Eliminação de Gauss com pivotação parcial

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Humanas / Sociais

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25/03/2023

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Eliminação de Gauss
Löıc Cerf
1 de setembro de 2022
UFMG – ICEx – DCC
Exerćıcio A
Exerćıcio
Resolva o sistema linear pelo método de eliminação de
Gauss com pivotação parcial, usando 4 casas decimais:
−x1 + x2 − 2x3 = −20
5x1 + 2x2 + x3 = 21
2x1 + 5x2 + 4x3 = 33
.
Calcule o vetor reśıduo e a norma-2 dele.
2 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
O sistema na forma matricial:
Ax = b com A =
 −1 1 −25 2 1
2 5 4
, x =
 x1x2
x3
 e b =
 −2021
33
.
3 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
m A b operações
L1 −1 1 −2 −20
L2 5 2 1 21
L3 2 5 4 33
L4 0 1,4 − 1,8 − 15,8 − (−0,2)L2 + L1
L5 0 4,2 3,6 24,6 − 0,4L2 + L3
L6 0 0 − 2,9999 − 23,9992 − 0,3333L5 + L4
4 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
m A b operações
L1 −1 1 −2 −20
L2 5 2 1 21
L3 2 5 4 33
L4 0 1,4 − 1,8 − 15,8 − (−0,2)L2 + L1
L5 0 4,2 3,6 24,6 − 0,4L2 + L3
L6 0 0 − 2,9999 − 23,9992 − 0,3333L5 + L4
4 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
m A b operações
L1
−1
5 −1 1 −2 −20
L2 5 2 1 21
L3 2 5 4 33
L4 0 1,4 − 1,8 − 15,8 − (−0,2)L2 + L1
L5 0 4,2 3,6 24,6 − 0,4L2 + L3
L6 0 0 − 2,9999 − 23,9992 − 0,3333L5 + L4
4 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
m A b operações
L1 −0,2 −1 1 −2 −20
L2 5 2 1 21
L3 2 5 4 33
L4 0 1,4
− 1,8 − 15,8
− (−0,2)L2 + L1
L5 0 4,2 3,6 24,6 − 0,4L2 + L3
L6 0 0 − 2,9999 − 23,9992 − 0,3333L5 + L4
4 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
m A b operações
L1 −0,2 −1 1 −2 −20
L2 5 2 1 21
L3 2 5 4 33
L4 0 1,4 − 1,8
− 15,8
− (−0,2)L2 + L1
L5 0 4,2 3,6 24,6 − 0,4L2 + L3
L6 0 0 − 2,9999 − 23,9992 − 0,3333L5 + L4
4 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
m A b operações
L1 −0,2 −1 1 −2 −20
L2 5 2 1 21
L3 2 5 4 33
L4 0 1,4 − 1,8 − 15,8 − (−0,2)L2 + L1
L5 0 4,2 3,6 24,6 − 0,4L2 + L3
L6 0 0 − 2,9999 − 23,9992 − 0,3333L5 + L4
4 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
m A b operações
L1 −0,2 −1 1 −2 −20
L2 5 2 1 21
L3
2
5 2 5 4 33
L4 0 1,4 − 1,8 − 15,8 − (−0,2)L2 + L1
L5 0 4,2 3,6 24,6 − 0,4L2 + L3
L6 0 0 − 2,9999 − 23,9992 − 0,3333L5 + L4
4 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
m A b operações
L1 −0,2 −1 1 −2 −20
L2 5 2 1 21
L3 0,4 2 5 4 33
L4 0 1,4 − 1,8 − 15,8 − (−0,2)L2 + L1
L5 0 4,2
3,6 24,6
− 0,4L2 + L3
L6 0 0 − 2,9999 − 23,9992 − 0,3333L5 + L4
4 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
m A b operações
L1 −0,2 −1 1 −2 −20
L2 5 2 1 21
L3 0,4 2 5 4 33
L4 0 1,4 − 1,8 − 15,8 − (−0,2)L2 + L1
L5 0 4,2 3,6
24,6
− 0,4L2 + L3
L6 0 0 − 2,9999 − 23,9992 − 0,3333L5 + L4
4 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
m A b operações
L1 −0,2 −1 1 −2 −20
L2 5 2 1 21
L3 0,4 2 5 4 33
L4 0 1,4 − 1,8 − 15,8 − (−0,2)L2 + L1
L5 0 4,2 3,6 24,6 − 0,4L2 + L3
L6 0 0 − 2,9999 − 23,9992 − 0,3333L5 + L4
4 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
m A b operações
L1 −0,2 −1 1 −2 −20
L2 5 2 1 21
L3 0,4 2 5 4 33
L4 0 1,4 − 1,8 − 15,8 − (−0,2)L2 + L1
L5 0 4,2 3,6 24,6 − 0,4L2 + L3
