MecanicaI_EquilibriodeParticulas_02Jun2021

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02/06/2021
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Mecânica para Engenharia Civil I
Equilíbrio de Partículas
Prof: Evandro Parente Junior
Universidade Federal do Ceará
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Estrutural e Construção Civil
1
Equilíbrio de partículas
2
§ Condições de equilíbrio:
§ Antes de aplicar as equações de equilíbrio é necessário desenhar o
Diagrama de Corpo Livre (DCL):
• Isolar o corpo (partícula) do meio externo.
• Desenhar todas as forças aplicados sobre o corpo.
• Indicar as forças conhecidas e desconhecidas.
§ Calcular as incógnitas utilizando as equações de equilíbrio.
𝐅! = #𝐅 = 𝟎 #𝐹" = 0, # 𝐹# = 0, # 𝐹$ = 0⟹
2
Cabos
3
§ Cabos são muito utilizados para suportar e mover cargas.
§ Podem ser considerados inextensíveis e sem peso.
§ Suportam apenas forças de tração (T).
§ Atração é sempre paralela ao eixo do cabo.
§ Atração não se altera quando o cabo passa por uma polia:
3
Molas
4
§ Molas são elementos deformáveis:
§ Suportam forças de tração e compressão.
§ Aforça elástica é sempre paralela ao eixo da mola.
§ Lei de Hooke:
𝐹 = 𝑘 𝑠
𝑠 = 𝑙 − 𝑙%
Onde k é a rigidez da mola (N/m)
4
Forças coplanares (2D)
5
§ Em muitas situação práticas as forças atuantes sobre a partículas
estão contidas em um plano (forças coplanares):
#𝐹" = 0
#𝐹# = 0
Equações de equilíbrio
5
Exemplo 1.1
6
§ Determine as forças F e T para que o nó de treliça metálica mostrada abaixo 
esteja em equilíbrio. Considere q = 30o.
6
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2
Exemplo 1.1
7
Solução (forças em kN):
§ Determine as forças F e T para que o nó de treliça metálica mostrada abaixo 
esteja em equilíbrio. Considere q = 30o.
#𝐹" = 8 − 𝑇 cos 30& + 5 sen 45& = 0
𝑇 = ' ( ) *+, -)
.
/&* 0%.
⟹ 𝑇 =	13.32 kN
#𝐹# = 𝐹 − 𝑇 sen 30& − 5 cos 45& = 0
𝐹 = 𝑇 sen 30& + 5 cos 45& ⟹ 𝐹 =	10.20 kN
7
Exemplo 1.2
8
§ Determine a massa do cilindro A de forma que o sistema fique a posição
mostrada abaixo. Considere g = 9.81 m/s2.
Solução (forças em N):
∑ 𝐹# = 𝑇𝐸𝐶 − 𝑃𝐶 = 0
DCL de C:
𝑇𝐸𝐶 = 40 @ 9.81 = 392.4 N
TEC
PC
DCL de E:
TECTED
PA
30o
∑ 𝐹" = 𝑇𝐸𝐷 − 𝑇𝐸𝐶 cos 30& = 0 𝑇𝐸𝐷 = 339.8 N⟹
∑𝐹# = 𝑇𝐸𝐶 sen 30& − 𝑃𝐴 = 0 𝑚𝐴 = 20 kg⟹
8
Exemplo 1.3
9
§ Determine o máximo peso do balde que o sistema abaixo pode suportar
considerando que os cabos não suportam tração maior que 150 N.
9
Exemplo 1.3
10
Solução (forças em N):
§ Determine o máximo peso do balde que o sistema abaixo pode suportar
considerando que os cabos não suportam tração maior que 150 N.
