Cópia de Espaço e sub espaço vetorial

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p: João Alvaro
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LISTA FORMATIVA - 06
Espaço vetorial
Sub-espaço vetorial
Combinação Linear
LISTA
1. No conjunto V = {(x, y) ∈ R} definimos "adição"assim:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, 0)
e multiplicação por escalares como no R2, ou seja, para cada a ∈ R,
a(x1, y2) = (ax1, ay1)
Nessa condições V é um espaço vetorial sobre R? Por quê ?
2. No conjunto V do exercício anterior, definimos a "adição"como o fazemos habitualmente no R2 e a
multiplicação por escalares assim:
a(x, y) = (ax, 0)
É então V um espaço vetorial sobre R? Por quê ?
3. Seja V o conjunto dos pares ordenados de números reais, V não é um espaço vetorial em relação a
nenhum dos dois seguintes pares de operações sobre V :
a) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e a(x, y) = (x, ay)
b) (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, y1) e a(x, y) = (ax, ay)
Diga em cada caso quais dos 8 axiomas não se verificam.
4. Seja V o conjunto dos vetores geométricos do espaço. Sendo #»u um vetor fixo desse espaço, mostrar
que W{α #»u |α ∈ R} é um sub-espaço vetoria de V
5. Mostrar que o conjunto W = {(x, y) ∈ R2|y = 0} é um sub-espaço vetorial do R2
6. Mostrar que é um sub-espaço de M2(R) o seguinte sub-conjunto:
W =
{(
x y
z t
)
∈M2(R)|y = −x
}
7. Mostrar que são sub-espaços vetoriais de Mn(R) os seguitnes conjuntos:
a) U = {A ∈Mn(R)|At = A}
b) V = {A ∈Mn(R)|AT = TA} onde T é uma matriz dada de Mn(R)
8. Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são sub-espaço do R3?
a) W = {(x, y, z) ∈ R3|x = 0}
b) W = {(x, y, z) ∈ R3|x ∈ Z}
c) W = {(x, y, z) ∈ R3|y é irracional }
d) W = {(x, y, z) ∈ R3|x− 3z = 0}
e) W = {(x, y, z) ∈ R3|ax+ by + cz = o , com a, b, c ∈ R}
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9. Quais dos conjuntos abaixo são sub-espaços do espaço P (R) de todos os polinômios reais?
a) W = {f(t) ∈ P (R)|f(t) tem grau maior que 2 }
b) W = {f(t) ∈ P (R)|f(0) = 2f(1)}
c) W = {f(t) ∈ P (R)|f(t) > 0∀t ∈ R}
d) W = {f(t) ∈ P (R)|f(t) + f ′(t) = 0}
10. Verificar que não são sub-espaos vetoriais do R3
a) W = {(x, y, z) ∈ R3|x = 1}
b) W = {(x, y, z) ∈ R3|x2 = y = z = 0}
c) W = {(x, y, z) ∈ R3|x ≤ y ≤ z}
d) W = {(x, y, z) ∈ R3|x+ y ∈ Q}
Em cada caso, quais axiomas não se verificam ? (Q é o conjunto dos números racionais.)
11. Sejam U , V e W os seguintes sub-espaços do R3
U = {(x, y, z)|x = z}
U = {(x, y, z)|x = y = 0}
U = {(x, y, z)|x+ y + z = 0}
Verifique que U + V = R3, U +W = R3 e V + w = R3. Em alguns dos casos é soma direta ?
12. Mostra que os polinômios 1− t, (1− t)2, (1− t)3 e 1 geram P3(R)
13. Verificar se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial M2(R)(
1 0
0 1
)
,
(
1 1
0 0
)
,
(
0 0
1 1
)
,
(
0 1
1 2
)
14. Determinar um suplementar do seguinte sub-espaço do R3 : {(x, y, z)|x− y = 0}
15. Determinar um suplementar do seguinte sub-espaço do {(x, y, z, t) ∈ R4|x− y = z − t = 0} do R4.
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