráfico de Sf(x) no intervalo [−3L, 3L].
Exerćıcio 21.
Considere a igualdade
π
2
+
2
π
∞∑
n=1
[(−1)n − 1]
n2
cosnx = |x|.
Para quais valores de x ela é válida? Por quê?
Série de Fourier de funções pares e ı́mpares
Exerćıcio 22.
As funções abaixo são pares, ı́mpares ou nenhuma das duas coisas?
(a) f(x) = x6
(b) f(x) = ex
(c) f(x) = x2 − 11x3
(d) f(x) =
1
x
(e) f(x) =
1
1 + x2
(f) f(x) = x cosx
Exerćıcio 23.
Para cada uma das funções abaixo, definidas no intervalo [−π, π], obtenha sua série de Fourier e esboce seu
gráfico no intervalo [−3π, 3π].
(a) f(x) =
{
1, 0 ≤ x ≤ π;
−1, −π ≤ x < 0. (b) f(x) =
{
1− |x|, |x| < 1;
0, 1 ≤ |x| ≤ π.
Exerćıcio 24.
Assumindo que f e f ′ estão definidas em [−L,L], verifique que f ′ é ı́mpar se f é par e viceversa.
Exerćıcio 25.
Prove a proposição 3.1 descrevendo as propriedades das funções pares e ı́mpares.
Série de Fourier de senos e de cossenosExerćıcio 26.
Obtenha a série de Fourier em senos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da
Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo [−3L, 3L].
6
(a) f(x) = cos(x), 0 ≤ x ≤ π.
(b) f(x) = x, 0 ≤ x ≤ L.
(c) f(x) = x2, 0 ≤ x ≤ L.
(d) f(x) = x(L− x), 0 ≤ x ≤ L.
(e) f(x) = x3, 0 ≤ x ≤ L.
(f) f(x) =
{
x, 0 ≤ x ≤ L/2;
L− x, L/2 < x ≤ L.
(g) f(x) =
{
sen
(
πx
L
)
, 0 ≤ x ≤ L/2;
0, L/2 < x ≤ L.
Exerćıcio 27.
Obtenha a série de Fourier em cossenos de cada uma das funções a seguir. Você pode utilizar a applet da
Sagemath disponibilizada no Moodle. Em cada caso, esboce seu gráfico no intervalo [−3L, 3L].
(a) f(x) = sen(x), 0 ≤ x ≤ π.
(b) f(x) = x, 0 ≤ x ≤ L.
(c) f(x) = x2, 0 ≤ x ≤ L.
(d) f(x) = x(L− x), 0 ≤ x ≤ L.
(e) f(x) = x3, 0 ≤ x ≤ L.
(f) f(x) =
{
1, 0 ≤ x ≤ h;
0, h < x ≤ π. ,
com h ∈ (0, π).
(g) f(x) =
{
cos
(
πx
L
)
, 0 ≤ x ≤ L/2;
0, L/2 < x ≤ L.
Exerćıcio 28.
Suponha que f é uma função cont́ınua com derivada cont́ınua por partes.
(a) Se f : [−L,L]→ R, sob quais condições f(x) coincide com sua série de Fourier para todo x satisfazendo
−L ≤ x ≤ L?
(b) Se f : [0, L] → R, sob quais condições f(x) coincide com sua série de Fourier em senos para todo x
satisfazendo 0 ≤ x ≤ L?
(c) Se f : [0, L] → R, sob quais condições f(x) coincide com sua série de Fourier em cossenos para todo x
satisfazendo 0 ≤ x ≤ L?
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SEMANA 4
Condução do calor na barra
Exerćıcio 29.
Considere a condução do calor em uma barra de comprimento 40 cm cujas extremidades são mantidas à
temperatura de 00C para todo t > 0.
Em cada um dos casos a seguir, encontre uma expressão para a temperatura u(x, t) se a distribuição inicial
de temperatura é a função dada. Determine se a condição inicial é satisfeita em todos os pontos e justifique.
Explique em que sentido chamamos a expressão que você obteve de solução formal. Assuma que k = 1.
