Fundamentos de Álgebra: Subgrupos e Grupos Cíclicos

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FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
SUBGRUPOS E GRUPOS CÍCLICOS
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Olá!
Boa tarde, null!
Nesta aula, vamos conhecer a definição de “subgrupos”, que nada mais são do que grupos dentro de grupos.
Veremos suas propriedades e formas mais simples de identificarmos se um determinado subconjunto é um
subgrupo de um grupo G.
Essa análise será feita através das principais proposições de subgrupos. Abordaremos as potências de um grupo,
subgrupos gerados por elementos do grupo, grupos cíclicos e ordem de um elemento do grupo.
Bons estudos!
Objetivos:
Definir “subgrupo” e seus principais resultados e verificar se um determinado subconjunto de um grupo é· 
subgrupo dele;
Definir “potência de um grupo” e identificar subgrupos gerados por elementos do grupo;· 
Observar os grupos cíclicos e a ordem de um elemento do grupo.· 
1 Subgrupos
Vamos iniciar esta aula conhecendo a de . Veja:definição Subgrupos
Seja G um grupo e um subconjunto não vazio de G. Diremos que H é um subgrupo de G quando a operação de⊆
G, restrita a H, também for um grupo.
Notação: ≤
Sendo assim, H é um subgrupo de G se, e somente se,
I
∀h ,h 
1 2
∈, temos h h 
1 2
∈ (Lei do fechamento).
II
∀h ,h ,h 
1 2 3
∈, temos
h (h h )=(h h )h (Propriedade associativa).
1 2 3 1 2 3
III
∃e 
h
∈, tal que e h = he = h,
h h
∀h ∈, (Elemento neutro).
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IV
∀h∈, ∃h′∈, tal que hh′=h′h=e (Elemento simétrico).
h 
ATENÇÃO
1. Podemos usar, simplesmente, h h no lugar de h * h .
1 2 1 2
2. O elemento neutro e 
h
∈ deve ser igual ao neutro de G.
Vamos considerar e o elemento neutro de H e o elemento neutro de G.
h
e
Note que, dado h∈⊆, temos e h=h. Multiplicando essa igualdade à direita por h encontraremos e hh = hh =
h
-1
h
-1 -1
e ⇒ e = e
h
3. O elemento simétrico de h∈ é o mesmo simétrico de h em G.
Note que h′ é o simétrico de h em G, temos hh′=e. Como e =e em (2) podemos escrever que hh′=hh´
h
, em que h'G é
o elemento simétrico de G. Multiplicando essa igualdade por h', teremos h´hh´G ⇒ h′=h´G.
4. Todo grupo G admite pelo menos dois subgrupos: G e {e}. Eles são chamados de subgrupos triviais de G.
2 Subgrupos e proposições
Como analisar todas as propriedades que vimos anteriormente é muito trabalhoso, destacamos as principais
 por meio das quais poderemos , de maneira mais simples, que H éproposições sobre os subgrupos verificar
um subgrupo do grupo G. Observe:
Proposição 1
Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então, H é um subgrupo de G se, e somente se, são satisfeitas as
seguintes propriedades:
a) ∀h1, h2 ∈ , temos h1 h2 ∈ ;
b) ∀h∈, ∃h′ ∈ , tal que h′∈ .
Demonstração:
Nesta demonstração, provaremos a ida e a volta da proposição:
(Ida)
Suponhamos H um subgrupo de G.
Da definição (I), segue (a) ∀h1,h2∈, temos h1 h2∈
Seja h∈. Da definição (IV) e da observação (3), que diz que o elemento simétrico de h∈ é o mesmo simétrico de h
em G, podemos concluir que h′∈. Assim, fica verificada a propriedade (b).
(Volta)
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Suponhamos válidas as propriedades (a) e (b). Então, a propriedade
(I) é verificada por (a).
(II) é válida em H, pois em G vale a propriedade associativa.
(III) Por (b), ∀h∈, ∃h′∈, tal que h′∈ e por (a), hh′∈⇒hh′=∈
(IV) De (b), h∈, h′∈ hh′=h′h=
Para visualizar alguns encontrados na literatura, clique no botão ao lado:exemplos de subgrupos
http://estaciodocente.webaula.com.br/cursos/gon535/docs/a03_t03_1.pdf
Proposição 2: 
Seja (G,*) um grupo. Se R e S são subgrupos de G, então, R∩S é um subgrupo de G.
Demonstração:
Temos por hipótese que G é um grupo e R e S são subgrupos de G. Pela hipótese, temos que R e S contêm o
elemento e ∈, ou seja e ∈ e e ∈. Portanto, e ∈∩. Isso nos mostra que ∩≠∅. Além disso, ∩⊂G, pois ⊂ ⊂G. Vamos 
considerar dois elementos ,∈∩. Pela teoria dos conjuntos, temos que ,∈ ,∈ . Pela hipótese, temos que ∈ ∈ ⇒∈∩ . 
