Cálculo Diferencial e Integral II - Lista 3

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Cálculo Diferencial e Integral II - Lista 3
Professor: Vanderson Lima
Instituição: Universidade Federal do Rio Grande do Sul
1. Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial, usando o
método de separação de variáveis:
a) 3y2y′ = − senx, y(π
2
) = 1
b) y′ = y2 − exy2, y(0) = 1
c) y′ =
x2
y
, y(0) = −5
d) y′ =
1 + x
xy
, x > 0, y(1) = −3
e) y′ = x2e−y, y(0) = 0
2. Encontre a solução dos seguintes problemas de valor inicial, usando o
método do fato integrante:
a) y′ + 2y = 1, y(0) = 1
b) xy′ − y = −1, x > 0, y(1) = 1
c) y′ + y
1+x
= 20, x > −1, y(0) = 10
d) y′ + (cosx)y = cosx, y(2π) = 2
e) y′ + y = e2x, y(0) = −1
3. Nos itens abaixo esboçe o gráfico das soluções que satisfazem as condições
iniciais dadas:
1
a) y′ = y2 − 9, y(0) = −4, y(0) = 1, y(0) = 4
b) y′ = y3 + 1, y(0) = −2, y(0) = 3
c) y′ = 1− y2, y(0) = −2, y(0) = −1
2
, y(0) = 2
Dica: Para desenhar o gráfico de g(y) = y3 + 1, mova o gráfico de f(y) = y3
de modo que a origem (0, 0) seja deslocada para o ponto (0, 1).
Gabarito
1.
a) 3
√
cosx+ 1 b)
1
1− x+ ex
c) − 3
√
2
3
x3 + 25 d) −
√
2x+ 2 lnx+ 7
e) ln(x
3
3
+ 1)
2.
a) 1
2
(1+e−2x) b) −x lnx+x c) 10+10x d) 1+e− senx e) 1
3
e2x− 4
3
e−x
3.
a) y(0) = −4: crescente de −4 a −3, côncava para baixo em todos os pontos,
assintótica à reta y = −3
y(0) = 1: decrescente de 1 a −3, côncava para baixo de 1 a 0, e côncava para
cima de 0 a −3, assintótica à reta y = −3
y(0) = 4: crescente de 4 a +∞, concâva para cima, nunca para de crescer
b) y(0) = −2: decrescente de −21 a −∞, côncava para baixo em todos os
pontos, nunca para de decrescer
y(0) = 3: crescente de 3 a +∞, côncava para cima em todos os pontos, nunca
para de crescer
c) y(0) = −2: decrescente de −2 a −∞, côncava para baixo em todos os
pontos, nunca para de decrescer
y(0) = −1
2
: crescente de −1
2
a 1, côncava para cima de −1
2
a 0, e côncava
para baixo de 0 a 1, assintótica à reta y = 1
y(0) = 2: crescente de 2 a 1, côncava para baixo em todos os pontos,
assintótica à reta y = 1
2