(a) u(x, 0) = 50, 0 ≤ x ≤ 40.
(b) u(x, 0) =

0, 0 ≤ x < 10;
50, 10 ≤ x ≤ 30
0, 30 < x ≤ 40.
.
(c) u(x, 0) = x, 0 ≤ x ≤ 40.
(d) u(x, 0) =
{
x, 0 ≤ x < 20;
40− x, 20 ≤ x ≤ 40. .
F Exerćıcio 30.
Considere o problema
ED ∂tu− ∂2xu− hu = 0, 0 < x < π, t > 0;
CF u(0, t) = 0, u(π, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) = x(π − x), 0 ≤ x ≤ π.
onde h é uma constante real.
(a) Encontre a solução deste problema.
(b) A condição inicial é satisfeita?
(c) Determine para quais valores de h existe limu(x, t) quando t→∞, para todo x ∈ [0, π].
Barra com extremidades isoladas
Exerćıcio 31.
Resolva o problema
ED ∂tu = 3∂
2
xu, 0 ≤ x ≤ 3, t ≥ 0;
CF ∂xu(0, t) = 0, ∂xu(3, t) = 0, t ≥ 0;
CI u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ 3
nos casos seguintes:
(a) f(x) =
1
3
− 4 cos
(
2π
3
x
)
+
√
2 cos
(
5π
3
x
)
.
(b) f(x) = −13 cos (πx) + 25 cos(2πx)
(c) f(x) = − sen2
(
2π
3
x
)
.
8
Exerćıcio 32.
Verifique que todas as soluções fatoradas da equação do calor da forma u(x, t) = e−α
2kt[c1e
αx + c2e
−αx] que
satisfazem as condições de fronteira que representam extremidades isoladas devem ser nulas.
Exerćıcio 33.
Uma barra metálica de comprimento L = 1 com constante de difusividade térmica k = 1 é isolada ter-
micamente, incluindo seus extremos. Suponha que a distribuição inicial de temperatura é u(x, 0) = f(x)
onde
f(x) =

1, 0 ≤ x ≤ 14 ,
−4x+ 2, 14 ≤ x ≤
3
4 ,
−1, 34 ≤ x ≤ 1.
Escreva a expressão da temperatura no instante t.
Barra com um extremo isolado e o outro com temperatura nula
Exerćıcio 34.
Considere a equação diferencial ordinária
X ′′(x)− λX(x) = 0.
Determine os valores de λ ∈ R para os quais existem soluções não nulas desta equação que satisfazem as
condições de fronteira abaixo. Obtenha também a expressão destas soluções. Considere L > 0.
(a) X ′(0) = 0, X(L) = 0. (b) X(0) = 0, X ′(L) = 0.
Exerćıcio 35.
(a) Utilize o item (b) do exerćıcio anterior para determinar todas as soluções fatoradas não nulas da equação
do calor satisfazendo as condições de fronteira para o problema
ED ∂tu = k∂
2
xu, 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0;
CF u(0, t) = 0, ∂xu(L, t) = 0 t ≥ 0;
CI u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ L.
(b) Descreva uma interpretação f́ısica posśıvel para o problema acima.
(c) Resolva o problema se f(x) =
N∑
n=0
dn sen
[
(n+ 1/2)π
L
x
]
para algum inteiro N ≥ 0.
(d) Você conseguiria resolver o problema se f(x) =
∞∑
n=0
dn sen
[
(n+ 1/2)π
L
x
]
?
Condições de fronteira não homogêneas
Exerćıcio 36.
Determine a solução do problema de condução do calor
ED ∂tu = 3∂
2
xu, 0 < x < 40, t > 0;
CF u(0, t) = 0, u(40, t) = −40, t > 0;
CI u(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ 40.
A solução obtida satisfaz a condição inicial?
9
Exerćıcio 37.
Determine a solução estacionária do problema de condução do calor
ED ∂tu = ∂
2
xu− ∂xu, 0 < x < 1, t > 0;
CF u(0, t) = 0, u(1, t) = 1, t > 0;
CI u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ 1.