Agora, considerando um elemento x ∈∩, temos que ∈ ∈, pela hipótese, ′∈ ′∈⇒′∈∩. Portanto, ∩ é um subgrupo de 
G.
ATENÇÃO
Note que é falso dizer que, se R e S são subgrupos do grupo G, então ∪ é subgrupo de G. Veja que, supondo ser G 
um grupo aditivo dos inteiros, R um subgrupo dos inteiros pares e S um subgrupo dos múltiplos de 3, então, 3 +
2 = 5 ∉∪. Portanto, ∪ não é subgrupo de G. 
O mesmo ocorre se considerarmos os conjuntos A = {(a,0) / ∈ } e B = {(0,b) / ∈} subgrupos de R . Veja que a2
união ∪ não é um subgrupo de R . Por exemplo, vamos considerar dois elementos: (1,0) 2 ∈ e (0,1) ∈ , note que
(1,0) + (0,1) = (1,1) ∉∪ .
Proposição 3:
Determinação de todos os subgrupos de (Z, +)
Se H é um subgrupo de (Z, +) então H = nZ para algum ∈, ≥0.
Observação: nZ = {nk, ∈}
Veja que nZ = (-n)Z, para todo n em Z. Por esse motivo, consideramos n>0 quando vamos encontrar os
subconjuntos nZ.
Com essa proposição, podemos verificar que 4Z é subgrupo de 2Z, ou seja, o conjunto dos múltiplos de 4 é um
subgrupo aditivo do grupo formado pelos números pares.
Proposição 4: 
Seja G um grupo. Um subconjunto não vazio H de G é um subgrupo de G, se e somente se, para qualquer h ,h 
1 2
∈,
http://estaciodocente.webaula.com.br/cursos/gon535/docs/a03_t03_1.pdf
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h h′
1 2 
∈ .
Demonstração:
(Ida)
Por hipótese, temos que H é um subgrupo de G. Sejam dois elementos h ,h 
1 2
∈. Então,
h' 
2
∈. Portanto, h h′
1 2 
∈.
(Volta)
Suponhamos que, para quaisquer h ,h 
1 2
∈, h h′
1 2 
∈. Como H ≠ Ø, existe um elemento x em H. Segue-se que e = x.x' ∈
. Seja h∈. Então, h' = e.h' ∈. Temos, também, que h h′
1 2 
∈ e, portanto, h ,h =h (h' )′
1 2 1 2
∈. Pela proposição 1, H é um
subgrupo de G.
3 Potências de um grupo
Após conhecer a definição de subgrupos e as suas proposições, vamos definir as .potências de um grupo
Observe:
Seja G um grupo com uma operação * . Vamos considerar e o elemento neutro do grupo G, a um elemento de G e
m um inteiro qualquer. Vamos definir a potência de base a e expoente m, denotada por am, como sendo o
elemento do grupo G definido por:
Sendo (G,* ) um grupo onde o elemento neutro é "e" podemos dizer que
a = a = a = e * a = a1 0 
a = a * a = a * a2 1
a = a * a = (a * a) * a3 2 
a = (a ) = (a*a) = a * a-2 2 -1 -1 -1 -1
a = a * a * a-3 -1 -1 -1
Para visualizar alguns , clique no link ao lado: exemplos de potências de grupo http://estaciodocente.webaula.
com.br/cursos/gon535/docs/a03_t04.pdf
http://estaciodocente.webaula.com.br/cursos/gon535/docs/a03_t04.pdf
http://estaciodocente.webaula.com.br/cursos/gon535/docs/a03_t04.pdf
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4 Potência de uma operação
Agora vamos definir potência de uma operação. observe:
Veja alguns exemplos:
1) Considere o grupo (Z,+) e a = 4.
a = 4 = 4 + 4 = 8 , veja que a potência é da operação adição.2 2
2) Considere o grupo (Z6 ,+) e a = 4.
a = 4 = 4 + 4 = 8 = 2 (resto)2 2
5 Potências do elemento 2 no conjunto (Z8,+)
Agora, observe ( ,+):todas as potências do elemento 2 no conjunto Z8
a = 2
2 = 1 2
2 = 2 + 2 = 42
2 = 2 + 2 = 4 + 2 = 3 2 6
2 = 2 + 2 = 6 + 2 = 8 = 4 3 0
2 = 2 + 2 = 0 + 2 = 5 4 2
Veja que voltamos ao primeiro valor encontrado na primeira potência.
Então, podemos escrever: 2 = {2,4,6,0}.n
ATENÇÃO
Veja que {2,4,6,0} é um subconjunto de obtido a partir das potências de 2. Vamos chamá-lo de H = {2,4,6,0}.Z8
Assim, podemos dizer que H é um subgrupo gerado por 2. Denotamos por H = [2] ou H = 〈2〉 .
