APOL 1

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Questão 5/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
 
 
 
Calcule &y da função x? . (1 + y) — y? a (x a 1) , por derivação implícita. 
dx 
ER 
É ro y?-2x-2xy 
y = x2—-2xy+2y 
& Resolução: 
d d 
É 2. =-— [y2.(yx— be dA=DD?-(—D] 
CD + CO) + 3) = (WD) + (Qyy)(x — 1) 
xXy' +2x+2xy =" + 2xyy' — 2yy 
2 
GE — =y2-2x- 1 — Virtxriay v (e —-Zy+2y)=y"—-2x—-2xy DY X2xy+2y 
B 
y'=xº+2xy+2y 
Cc ro yº-2x 
y — 2Xxy 
D ro y-2x 
y =
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
Dadas as funções fe g de IR em IR, tais que f(x) = 2x?- 3 e g(x)= 2x + 1,0 valor de g(f(2)): 
A MN 
O Resolução 
H(2)=2(2/-3=5 
g(5)=2(5)+1=11 
B 9 
Cc 12
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
4 no - x* — 16 
Calcule o limite da expressão: lim —— 
x2 x—2 
37 A 
B 32 
O Você acertou! 
 
Resolução: 
x* — 16 x +2x24+4x+8).(x—-2 
lim = tim « + Dim +22 44x +8)=28 4222442 48=32 
x2 x—2 2=2 x-2 *=>2
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
Calcule a derivada da função f(x) = (x - 1º 
Nota: 10.0 
A F(x)= 3x! - 2x2] +x 
B f(x)=6x-12x) + 6x 
O Você acertou! 
Resolução: 
fo) = (x? — 1)º (regra da cadeia) 
u=xº—1, FO) = (u) 
dy dy du 
dx du dx 
f'09) = 3(x0º — 1)(2x) 
Ff) = 3(x* — 2xº + D(2x) 
f(x) = 6xº — 12xº + 6x 
C f(x)=6xX-x)+6 
D Tix)=6x*-12x)+ 7x
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
5 
. no X 
Determinando o limite: lim 
a>1 1—xº 
resulta 
A 54 
B -5/4 
O Você acertou! 
Por Briot-Ruffini 
 
10 0004 10 0 041 
1111 1/1 0 11idIiiILAIA O 
x — 1. (x — 1).(xº + xº 4x2 4x +41) + 
 
 = lim 
1 1-xº xo (x—-1).(-xº -x2 -x—1) 
o (Qt xrxtx+t) df rito 5 5 
lim = = 
10 (-x3-x2-x—1) -13-12-1-1 0 —4 
Cc 512 
D -512
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
2 x 
Calcule a derivada da função f(x) =—— 4 
2 
A f(x)=x 
O Resolução 
Usando a tabela de devidas e as regras de derivação, temos que f(x) = x 
B f(x)=2x 
Cc f(x)=1 
D f(xg)=0
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
Calcule a derivada da função f(x) = (Vx — 1)? 
 
 
A 
f'G) = E 
HA — Nx 
FO) = 
OD Você acertou! 
Resolução 
fo) = (Vx — 1)? (regra da cadeia) 
u=vx—1, f(x) = (u) 
dy dy du 
dx du dx 
f'G) = 2(%- DG?) 
Vx— 1 
Vx 
 f'G) = 
C 
f(x) = 6x — 1x 
 fQ)=vx
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
x?-1 
 Calcule a derivada da função f(x) = , 
x 
A o 4+3 2 
f(x) =— E 
O Você acertou! 
Resolução 
Usando a tabela de devidas e as regras de derivação, temos que 
(DI) — (e — Dx?) | —x* + 3x? 
(3 rê f'Q) = 
B , O —2x)+3x fi) = 
2x tx 
 “FO 
=x? +3xº mr 
f'00) = —=—=—
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
Calcular a derivada da função f(x) = 2x - 1, no ponto xp = 2. 
 