Exerćıcio 38.
Determine a solução do problema
ED ∂tu = 3∂
2
xu, 0 < x < π, t > 0;
CF ∂xu(0, t) = 4, ∂xu(π, t) = 4, t > 0;
CI u(x, 0) = sen(4x), 0 ≤ x ≤ π.
Exerćıcio 39.
Determine a solução de
ED ∂tu = 2∂
2
xu, 0 ≤ x ≤ 1, t ≥ 0;
CF u(0, t) = 1, ∂xu(1, t) = 1 t ≥ 0;
CI u(x, 0) = x+ sen(
3π
2
x) + 1, 0 ≤ x ≤ 1.
Sugestão: Determine a solução estacionária deste problema e utilize o exerćıcio 35 (a).
Exerćıcio 40.
Resolva o problema
ED ∂tu = k∂
2
xu, 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0;
CF u(0, t) = d, ∂xu(L, t) = c t ≥ 0;
CI u(x, 0) = cx+ d, 0 ≤ x ≤ L
onde c e d são constantes dadas.
Exerćıcio 41.
Suponha que os extremos esquerdo e direito de uma barra homogênea são introduzidos em recipientes com
ĺıquidos a temperaturas ge(t) e gd(t), respectivamente. Utilizando a Lei de Resfriamento de Newton é posśıvel
deduzir que a densidade de fluxo de calor através das extremidades, deve satisfazer as igualdades
q(0, t) = −K∂xu(0, t) = −h[u(0, t)− ge(t)],
q(L, t) = −K∂xu(L, t) = h[u(L, t)− gd(t)],
onde K e h são constantes positivas que representam a condutividade têrmica do material da barra e o
coeficiente de transferência de calor, respectivamente entre o ĺıquido e os extremos da barra.
Suponha que ge e gd são nulas, ou seja, ambos os ĺıquidos estão sendo mantidos a temperatura zero.
(a) Escreva o problema de valor inicial com condições de fronteira para a equação do calor que corresponda
com a situação f́ısica descrita acima.
(b) Determine que condições de fronteira deve satisfazer X(x) para que uma solução fatorada u(x, t) =
X(x)T (t) da equação do calor satisfaça as condições de fronteira apresentadas acima.
(c) Qual seria a meior dificuldade para resolver o problema em (a)?
(d) Determine a solução estacionária do problema que você escreveu em (a).
10
SEMANA 6
Exerćıcio 42.
Resolva o problema
∂2t u = c
2∂2xu, 0 ≤ x ≤ L, t > 0;
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0;
u(x, 0) = f(x) ∂tu(x, 0) = g(x).
nos casos seguintes:
(a) f(x) = 3 sen
(π
L
x
)
− sen
(4π
L
x
)
, g(x) = 0.
(b) f(x) = 0, g(x) =
1
2
sen
(2π
L
x
)
.
(c) f(x) = 3 sen
(π
L
x
)
− sen
(4π
L
x
)
, g(x) =
1
2
sen
(2π
L
x
)
.
(d) f(x) = sen3
(π
L
x
)
, g(x) = 0.
(e) f(x) = 0, g(x) = sen
(π
L
x
)
cos2
(π
L
x
)
.
(f) f(x) = sen3
(π
L
x
)
, g(x) = sen
(π
L
x
)
cos2
(π
L
x
)
.
Exerćıcio 43.
Resolva o problema
∂2t u = c
2∂2xu, 0 ≤ x ≤ L, t > 0;
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0, t ≥ 0;
u(x, 0) = f(x) ∂tu(x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ L.
nos casos seguintes. Em cada caso, calcule a razão entre a amplitudes dos dois primeiros harmônicos que
aparecem na solução.
(a) f(x) = x(L− x), g(x) = 0.
(b) f(x) = 0, g(x) = x cosx, L =
π
2
.
(c) f(x) = sen
(πx
L
)
, g(x) = x(L− x).