L6 0 0 − 2,9999 − 23,9992 − 0,3333L5 + L4
4 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
m A b operações
L1 −0,2 −1 1 −2 −20
L2 5 2 1 21
L3 0,4 2 5 4 33
L4
1,4
4,2 0 1,4 − 1,8 − 15,8 − (−0,2)L2 + L1
L5 0 4,2 3,6 24,6 − 0,4L2 + L3
L6 0 0 − 2,9999 − 23,9992 − 0,3333L5 + L4
4 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
m A b operações
L1 −0,2 −1 1 −2 −20
L2 5 2 1 21
L3 0,4 2 5 4 33
L4 0,3333 0 1,4 − 1,8 − 15,8 − (−0,2)L2 + L1
L5 0 4,2 3,6 24,6 − 0,4L2 + L3
L6 0 0 − 2,9999
− 23,9992
− 0,3333L5 + L4
4 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
m A b operações
L1 −0,2 −1 1 −2 −20
L2 5 2 1 21
L3 0,4 2 5 4 33
L4 0,3333 0 1,4 − 1,8 − 15,8 − (−0,2)L2 + L1
L5 0 4,2 3,6 24,6 − 0,4L2 + L3
L6 0 0 − 2,9999 − 23,9992 − 0,3333L5 + L4
4 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
m A b operações
L1 −0,2 −1 1 −2 −20
L2 5 2 1 21
L3 0,4 2 5 4 33
L4 0,3333 0 1,4 − 1,8 − 15,8 − (−0,2)L2 + L1
L5 0 4,2 3,6 24,6 − 0,4L2 + L3
L6 0 0 -2,9999 − 23,9992 − 0,3333L5 + L4
4 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
Ax = b ∼
 5 2 10 4,2 3,6
0 0 −2,9999
 x1x2
x3
 =
 2124,6
−23,9992
.
Soluções do sistema triangular superior obtidas pelas substituições
retroativas:
x3 =
−23,9992
−2,9999
x2 =
24,6−3,6×8
4,2
x1 =
21−2×(−1)−1×8
5
5 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
Ax = b ∼
 5 2 10 4,2 3,6
0 0 −2,9999
 x1x2
x3
 =
 2124,6
−23,9992
.
Soluções do sistema triangular superior obtidas pelas substituições
retroativas:
x3 =
−23,9992
−2,9999
x2 =
24,6−3,6×8
4,2
x1 =
21−2×(−1)−1×8
5
5 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
Ax = b ∼
 5 2 10 4,2 3,6
0 0 −2,9999
 x1x2
x3
 =
 2124,6
−23,9992
.
Soluções do sistema triangular superior obtidas pelas substituições
retroativas:
x3 =
−23,9992
−2,9999
x2 =
24,6−3,6×8
4,2
x1 =
21−2×(−1)−1×8
5
5 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
Ax = b ∼
 5 2 10 4,2 3,6
0 0 −2,9999
 x1x2
8
 =
 2124,6
−23,9992
.
Soluções do sistema triangular superior obtidas pelas substituições
retroativas:
x3 = 8
x2 =
24,6−3,6×8
4,2
x1 =
21−2×(−1)−1×8
5
5 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
Ax = b ∼
 5 2 10 4,2 3,6
0 0 −2,9999
 x1x2
8
 =
 2124,6
−23,9992
.
Soluções do sistema triangular superior obtidas pelas substituições
retroativas:
x3 = 8
x2 =
24,6−3,6×8
4,2
x1 =
21−2×(−1)−1×8
5
5 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
Ax = b ∼
 5 2 10 4,2 3,6
0 0 −2,9999
 x1−1
8
 =
 2124,6
−23,9992
.
Soluções do sistema triangular superior obtidas pelas substituições
retroativas:
x3 = 8
x2 = −1
x1 =
21−2×(−1)−1×8
5
5 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
Ax = b ∼
 5 2 10 4,2 3,6
0 0 −2,9999
 x1−1
8
 =
 2124,6
−23,9992
.
Soluções do sistema triangular superior obtidas pelas substituições
retroativas:
x3 = 8
x2 = −1
x1 =
21−2×(−1)−1×8
5
5 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
Ax = b ∼
 5 2 10 4,2 3,6
0 0 −2,9999
 3−1
8
 =
 2124,6
−23,9992
.
Soluções do sistema triangular superior obtidas pelas substituições
retroativas:
x3 = 8
x2 = −1
x1 = 3
5 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
Resultado −1 1 −25 2 1
2 5 4
 x =
 −2021
33
⇔ x =
 3−1
8
.
O vetor reśıduo é: −2021
33
−
 −1 1 −25 2 1
2 5 4
 3−1
8
 =
 −2021
33
−