∑ 𝐹" = 𝑇𝐷𝐸 cos 30& − 𝑇𝐵𝐸
0
)
= 0
DCL de E:
𝑇𝐷𝐸 =	𝑇𝐵𝐸
0
) /&* 0%.∑ 𝐹# = 𝑇𝐷𝐸 sen 30& + 𝑇𝐵𝐸
-
)
− 𝑃 = 0
𝑇𝐵𝐸
0
) /&* 0%.
sen 30& + 𝑇𝐵𝐸
-
)
= 𝑃
TDE
TBE
P
30oa
10
Exemplo 1.3
11
DCL de B:
⟹ 𝑇67=
0
) /&* 0%.
𝑇87 = 0.6043𝑃𝑇87=
)
0 9:, 0%. ( -
𝑃 = 0.8723 𝑃
∑ 𝐹# = 𝑇8; sen 30& − 𝑇𝐵𝐸
-
)
= 0
𝑇8; =	𝑇87
-
) *+, 0%.
=	1.3957P
TAB
TBE
TBC
30o
a
∑ 𝐹" = 𝑇8; cos 30& + 𝑇𝐵𝐸
0
)
− 𝑇<8 = 0
𝑇<8 = 𝑇8; cos 30& + 𝑇𝐵𝐸
0
)
=	1.7321P
Determinação do peso máximo:
𝑇<8 =	1.7321𝑃 =	150	N ⟹ 𝑃=>" = 86.60 N
11
Exemplo 1.4
12
§ Determine a relação entre o peso P de cada bloco e deslocamento vertical s dos
pontos a A e B do sistema abaixo. Em seguida, determine s para P = 30 N. Note
que s = 0 quando os pesos são removidos.
12
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3
Exemplo 1.4
13
Solução (forças em N):
§ Determine a relação entre o peso P de cada bloco e deslocamento vertical s dos
pontos a A e B do sistema abaixo. Em seguida, determine s para P = 30 N. Note
que s = 0 quando os pesos são removidos.
TAB
Fe
P
q
DCL de A:
∑ 𝐹# = 𝐹𝑒 sen 𝜃 − 𝑃 = 0 ⟹ 𝑃 = 𝑘 ∆𝐿 sen 𝜃
𝐿 = 2@ + (1.5 + 𝑠)@
𝐿% = 2@ + 1.5@ = 2.5 m
sen 𝜃 =
1.5 + 𝑠
𝐿 𝑃 = 𝑘(𝐿 − 𝐿%)
1.5 + 𝑠
𝐿
⟹ ⟹
13
Exemplo 1.4
14
𝑃 = 100 1.5 + 𝑠 1 −
2.5
6.25 + 3𝑠 + 𝑠@
𝑃 = 𝑘(𝐿 − 𝐿%)
1.5 + 𝑠
𝐿
⟹
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
s (m)
0
10
20
30
40
50
60
P 
(N
) 𝑃 = 30 ⟹ s =	0.6175	m	
Resolvendo numericamente:
14
Equilíbrio em 3D
15
§ Em geral, o equilíbrio de partículas deve considerar sistemas de
forças tridimensionais:
#𝐹" = 0
#𝐹# = 0
#𝐹$ = 0
Equações de equilíbrio
15
Exemplo 2.1
16
§ Determine a força P requerida para manter a partícula abaixo em equilíbrio.
16
Exemplo 2.1
17
Solução (forças em N):
§ Determine a força P requerida para manter a partícula abaixo em equilíbrio.