(d) L = 1, g(x) = 2, f(x) =

0, 0 ≤ x ≤ 13 ;
1
30
(
x− 1
3
)
, 13 ≤ x ≤
2
3 ;
1
30
(1− x), 23 ≤ x ≤ 1.
(e) L = 1, g(x) = 1, f(x) =

4x, 0 ≤ x ≤ 14 ;
1, 14 ≤ x ≤
3
4 ;
4(1− x), 34 ≤ x ≤ 1.
11
Exerćıcio 44.
No problema da corda dedilhada com posição inicial f , verifique que
u
(
x, t+
L
c
)
= −u(L− x, t).
Isto mostra que posição inicial da corda é reproducida, primeiro como uma imagem espelhada invertida noinstante
L
c
(e nos múltiplos ı́mpares de
L
c
) e, depois na sua forma original no instante
2L
c
(e nos múltiplos
pares de
L
c
).
Exerćıcio 45.
Verifique que quando a corda é dedilhada na metade de seu comprimento, a razão entre as amplitudes de dois
harmônicos “consecutivos” satisfaz
R2j+1
R2j−1
=
(
1− 2
2j + 1
)2
.
Por exemplo,
R3
R1
=
1
9
. Ou seja, neste caso a amplitude do primeiro harmônico é nove vezes maior que a do
próximo harmônico que é escutado quando dedilhamos a corda (o terceiro).
Exerćıcio 46.
Na teoria musical, uma oitava corresponde a dobrar a frequência das ondas sonoras. No meu piano, a corda
do Dó central tem comprimento de 0.7 metros, enquanto a corda uma oitava mais aguda mede 0.6 metros.
Assumindo que as duas cordas tenham a mesma densidade, quanto mais apertada deverá estar a corda mais
curta para estar afinada?
Exerćıcio 47.
Quanto mais longa deveria ser uma corda de um piano para fazer o mesmo som se ela foi apertada duas vezes
mais forte?
Exerćıcio 48.
Utilize a representação do n-ésimo harmônico na forma
un(x, t) = Rn cos
(nπc
L
t− αn
)
sen
(nπ
L
x
)
e a identidade
sen(α) cos(β) =
sen(α+ β) + sen(α− β)
2
para determinar uma função F tal que
un(x, t) = F
(nπ
L
(x− ct) + αn
)
+ F
(nπ
L
(x+ ct)− αn
)
.
Desta forma, representamos un como uma onda estacionária produzida pela interferência de duas ondas com
a mesma frequência, amplitude e comprimento de onda viajando em direções opostas.
12
SEMANA 7
Exerćıcio 49.
(a) Verifique que para qualquer valor de λ, a função u(x, t) = cos(λct) sen(λx) satisfaz a equação da onda
unidimensional ∂2t u = ∂
2
xu.
(b) Utilize a identidade cosβ senα =
1
2
[sen(α+β)+sen(α−β)] para escrever u como superposição de ondas
viajando à esquerda e à direita com velocidade c.
(c) Qual é a relação da fórmula que você obteve com a fórmula na solução geral?
Exerćıcio 50.
Determine as soluções de
∂2t u = c
2∂2xu, −∞ < x <∞, t > 0;
u(x, 0) = f(x), ∂tu(x, 0) = g(x),
nos casos seguintes,
(a) f(x) = x2, g(x) = x.
(b) f(x) = e−x
2
, g(x) = 2cxe−x
2
.
(c) f(x) = 0, g(x) = 1.
(d) f(x) = 1, g(x) = 0.
(e) f(x) = senx, g(x) = c cosx.
(f) f(x) = 0, g(x) = sen2 x.
Exerćıcio 51.
Resolva o exerćıcio 46 da semana passada usando a fórmula de d’Alembert.
F Exerćıcio 52.
Suponha que f : R → R é uma função com duas derivadas cont́ınuas e que g : R → R tem uma derivada
cont́ınua e que ambas são funções de peŕıodo 2L. Prove que se∫ L
−L
g(x)dx = 0,
então para cada x ∈ R, u(x, ·) é uma função periódica com peŕıodo 2L
c
.
