semana11_1_

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Universidade de Braśılia
Departamento de Matemática
Cálculo 1
Lista de Exerćıcios – Semana 11
Temas abordados : Crescimento, decrescimento e concavidade de funções
Seções do livro: 4.2; 4.3; 4.4
Questão 1. Durante o processo de tosse, provocado pela presença na traquéia de algum
corpo estranho, a traquéia se contrai com o objetivo de aumentar o fluxo de ar através dela,
e assim tornar mais eficiente o método de expulsão do corpo estranho. Segundo Poiseuille,
indicando por r0 o raio da traquéia em estado normal e por r 6 r0 o seu raio durante a tosse,
o fluxo de ar V = V (r) na traquéia pode ser modelado por
V (r) =



K
r0
2
r4 se 0 6 r 6 r0/2,
K(r0 − r) r4 se r0/2 6 r 6 r0,
onde K é uma constante positiva.
a) Determine os pontos cŕıticos de V (r) no intervalo (0, r0).
b) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de V (r).
c) Determine os intervalos em que o gráfico de V (r) é côncavo para cima ou para baixo.
d) Use os itens anteriores para esboçar o gráfico de V (r) no caso em que K = 1.
Questão 2. Conforme ilustra a figura abaixo, as áreas dos retângulos inscritos na circun-
ferência x2 + y2 = 16 podem ser calculadas por meio da função A(x) = 4 x
√
16− x2, com
x ∈ [0, 4].
x
y
a) Calcule os pontos cŕıticos da função A(x) no intervalo
(0, 4).
b) Determine os intervalos de crescimento e os de decresci-
mento da função A(x).
c) Determine os intervalos em que a concavidade do gráfico
de A(x) é voltada para baixo e os intervalos em que con-
cavidade é voltada para cima.
d) Esboce o gráfico de A(x).
Questão 3. Suponha que o núumero de milhares de pessoas infectadas por um v́ırus seja
modelado pela função N(t) = −2t3+at2+bt+c, em que a, b e c são constantes e o tempo t é
medido em anos. Suponha ainda que, no instante t = 0, nove mil pessoas estavam infectadas,
um ano depois esse núumero atingiu um valor mı́nimo e, em seguida, cresceu até atingir um
valor máximo para t = 2.
a) Determine as constantes a, b e c a partir das informações dadas.
b) Determine o número de pessoas infectadas 1, 2 e 3 anos depois do instante t = 0.
c) Determine a concavidade de N(t) e, em seguida, esboce o seu gráfico para t ∈ [0, 3].
Questão 4. Suponha que, na produção de uma lata de refrigerante, o custo do material
da lateral e do fundo é de uma unidade monetária por cent́ımetro quadrado e que para o
material da tampa esse custo é de 98/27 unidades monetárias. Suponha ainda que a lata
seja ciĺındrica de raio r cm, altura h cm e que o volume seja constante e igual a 53 π cm3,
conforme ilustra a figura abaixo.
r
h
a) Obtenha a expressão da altura h em função do raio r e
do volume da lata.
b) Calcule a área lateral L(r) da lata em função do raio r.
c) Determine a função C(r) que, a cada r, associa o custo
de produção de uma lata de raio r.
d) Calcule o valor r0 que minimiza o custo de produção,
justificando a sua resposta.
Questão 5. Denote por v(t) a velocidade de um corpo de massa m = 0, 1 kg que foi lançado
verticalmente com velocidade inicial v(0) = 63 m/s e sujeito a uma força de resistência do
ar FR = −v(t). Nesse caso, usando a aproximação g = 10 m/s2 da aceleração da gravidade,
pode-se mostrar que v(t) é solução do problema de valor inicial





v′(t)
1 + v(t)
= −10, t > 0,
v(0) = 63
Para encontrar a solução v(t), resolva os itens seguintes.
a) Calcule as derivadas das funções ln(1 + v(t)) e −10 t.
b) Lembrando que se uma função tem derivada identicamente nula em um intervalo I,
então ela é constante em I, use o item anterior e as informações dadas para obter uma
relação entre as funções ln(1 + v(t)) e −10 t.
c) Use o item anterior e a condição inicial v(0) = 63 para obter a expressão de v(t).
d) Determine o instante em que o corpo alcança a altura máxima.
Gabarito
1. a) {r0/2, 4r0/5} b) cresce em (0, r0/2) ∪ (r0/2, 4r0/5); decresce em (4r0/5, r0) c)
côncava para cima em (0, r0/2) ∪ (r0/2, 3 r0/5); côncava para baixo em (3 r0/5, r0)
2. a) {
√
8} b) cresce em (0,
√
8); decresce em (
√
8, 4) c) côncava para baixo em (0, 4)
3. a) a = 9; b = −12; c = 9 b) 4000, 5000 e 0, respectivamente c) côncava para cima
em (0, (3/2)); côncava para baixo em ((3/2), 3)
4. a) h = 53/r2 b) L(r) = (2π53)/r c) C(r) = L(r) + (πr53)/27 d) r0 = 3
5. a) v′(t)/(1 + v(t)) e −10, respectivamente b) ln(1 + v(t)) = −10t +K1, com K1 ∈ R
constante c) v(t) = 64e−10t − 1 d) 3 ln 2/5 ≃ 0, 414
Exerćıcios recomendados do livro
Seção Assunto Exerćıcios
4.2 Teorema do Valor Médio 7, 9, 13, 25, 37, 43, 45, 49
4.3 Crescimento de funções 3, 19, 21, 23, 33, 39, 47, 51
4.4 Concavidade 3, 13, 19, 27, 33, 41, 63, 67, 75