𝐅A = 2000 (cos 45° 𝐢 + cos 60° 𝐣 + cos 120° 𝐤)
𝐮@ =
−1.5 𝐢 + 3 𝐣 + 3 𝐤
(−1.5)@+3@ + 3@
𝐅0 = −500 𝐣
𝐅A = 1414 𝐢 + 1000 𝐣 − 1000 𝐤
𝐅@ = 750𝐮@ =
750(−1.5 𝐢 + 3 𝐣 + 3 𝐤)
4.5
𝐏 = 𝑃" 𝐢 + 𝑃# 𝐣 + 𝑃$ 𝐤 𝐅@ = −250 𝐢 + 500 𝐣 + 500 𝐤
17
Exemplo 2.1
18
Equilíbrio:
#𝐹# = 𝑃# + 1000 + 500 − 500 = 0 ⟹ 𝑃# = −1000 N
#𝐹" = 𝑃" + 1414 − 250 = 0 ⟹
#𝐹$ = 𝑃$ − 1000 + 500 = 0 ⟹ 𝑃$ = 500 N
𝑃" = −1164 N
Força P: 𝐏 = −1164 𝐢 − 1000 𝐣 + 500 𝐤 ⟹ 𝑃 = 1614 N
𝛼 = acos BAAC-
ACA-
= 136.2& 𝛽 = acos
BA%%%
ACA-
= 128.3&
𝛾 = acos )%%
ACA-
= 71.95&
18
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4
Exemplo 2.2
19
§ Considerando que a tração no cabo AB é igual a 1000 N, determine o peso do
recipiente e a tração nos cabos AC e AD.
x y
z
19
Exemplo 2.2
20
Solução (forças em N):
§ Considerando que a tração no cabo AB é igual a 1000 N, determine o peso do
recipiente e a tração nos cabos AC e AD.
𝐴 = 0, 0, −0.6
𝐶 = (−0.32,	0,	0)
𝐓<8 = 1000
𝐀𝐁
𝐀𝐁
= 600 𝐣 + 800 𝐤
AC	= −0.32 𝐢 + 0.6 𝐤 ⟹ 𝐀𝐂 = 0.68 m
𝐵 = 0, 0.45, 0
AB = 0.45 𝐣 + 0.6 𝐤 ⟹ 𝐀𝐁 = 0.75 m
𝐓<; = 𝑇<;
𝐀𝐂
𝐀𝐂
=
𝑇<;
17
(−8 𝐢 + 15 𝐤)
𝐷 = (0.36,	−0.5,	0)
x y
z
20
x y
z
Exemplo 2.2
21
AD	= 0.36 𝐢 − 0.5 𝐣 + 0.6 𝐤 ⟹ 𝐀𝐃 = 0.86 m
𝐓<6 = 𝑇<6
𝐀𝐃
𝐀𝐃
=
𝑇<6
43
18 𝐢 − 25 𝐣 + 30 𝐤
DCL de A:
TAC
P
A
B
C
D
TAB
TAD
x y
z
21
Exemplo 2.2
22
Equilíbrio:
#𝐹" = −
8
17
𝑇<; +
18
43
𝑇<6 = 0 ⟹ 𝑇<; =
17 @ 18 @ 1032
8 @ 43
= 918 N
#𝐹# = 600 −
25
43
𝑇<6 = 0 ⟹
#𝐹$ = 800 +
15
17
𝑇<; +
30
43
𝑇<6 − 𝑃 = 0 ⟹ 𝑃 = 2330 N
𝑇<6 =
600 @ 43
25
= 1032 N
22
Exemplo 2.3
23
Solução (forças em kN):
§ Considerando que a força F é igual a 5.3 kN, determine as trações nos cabos AB,
AC e AD.