F Exerćıcio 53.
Suponha que as funções f : R → R e g : R → R são pares. Prove que a função u dada pela fórmula de
d’Alembert define uma função que é par em relação a x para todo t fixado.
Prove também que se f e g forem ambas ı́mpares, u(·, t) será ı́mpar para todo t fixado.
Ou seja, na fórmula de d’Alembert, dados iniciais pares (́ımpares) produzem soluções pares (́ımpares) em cada
instante de tempo.
F Exerćıcio 54.
Demonstre que se as funções f : R → R e g : R → R têm peŕıodo 2L, então a função u dada pela fórmula
de d’Alembert define uma função que é 2L-periódica em relação a x para todo t fixado.
13
SEMANA 8
Exerćıcio 55.
(a) Verifique que todas as funções u que sejam polinômios de x e y de primeira ordem satisfazem a equação
de Laplace. (ou seja, são funções harmônicas)
(b) Verifique que qualquer função da forma U(x, y) = c0 + c1x + c2y + c3xy satisfaz a equação de Laplace.
Aqui c0, c1, c2 e c3 são constantes arbitrárias.
(c) Determine condicões sobre as constantes a, b e c para que o polinômio homogêneo de segunda ordem
u(x, y) = ax2 + bxy + cy2 satisfaça a equação de Laplace.
Exerćıcio 56.
Sejam ul e u2 funções harmônicas (i.e., soluções da equação de Laplace).
(a) Prove que c1u1 + c2u2 também é uma função harmônica para quaisquer c1, c2 ∈ R.
(b) Se u é harmônica, prove que xu(x, y) é harmônica se e somente se u(x, y) = ay+b, para a e b constantes.
(c) Dê um exemplo de duas funções harmônicas cujo produto não seja uma função harmônica.
Exerćıcio 57.
Escreva o problema de Dirichlet para a equação de Laplace satisfeito pela função u(x, y) = −1 + xy no
quadrado unitário [0, 1]2.
Exerćıcio 58.
Em cada um dos casos a seguir, determine a solução da equação de Laplace no retângulo R = (0, 1)× (0, 2)
que satisfaz as condições de Dirichlet indicadas.
(a)
{
u(x, 0) = sen(πx), u(x, 2) = 3 sen(4πx)− 2 sen(6πx), 0 ≤ x ≤ 1;
u(0, y) = 0, u(1, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 2.
(b)
{
u(x, 0) = 3 sen(4πx)− 2 sen(6πx), u(x, 2) = sen(πx), 0 ≤ x ≤ 1;
u(0, y) = 0, u(1, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 2.
(c)
{
u(x, 0) = 0, u(x, 2) = x(1− x), 0 ≤ x ≤ 1;
u(0, y) = 0, u(1, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 2.
(d)
{
u(x, 0) = 0, u(x, 2) = sen(πx), 0 ≤ x ≤ 1;
u(0, y) = − sen
(3πy
2
)
, u(1, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 2.
(e)
{
u(x, 0) = 0, u(x, 2) = 0, 0 ≤ x ≤ 1;
u(0, y) = 0, u(1, y) = y(2− y), 0 ≤ y ≤ 2.
(f)
{
u(x, 0) = sen(πx), u(x, 2) = sen(πx), 0 ≤ x ≤ 1;
u(0, y) = sen(πy), u(1, y) = sen(πy), 0 ≤ y ≤ 2.
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Exerćıcios Adicionais para esta semana
Exerćıcio 59.
Determine todas as funções harmônicas na forma produto, ou seja, da forma u(x, y) = X(x)Y (y).
Tente arranjar os termos de forma a obter para X a equação X ′′(x) = λX(x) para que você possa utilizar as
soluções já obtidas em semanas anteriores.
Exerćıcio 60.
A versão não homogênea da equação de Laplace é chamada de equação de Poisson
∂2xu+ ∂
2
yu = h(x, y),
nomeada assim em homenagem a Siméon-Denis Poisson, que foi aluno de Laplace. Se u representa a tem-
peratura estacionária de uma membrana, a função h corresponde a fontes de calor. Quando u representa a
posição de uma membrana, h corresponde a uma força externa.
