CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL EBOOK 1

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Moacir Ribeiro Cordeiro
CÁLCULO DIFERENCIAL 
E INTEGRAL DE UMA 
VARIÁVEL 
E-book 1
Neste E-Book:
INTRODUÇÃO ����������������������������������������������������������� 3
FUNÇÕES ELEMENTARES E SEUS GRÁFICOS 5
Funções lineares �����������������������������������������������������������������������5
Funções quadráticas �����������������������������������������������������������������6
Funções potências ��������������������������������������������������������������������7
Funções exponenciais ��������������������������������������������������������������9
Funções logarítmicas �������������������������������������������������������������10
LIMITES ����������������������������������������������������������������������12
Definição intuitiva de limite ����������������������������������������������������12
Limites laterais ������������������������������������������������������������������������14
Cálculo de Limites e suas propriedades��������������������������������15
Limites infinitos e Limites no infinito �������������������������������������19
Limites fundamentais (trigonométricos) �������������������������������21
Limites fundamentais (o número ‘e’) �������������������������������������23
Continuidade de uma função �������������������������������������������������25
A definição de derivada ����������������������������������������������������������29
CONSIDERAÇÕES FINAIS ����������������������������������� 32
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS & 
CONSULTADAS ������������������������������������������������������� 33
2
INTRODUÇÃO
Você já parou para pensar como o nosso mundo mo-
derno é repleto de desafios e possibilidades dentro 
do universo da ciência e da tecnologia?
Desde a transmissão de calor em uma barra metálica 
até os complexos movimentos do braço de um robô, 
da taxa de variação do nível de um reservatório de 
água até um modelo que tente minimizar os custos 
de fabricação de um produto, todos esses problemas 
têm algo em comum: podem ser estudados, mode-
lados e entendidos em seus princípios a partir de 
uma das teorias mais bem-sucedidas da história da 
ciência: o Cálculo Diferencial e Integral�
Ao longo deste curso, iremos nos aventurar através 
do Cálculo Diferencial e Integral de uma variável, 
entendendo os aspectos que envolvem as principais 
funções matemáticas básicas e suas representa-
ções gráficas e o conceito de limites, assim como 
suas aplicações� Iremos entender como as coisas 
infinitamente grandes e as coisas infinitamente pe-
quenas possuem um papel decisivo na compreensão 
de muitos fenômenos. Tudo isso culminará em num 
poderoso e útil conceito: a derivada.
As técnicas de derivação que aprenderemos possi-
bilitarão uma enorme gama de aplicações, que po-
dem incluir o estudo das taxas de variação de uma 
determinada grandeza e problemas de otimização 
3
envolvendo o estudo de máximos e mínimos relati-
vos, entre outros.
Por fim, ampliaremos fortemente nosso entendimen-
to a respeito do comportamento de diversas funções 
utilizando estudos mais detalhados envolvendo cres-
cimento, pontos críticos, concavidade, assíntotas etc.
4
FUNÇÕES ELEMENTARES 
E SEUS GRÁFICOS
Antes de começarmos o estudo do cálculo de uma 
variável propriamente dito, faz-se necessário relem-
brarmos as principais características de algumas 
funções matemáticas básicas, associando-as a seus 
respectivos gráficos. Essas funções serão apresenta-
das de forma um tanto objetiva, com ênfase apenas 
nas características cuja compreensão se mostre 
essencial para um bom desenvolvimento do curso.
Funções lineares
Funções lineares são, matematicamente, quaisquer 
funções ( ) que possam ser escritas na for-
ma: , onde os valores ‘a’ e ‘b’ correspon-
dem a números reais. Dizemos que são funções do 
primeiro grau, pois o maior expoente da variável ‘x’ 
é igual a 1. Se esboçarmos o gráfico de qualquer 
função linear, veremos que ele corresponderá a uma 
reta (ver Figura 1).