𝐴 = 0, 0, 6
𝐶 = (−1.5,	2,	0)
AC	= −1.5 𝐢 + 2 𝐣 − 6 𝐤 ⟹ 𝐀𝐂 = 6.5 m
𝐵 = 2, 3, 0
AB = 2 𝐢 + 3 𝐣 − 6 𝐤 ⟹ 𝐀𝐁 = 7 m
𝐓<; = 𝑇<;
𝐀𝐂
𝐀𝐂
=
𝑇<;
13
(−3 𝐢 + 4 𝐣 − 12 𝐤)
𝐷 = (−3,	−6,	0)
𝐓<8 = 𝑇<8
𝐀𝐁
𝐀𝐁
=
𝑇<8
7
(2 𝐢 + 3 𝐣 − 6 𝐤)
23
Exemplo 2.3
24
AD	= −3 𝐢 − 6 𝐣 − 6 𝐤 ⟹ 𝐀𝐃 = 9 m
𝐓<6 = 𝑇<6
𝐀𝐃
𝐀𝐃
=
𝑇<6
3
−1 𝐢 − 2 𝐣 − 2 𝐤
DCL de A:
TAC
F
A
B
C
D TAB
TAD
x
y
z
24
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5
Exemplo 2.3
25
Equilíbrio:
#𝐹# =
3
7
𝑇<8 +
4
13
𝑇<; −
2
3
𝑇<6 = 0
#𝐹" =
2
7
𝑇<8 −
3
13
𝑇<; −
1
3
𝑇<6 = 0
#𝐹$ = −
6
7
𝑇<8 −
12
13
𝑇<; −
2
3
𝑇<6 + 𝐹 = 0
@
D
− 0
A0
− A
0
0
D
-
A0
− @
0
− C
D
− A@
A0
− @
0
𝑇<8
𝑇<;
𝑇<6
=
0
0
−5.3
Escrevendo matricialmente:
Resolvendo o sistema:
𝑇<8 = 3.50 kN
𝑇<; = 0.65 kN
𝑇<6 = 2.55 kN
25
Exemplo 2.4
26
Solução (forças em N):
§ Calcule o máximo peso da luminária que o sistema abaixo é capaz de suportar,
considerando que os cabos AB e AC suportam um tensão máxima de 500N e a
barra OA suporta uma compressão máxima de 300N. Obs: A força na barra é
dirigida ao longo de seu eixo.
𝐴 = 2, −1.5, 6
𝐶 = (0,	1.5,	0)
𝐅<E = 𝐹<E
𝐀𝐎
𝐀𝐎
=
𝐹<E
13
(−4 𝐢 + 3 𝐣 − 12 𝐤)
AB	= −6 𝐢 + 3 𝐣 − 6 𝐤 ⟹ 𝐀𝐁 = 9 m
𝐵 = −4, 1.5, 0
AO = −2 𝐢 + 1.5 𝐣 − 6 𝐤 ⟹ 𝐀𝐎 = 6.5 m
𝐓<8 = 𝑇<8
𝐀𝐁
𝐀𝐁
=
𝑇<8
3
(−2 𝐢 + 1 𝐣 − 2 𝐤)
26
Exemplo 2.4
27
AC	= −2 𝐢 + 3 𝐣 − 6 𝐤 ⟹ 𝐀𝐂 = 7 m
𝐓<; = 𝑇<;
𝐀𝐂
𝐀𝐂
=
𝑇<;
7
−2 𝐢 + 3 𝐣 − 6 𝐤
x
DCL de A:
TAC
P
A B
CO
TAB
FAO
z
y
27
Exemplo 2.4
28
Equilíbrio:
#𝐹# =
3
13
𝐹<E +
1
3
𝑇<8 +
3
7
𝑇<; = 0
#𝐹" = −
4
13
𝐹<E −
2
3
𝑇<8 −
2
7
𝑇<; = 0
#𝐹$ = −
12
13
𝐹<E −
2
3
𝑇<8 −
6
7
𝑇<; − 𝑃 = 0
− -
A0
− @
0
− @
D
0
A0
A
0
0
D
− A@
A0
− @
0
− C
D
𝐹<E
𝑇<8
𝑇<;
=
0
0
𝑃
Escrevendo matricialmente:
Resolvendo o sistema:
𝐹<E = −2.167 𝑃
𝑇<8 = 0.750 𝑃
𝑇<; = 0.583 𝑃
Determinação do peso máximo:
𝑇<8 =	0.750 𝑃 =	500	N ⟹ 𝑃 = 666.7N
|𝐹<E | =	2.167 𝑃 =	300	N ⟹ 𝑃=>" = 138.4 N
28