(a) Determine a solução do problema ∂2xu + ∂
2
yu = 1 para x
2 + y2 < 1 e u(x, y) = 0 para x2 + y2 = 1.
Sugestão: A solução é um polinômio muito simples.
(b) A solução pode ser interpretada como a posição no equiĺıbrio de um tambor circular sujeito a uma força
gravitacional constante. Interprete o gráfico da solução obtida.
Figura 1: Gráfico da solução
Exerćıcio 61.
Usando a interpretação de distribuição de temperatura estacionária, descreva as diferenças entre o significado
f́ısico dos problemas homogêneos de Dirichlet e de Neumann para a equação de Laplace.
Exerćıcio 62.
Considere o problema
∂2xu+∂
2
yu = 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1;
u(x, 0) = 2 cos(7πx)− 4, u(x, 1) = 5 cos(πx), 0 ≤ x ≤ 1;
∂xu(0, y) = 0, ∂xu(1, y) = 0, 0 ≤ y ≤ 1.
Se interpretarmos a solução u como a temperatura estacionária de uma placa quadrada, as condições de
fronteira dadas correspondem à situação em que as bordas laterais da placa foram isoladas e nas bordas
superior e inferior a temperatura é uma função dada.
15
https://en.wikipedia.org/wiki/Sim\unhbox \voidb@x \bgroup \let \unhbox \voidb@x \setbox \@tempboxa \hbox {e\global \mathchardef \accent@spacefactor \spacefactor }\let \begingroup \endgroup \relax \let \ignorespaces \relax \accent 19 e\egroup \spacefactor \accent@spacefactor on_Denis_Poisson
(a) Decomponha o problema em dois para os quais você possa obter a solução usando o método de separação
de variáveis.
(b) Resolva um destes problemas.
(c) Resolva agora o outro aproveitando as soluções fatoradas que você achou no item anterior.
(d) Utilize o Prinćıpio de Superposição para obter a solução do problema original.
Exerćıcio 63.
Neste exerćıcio você irá determinar a solução do problema
∂2xu+∂
2
yu = 0, 0 < x < 1, 0 < y < 1;
u(x, 0) = −1 + x+ 2 sen(5πx), u(x, 1) = 2(x− 1), 0 ≤ x ≤ 1;
u(0, y) = −1− y, u(1, y) = 3 sen(2πy), 0 ≤ y ≤ 1.
(a) Verifique que neste caso não podemos aplicar diretamente a proposição 8.1 das notas de aula pois a solução
não vale zero nos vértices do retângulo.
(b) Encontre uma função da forma U(x, y) = c0 + c1x + c2y + c3xy tal que U(0, 0) = u(0, 0), U(1, 0) =
u(1, 0), U(0, 1) = u(0, 1)e U(1, 1) = u(1, 1). Perceba que você deve apenas calcular as constantes.
(c) Chame de v à nova função incógnita v(x, y) = u(x, y)− U(x, y). Escreva o problema de Dirichlet que v
satisfaz e resolva este problema.
(d) Escreva a expressão para u.
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SEMANA 9
Em todos os exerćıcios a seguir, você deverá exprimir a solução em coordenadas cartesianas caso as condições
de fronteira estejam dadas nessas coordenadas. Nos outros casos, a solução pode ser dada em coordenadas
polares.
Será bastante útil lembrar das identidades trigonométricas
sen 2θ = 2 sen θ cos θ
cos 2θ = cos2 θ − sen2 θ
cos2 θ =
1
2
+
1
2
cos 2θ.
Exerćıcio 64.
Considere um anel centrado na origem, de raios interior e exterior Rint = 1 e Rext = 2. Determine a função
que satisfaz a equação de Laplace nesse anel e que coincide nas circunferências interior e exterior com as
funções g e f , respectivamente em cada um dos casos a seguir.