O valor de ‘b’ é chamado de coeficiente linear, e indica 
em que ponto a reta toca o eixo vertical (eixo y). Já o 
valor de ‘a’ é o coeficiente angular, que se relaciona 
com a inclinação da reta. Quanto maior o valor de 
‘a’ (em módulo), mais inclinado é o gráfico da reta 
correspondente. Valores de ‘a’ positivos indicam que 
a reta é crescente, valores de ‘a’ negativos estão re-
lacionados a retas decrescentes e valores de 
5
indicam que a reta possui inclinação nula, ou seja, 
trata-se de uma reta horizontal.
8
6
4
2
-2
-2-3 -1 1 2 3 4
x
y
0
0
y=-x
y=-2x
y=x
y=2x
-4
-6
-8
 
Figura 1: Gráficos de funções lineares (retas). Fonte: ela-
borado pelo autor.
Funções quadráticas
As funções quadráticas são funções (y = f(x)) que 
podem ser escritas na forma: y= ax2 + bx + c, onde 
os valores ‘a’, ‘b’ e ‘c’ correspondem a números reais 
com a restrição de que ‘a’ não pode ser nulo. Dizemos 
que são funções do segundo grau, pois o maior ex-
poente da variável ‘x’ é igual a 2. Se esboçarmos o 
gráfico de uma função quadrática, observaremos 
que corresponderá a uma parábola.
6
20
15
10
5
-5
-2-3 2 3 4
x
y
0
0
y=-x²
y=-2x²
y=x²
y=2x²
-10
-15
-20
1-1
Figura 2: Gráficos de funções quadráticas (parábolas). 
Fonte: elaborado pelo autor.
Os valores das raízes de uma função quadrática são 
importantes: as raízes, caso existam, determinam 
o(s) ponto(s) em que a parábola toca o eixo hori-
zontal (eixo ‘x’). Para determinarmos as raízes, basta 
igualarmos a função quadrática ao valor zero, resol-
vendo a seguinte equação de segundo grau: 
ax2 + bx + c = 0� 
Devemos lembrar, contudo, que uma equação de se-
gundo grau pode possuir duas raízes reais (quando 
∆<0), apenas uma raiz real (quando ∆=0) ou mesmo 
nenhuma raiz real (quando ∆<0), onde a quantidade 
∆ é conhecida como discriminante da equação de 
segundo grau e pode ser calculada através da célebre 
fórmula: ∆=b2 - 4ac�
7
Além disso, o valor de ‘a’ se relaciona com a conca-
vidade da parábola. Se ‘a’ for um número positivo a 
parábola terá concavidade para cima, já se ‘a’ for um 
número negativo a parábola será côncava para baixo. 
Você consegue entender a ideia de concavidade?
Para finalizar, um dado importante sobre a parábola 
são as coordenadas do seu vértice. As coordenadas 
do vértice (V) de uma parábola sempre podem ser 
obtidas através da seguinte relação: 
FIQUE ATENTO
Na física, quando lançamos um objeto qualquer fa-
zendo certo ângulo em relação à horizontal, temos 
um movimento balístico ou movimento de projétil, 
cuja trajetória consiste exatamente em uma pará-
bola com concavidade voltada para baixo. Não é 
interessante? Cálculos balísticos sempre foram 
utilizados ao longo dos séculos para se determi-
nar a altura máxima que um dado projétil atinge 
ou mesmo para se tentar definir o ponto exato em 
que esse projétil atingirá o solo�
Funções potências
Iremos definir as funções potências como funções 
(y = f(x)), que podem ser escritas na forma: y=xn, onde 
‘n’ deve corresponder a um número inteiro positivo 
(n = 1,2,3,...). Também seria possível definirmos essas 
funções para valores de ‘n’ fracionários, mas, neste 
momento, olharemos para os valores de ‘n’ inteiros 
8
positivos. Dizemos que são funções de grau ‘n’, pois 
o expoente da variável ‘x’ é igual a ‘n’.
Se observarmos os gráficos dessas funções, notare-
mos uma característica interessante: elas podem ser 
reunidas em dois subgrupos, o das potências pares 
(‘n’ é par) e o das potências ímpares (‘n’ é ímpar)� Os 
gráficos para as funções dentro de cada grupo terão 
características razoavelmente parecidas.