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6 Subgrupo gerado por elementos
A partir da definição de potência no elemento 2, podemos apresentar a definição de subgrupo gerado por
. Veja:elementos
Seja G um grupo e a um elemento de G. Denominamos subgrupo gerado por a o conjunto de todas as potências
inteiras de a, isto é:
〈〉={…,−2,−1,0,1,2,…}, em que a = e (elemento neutro do grupo G para todo elemento a de G).0
G
〈〉→ representa o subgrupo gerado por a, e a é dito gerador do subgrupo.
Para visualizar alguns , clique no link ao lado: exemplos de subgrupo gerado por elementos
http://estaciodocente.webaula.com.br/cursos/gon535/docs/a03_t07.pdf
7 Grupo Cíclico
Podemos definir como sendo um grupo que com um Grupo Cíclicocoincide subgrupo gerado por seus
Veja:elementos. 
Seja G um grupo. Dizemos que G é um grupo cíclico se existe um elemento a de G, tal que o grupo G coincide
como subgrupo gerado pelos elementos de a.
Se G é grupo cíclico, então, ∃∈, 
G=〈〉 = {=; ∈}
Podemos usar as seguintes notações: G = [a] ou G = 〈〉
Veja alguns exemplos:
1: O grupo multiplicativo G = {1, -1} é cíclico, pois [-1] = {(-1) / m m ∈ Z} = {1,-1} = G.
2: O grupo G = {1, i, -1, i} é um grupo cíclico, em que i e -1 são os geradores do grupo G.
3: O grupo multiplicativo dos números reais positivos não é cíclico, pois não é possível encontrar um número
real positivo em que as potências gerem todo o grupo.
4: Se G for um grupo aditivo, então usaremos o conceito de múltiplo no lugar de potência de um elemento. G será
cíclico quando existir um elemento a em G tal que =[] = {; ∈}. Por exemplo, o grupo (Z, +) é cíclico, pois Z = [1].
Separamos algumas proposições sobre Grupo Cíclico, para visualizá-las clique no link ao lado: 
http://estaciodocente.webaula.com.br/cursos/gon535/docs/a03_t08.pdf 
http://estaciodocente.webaula.com.br/cursos/gon535/docs/a03_t07.pdf
http://estaciodocente.webaula.com.br/cursos/gon535/docs/a03_t08.pdf
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O que vem na próxima aula
• Classes laterais;
• Subgrupo normal;
• Grupo quociente.
CONCLUSÃO
Nesta aula, você:
• Reconheceu a definição de “subgrupo” e seus principais resultados;
• Aprendeu a verificar se um determinado subconjunto de um grupo é subgrupo desse grupo;
• Verificou a definição de “potência de um grupo”;
• Aprendeu a determinar subgrupos gerados por elementos do grupo;
• Identificou a definição de “grupos cíclicos” e a ordem de um elemento do grupo.
Referências
DOMINGUES, Hygino H.; IEZZI, G. . 3. ed. São Paulo: Atual, 2000.Álgebra moderna
DURBIN, J. R. . 4. ed. Wiley, 2000.Modern Algebra: an introduction
GARCIA, A. um curso de introdução. Rio de Janeiro: IMPA-Projeto Euclides, 2003.Álgebra: 
Saiba mais
Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula, leia os seguintes artigos:
P-Grupos. Disponível .aqui
Grupos de Permutações e Grupos Finitos Simples. Disponível aqui.
Uma análise histórico-epistemológica do conceito de grupo. Disponível aqui.
Grupos e Simetria – UNIFEMM. Disponível aqui.
Leia o seguinte livro:
FARMER, D. W. Grupos e Simetrias: um guia para descobrir a Matemática. Série “A Matemática
em Construção”. Tradução: Cristina Isabel Januario. Editora Gradiva. Portugal, 1999.
Acesse o seguinte site:
Grupos Finitos Gerados por dois elementos a e b. Disponível .aqui
•
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•
•
http://www.mat.ufmg.br/pet/Mono_Alice.pdf
https://propp.ufms.br/gestor/titan.php?target=openFile&fileId=610
http://www.repositorio.ufrn.br:8080/jspui/handle/123456789/14197
https://www.unifemm.edu.brnet/Simetrias.pdf
http://www.mat.ufmg.br/
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GONÇALVES, A. . 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2003.Introdução à algebra
LANG, S. . Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda, 2008.Álgebra para Graduação
	Olá!
	1 Subgrupos
	2 Subgrupos e proposições
	3 Potências de um grupo
	4 Potência de uma operação
	5 Potências do elemento 2 no conjunto (Z8,+)
	6 Subgrupo gerado por elementos
	7 Grupo Cíclico
	O que vem na próxima aula
	CONCLUSÃO
	Referências