(a) F (θ) = a sen(3θ)
G(θ) = b sen(3θ), com a e b constantes.
(b) F (θ) = −2 + 6 cos(4θ)− 25 sen(7θ)
G(θ) = 0.
(c) f(x, y) = a, g(x, y) = b, com a e b constantes.
(d) f(x, y) =
x2
x2 + y2
, g(x, y) =
xy
x2 + y2
.
Exerćıcio 65.
Determine a função que satisfaz a equação de Laplace no ćırculo de raio R = 2 e que coincide na circunferência
com a função dada em cada um dos casos a seguir.
(a) f(x, y) = a com a constante.
(b) F (θ) = −2 + 6 cos(4θ)− 25 sen(7θ) .
(c) F (θ) = θ2.
(d) f(x, y) =
x2
x2 + y2
.
Exerćıcios Adicionais
Exerćıcio 66.
Verifique que uma função que satisfaça a equação de Laplace no anel Rint < r < Rext e que seja da forma
U(r, θ) = h(θ) deve ser constante.
Exerćıcio 67.
Verifique que as soluções fatoradas Un(r, θ) da equação de Laplace
Urr +
1
r
Ur +
1
r2
Uθθ = 0, satisfazendo a condição de periodicidade U(r, θ) = U(r, θ + 2π) que são limitadas
fora do ćırculo com centro na origem de coordenadas e com raio R podem ser obtidas fazendo α0 = 0,
an = 0, bn = 0, n ≥ 1 nas expressões das soluções fatoradas (9.11) e (9.12) das notas de aula.
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Exerćıcio 68.
Utilizando o exerćıcio anterior, para cada uma das funções F especificadas a seguir, determine a função
harmônica fora do ćırculo {r ≤ 2}, que é limitada e que coincide com a função F dada sobre a circunferência
r = 2.
(a) F (θ) = a, com a constante.
(b) F (θ) = 1 + 2 cos θ + cos(2θ).
(c) F (θ) = cos2 θ.
(d) F (θ) = θ2.
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SEMANA 11
Exerćıcio 69.
Determine a forma complexa das séries de Fourier das funções a seguir, definidas no intervalo [−π, π].
(a) f(x) = senx. Sugestão: Escreva senx usando exponenciais com expoente imaginário.
(b) f(x) = sen3 x. Sugestão: Use a sugestão anterior e a fórmula de (a+ b)3.
(c) f(x) = x.
(d) f(x) = ex cosx. Sugestão: Escreva cosx usando exponenciais com expoente imaginário.
Exerćıcio 70.
(a) Verifique que f : [−L,L]→ R é par se e somente se ck ∈ R, para todo k ∈ Z.
(b) Verifique que f : [−L,L]→ R é ı́mpar se e somente se a parte real de ck for zero, para todo k ∈ Z.
Exerćıcio 71.
Seja f(x) =
{
1, a ≤ x ≤ b;
0, x < a ou x > b.
(a) Calcule a transformada de Fourier de f .
(b) Qual relação deve haver entre a e b para que a parte imaginária de f̂(ω) valha zero para qualquer valor
de ω?
Exerćıcio 72.
Suponha que definimos a transformada de Fourier pela expressão∫ ∞
∞
f(x)e−iωxdx.
Qual será neste caso a fórmula para a transformada de Fourier inversa?
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SEMANA 12
Exerćıcio 73.
Determine a transformada de Fourier das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista em sala
de aula.
(a) e−(x+4)
2
.
(b)
{
x, |x| < 1
0, |x| ≥ 1.
(c)
{
e−2x, x ≥ 0;
e3x, x < 0..
(d)
{
e−x senx, x > 0;
0, x ≤ 0.
Exerćıcio 74.
Determine a transformada de Fourier inversa das funções a seguir utilizando a tabela de transformadas vista
em sala de aula.
(a) e−ω
2
.
(b)
{
e−ω senω, ω ≥ 0;
0, ω < 0..
(c) e−|ω|.
(d)
{
1, α < ω < β; ;
0, caso contrário.
20
SEMANA 13
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