 
 
 
A Tf 
B 8 
OD Você acertou! 
Resolução 
res o lx) — Fo) 
e Mn god 
nro = fO) — FO) O 
FO=lim = = 
F'(2) = lim (2x On (7) 
, 2x* — B 
f (2) = o x—2 o 
co Ma-2(x+2) 
Ff) = E x— o 
f(2)= lim 2(x + 2) = 
f(2)=2U2+2)= 
f(2)=8 
Cc 6
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
Calcule a derivada da função f(x) = 2x)- 2x2 + x- 4 
A f(x)=6x2-4x+x-4 
B f(x)=5x2-4x-4 
Cc f(x)=5x2-4x+1 
D f(x)=6x2-4x+1 
O Você acertou! 
Resolução: 
Usando a tabela de devidas e as regras de derivação, temos que f(x) = 6x2 - 4x + 1 
Questão 5/10 - Calculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
 
4 o - x* — 16 
Calcule o limite da expressão: lim ——— 
x2 x—2 
A 37 
B 32 
O Você acertou! 
Resolução: 
x* — 16 x +2xº +4x+8).(x-2 
lim = lim + = im(x 4222442 +9)=23422244248=32 
x2 x—2 2=2 x-2 ==2
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
Calcule a reta tangente e a reta normal à função y = x? + 2x no ponto xg= 1. 
A 
x 13 
=——-+— 
y 4 4 
O Resolução 
1º passo. 
Por se tratar de um ponto precisamos calcular a ordenada yo. 
yo = (1)? + 2(1) 
Yo=3 
2º passo. 
Derivar a função 
y=x?+2x 
y'=2x+2 
3º passo. 
Calcular o coeficiente angular da reta tangente substituindo o valor de x) = 1 na 
derivada da função. 
y'=UD+2 
y = 4, esse é o valor do coeficiente angular (m, = 4) da reta tangente no ponto 
(1, 3) 
4º passo, 
Calcular a reta tangente pelo feixe de retas. 
Y—-Yo=m(X—x) 
y—-3=4(x—1) 
y-3=4x-4 
y=4x—1 (Reta tangente ao ponto) 
 
Y—-Yo=m(X—xo) 
y—-3=4(x-—1) 
y-3=4x-4 
y=4x-—1 (Reta tangente ao ponto) 
Cálculo da reta normal. 
Como a reta normal é perpendicular à reta tangente, podemos definir que 
(my =— 5. 
Portanto, my = —. 
Aplicando no feixe de retas, 
Y—Yo =m(Xx—xo) 
1 
—3=——(x—1 y qX—1) 
y—3)=—(x— 1) 
4y—-12=-x+1 
4y = —-x + 13 
—x + 13 
y = 4 
13 
y= — + z (Reta normal ao ponto) 
X 
Vs 
-— 13 
y 11 
x 
=
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
0 ne = 4 a 
Calcule o limite da expressão: lim x — &x 
E 
A 7 
B 8 
O Você acertou! 
Resolução: 
limx* —-2x* = limxº —-limixº= (2)'-2.(2) =16-8=8 
ve a 2 
C 1
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
(x + h) — x? 
E Use uma simplificação algébrica para achar o limite, se existe: lim 
 
h>0 
A 3x 
B 2x 
O Você acertou! 
Resolução: 
[E [=| im [É e] 
lim |—————| = e 
h=>0 o h 
h(2x + h 
lim ARO) = lim[2x+ h] = 2x 
h>0 h>0 
C 4x
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
Calcule a derivada da função f(x) = (Vx — 1)? 
 