− 20
21
33

A norma-2 do vetor reśıduo é
√
02 + 02 + 02 = 0.
6 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
Resultado −1 1 −25 2 1
2 5 4
 x =
 −2021
33
⇔ x =
 3−1
8
.
O vetor reśıduo é: −2021
33
−
 −1 1 −25 2 1
2 5 4
 3−1
8
 =
 −2021
33
−

− 20
21
33

A norma-2 do vetor reśıduo é
√
02 + 02 + 02 = 0.
6 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
Resultado −1 1 −25 2 1
2 5 4
 x =
 −2021
33
⇔ x =
 3−1
8
.
O vetor reśıduo é: −2021
33
−
 −1 1 −25 2 1
2 5 4
 3−1
8
 =
 −2021
33
−
 − 20
21
33

A norma-2 do vetor reśıduo é
√
02 + 02 + 02 = 0.
6 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
Resultado −1 1 −25 2 1
2 5 4
 x =
 −2021
33
⇔ x =
 3−1
8
.
O vetor reśıduo é: −2021
33
−
 −1 1 −25 2 1
2 5 4
 3−1
8
 =
 −2021
33
−
 − 2021
33

A norma-2 do vetor reśıduo é
√
02 + 02 + 02 = 0.
6 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
Resultado −1 1 −25 2 1
2 5 4
 x =
 −2021
33
⇔ x =
 3−1
8
.
O vetor reśıduo é: −2021
33
−
 −1 1 −25 2 1
2 5 4
 3−1
8
 =
 −2021
33
−
 − 2021
33

A norma-2 do vetor reśıduo é
√
02 + 02 + 02 = 0.
6 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
Resultado −1 1 −25 2 1
2 5 4
 x =
 −2021
33
⇔ x =
 3−1
8
.
O vetor reśıduoé: −2021
33
−
 −1 1 −25 2 1
2 5 4
 3−1
8
 =
 00
0

A norma-2 do vetor reśıduo é
√
02 + 02 + 02 = 0.
6 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio A
Resultado −1 1 −25 2 1
2 5 4
 x =
 −2021
33
⇔ x =
 3−1
8
.
O vetor reśıduo é: −2021
33
−
 −1 1 −25 2 1
2 5 4
 3−1
8
 =
 00
0

A norma-2 do vetor reśıduo é
√
02 + 02 + 02 = 0.
6 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio B
Exerćıcio para entregar
Resolva o sistema linear pelo método de eliminação de
Gauss com pivotação parcial, usando 2 casas decimais:
2x1 − x2 + 3x3 = 9
−x1 + 2x2 − x3 = 0
3x1 + 2x2 − 2x3 = 1
.
Formulário
‖x‖p = p
√∑n
i=1 |xi |p
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Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio C
Exerćıcio
Resolve o sistema linear pelo método de eliminação de
Gauss com pivotação parcial, usando 3 casas decimais:
−x1 + x3 = 2
−x1 + x2 = 1
4x1 − x2 − x3 − x4 = −1
−x1 + x4 = 3
.
Formulário
‖x‖p = p
√∑n
i=1 |xi |p
8 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
Exerćıcio D
Exerćıcio
Resolva o sistema linear pelo método de eliminação de
Gauss com pivotação parcial (em caso de igualdade, es-
colha o primeiro valor igual), usando 3 casas decimais:
x1 + 6x3 + 2x4 = 6
8x1 − 2x3 − 2x4 = −2
2x1 + 9x2 + x3 + 3x4 = −8
2x1 + x2 − 3x3 + 10x4 = −4
9 / 10
Löıc Cerf Eliminação de Gauss
N
License
©2013–2022 Löıc Cerf
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Löıc Cerf Eliminação de Gauss
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