 
A 
O VX+5 
f Nx-1 
O Você acertou! 
Resolução 
f(x) = (Vx — 1)? (regra da cadeia) 
u=vx—1, f(x) = (u) 
dy dy du 
dx du dx 
F'G) = 20% - DG?) 
Vx—1 
Vx 
 fo) = 
C 
f(x) — 6x) — 1x? 
 fGQ)=vZ
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
| 1 
Calcule o limite: tim (—) 
 
A O 
» Você acertou! 
Resolução 
| 1 )= 1 o 1 “0 
oe l2x+3) 2043 cv. 
E 1 
C 2
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
Dadas as funções fe g de IR em IR, tais que f(x) = 2x?- 3 e g(x)= 2x + 1, valor de g(f(2)): 
A MN 
O Você acertou! 
Resolução 
f(2)=2(27-3=5 
g(5)=2(5)+1=11 
B 9 
Cc 12
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
Calcular a derivada da função f(x) = 2xº - 1, no ponio xo = 2. 
 
 
 
 
A TT 
E B 
O Você acertou! 
Resolução 
Fix) = tim (OCO) 
X>%o X—Xg 
a1(9) = mM Í OO 
x=2 x— 2 
Zoo. — 
f'(2) = lim (2 - 0). 
rn 2x) — 8 
f (2) = lim x-2 0 
F(9) = im E DE+ 
x x— 
F(2) = lim 2(x + 2) = 
fQ)=2(02+2)= 
f(2)=8 
Cc 6
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
A tabela a seguir mostra a temperatura das águas do Oceano Atlântico (ao nível do Equador) em função da 
 
 
 
 
 
 
profundidade: 
Profundidade | Temperatura 
Superfície o 
(0m) 27ºC 
100m 21ºC 
500m 7ºC 
1000m 4ºC 
3000m 2,8º 
Admitindo que a variação da temperatura seja aproximadamente linear entre cada duas das medições feitas para 
a profundidade, a temperatura prevista para a profundidade de 400m é de: 
A 14ºC 
B 12,5ºC 
C 10,5º€ 
O Você acertou! 
 
 
Resolução: 
100m 21ºC 
500m 7ºC 
Para a variação de 400m, temos 14ºC de variação de temperatura. Portanto, para cada 100m, temos 
3,5ºC de variação. Logo, 400m terá 10,5ºC. 
Questão 1/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
| no véx+1-—3 
Determine o limite: lim ———— 
x>2 8— x3 
DO 
A 13 
B 148 
Cc 18 
D -118 
> Resolução: 
véx+1—3 véx+1—3 Váx+1+3 
 
 
 
im g=-»0 UM g=-2 Varias 
lim 4x +1-—9 = lim 4x — 8 = 
«2 (8-x3).(Váx+1+3) 22 (2-3).(x2+2x+4).(V4x+1+3) 
lim 4x — 2) = lim t = 
«2 (2-27).(x2 42x +4).(Váx+1+3) «2 i(x2 42x +44).(V4x+1+3) 
4 4 4 1 
 
=.(4+4+4).(3+3) -12.6 72 18 
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
Calcular a derivada da função f(x) = 2xº - 1, no ponto xp = 2. 
A 
O Você acertou! 
Resolução 
= lim fl) — Flxo) 
 
 
 
Oo) = dm ema 
F'(2) = im ÃO 
2. — 
pro = tim ED O 
2 po) mfct. 
(2) = lim E DELA 
F'(2) = lim 2(x + 2) = 
FQ)=2(02+2) = 
fQ)=8 
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
É xCalcule a derivada da função f(x) — 2 — 4 
A F(ix)=x 
O Resolução 
Usando a tabela de devidas e as regras de derivação, temos que f(x) = x
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial e Integral a Uma Variável 
Calcule a derivada da função f(x) = (Vx — 1)? 
 
 
 
f'G)=2 
fi) = EE 
» Resolução 
f(0) = (Vx — 1)? (regra da cadeia) 
u=vx—1, FO) = (u) 
dy dy du 
dx du dx 
F'G9) = 22 DG?) 
= 
FG) = E 
f(x) = 6x — 1x? 
“ flO)=vx