300
200
100
-100
-2-3 2
y=x³
y=x5
3 4
x
0
0
-200
-300
1-1
90
80
70
60
30
-2-3 2 3
y = x²
y = x4
4
x
y
40
50
20
10
-10
0
0
1-1
 
Figura 3: Gráficos das funções potências (pares e ímpares). 
Fonte: elaborado pelo autor.
Como é possível observar, o perfil do gráfico dentro 
de cada grupo é parecido, mas o valor de ‘n’ está 
associado a quão “íngreme” a curva vai se tornando 
conforme o valor de ‘x’ cresce. Podemos dizer que 
quantomaior o valor de ‘n’ mais explosivo se torna 
o crescimento da função para valores de ‘x’ muito 
altos� Você consegue enxergar essa propriedade 
apenas olhando os gráficos?
Observe também que todas essas funções, para 
ambos os grupos, sempre passam pela origem do 
sistema de coordenadas Oxy�
9
Funções exponenciais
As funções exponenciais são funções (y = f(x)) que 
podem ser escritas na forma: y = ax, onde ‘a’ corres-
ponde a um número real positivo e diferente de 1. 
Primeiramente, perceba uma diferença marcante 
entre as funções potências (vistas anteriormente) e 
as funções exponenciais: nas funções potências te-
mos a variável ‘x’ na base e um número no expoente, 
já nas funções exponenciais um número se encontra 
na base e a variável ‘x’ está no expoente.
As funções exponenciais também podem ser divi-
didas em dois grupos básicos: quando a >1 tem-se 
uma curva exponencial crescente ou simplesmente 
um crescimento exponencial, já para o caso em que 
0 < a <1, pode-se observar uma curva exponencial 
decrescente ou um decrescimento exponencial�
30
20
25
10
-2-3 2 3
y = 3ˣ
y = 2ˣ
4
x
y
15
5
-10
0
0
1-1
30
20
25
10
-2-3-4 2 3
y = 2ˣ
x
y
15
5
0
0
1-1
 
Figura 4: Gráficos das funções exponenciais (a>1 e 0≤a≤1). 
Fonte: elaborado pelo autor.
Funções exponenciais têm um comportamento bas-
tante explosivo: uma curva exponencial crescente 
10
vai assumindo valores altíssimos conforme o valor 
de ‘x’ cresce, já uma exponencial decrescente tem 
seu valor caindo rapidamente e vai se aproximando 
cada vez mais do valor zero conforme o valor de ‘x’ 
cresce. Porém, todas essas funções têm algo em 
comum: elas cruzam o eixo vertical no ponto (0,1).
FIQUE ATENTO
A quantidade de aplicações das funções expo-
nenciais nas ciências é imensa� Desde o estudo 
do crescimento de uma população de bactérias 
até a análise da atividade de materiais radioati-
vos, passando pela viralização de um conteúdo 
na internet ou mesmo pela disseminação de um 
vírus em uma grande pandemia, tudo isso pode 
ser modelado e compreendido através do uso de 
funções exponenciais�
Funções logarítmicas
Funções logarítmicas são as funções (y = f(x)), que 
podem ser escritas na forma: y=loga x onde ‘a’ é 
chamado de base do logaritmo e corresponde a um 
número real positivo e diferente de 1. As funções 
logarítmicas, na verdade, são as funções inversas 
das funções exponenciais. É importante lembrarmos 
uma propriedade básica na definição dos logaritmos:
11
y = loga x ⇒ ay = x�
As funções logarítmicas também podem ser divi-
didas em dois grupos básicos: quando a>1 tem-se 
uma curva logarítmica crescente, já para o caso em 
que 0 < a <1 pode-se observar uma curva logarítmica 
decrescente�
4
y
2
4 6 8 10
x
3
1
-2
-1
-3
0
0
2
Figura 5: Gráficos das funções logarítmicas (a>1 e 0≤a≤1). 
Fonte: elaborado pelo autor.
É interessante observarmos que essa família de 
funções possui o que chamamos de condição de 
existência: o valor da variável ‘x’ nessa função deve 
ser obrigatoriamente maior que zero. Não pode ser 
negativo e também não pode ser nulo. Você con-
segue observar essa propriedade apenas olhando 
o gráfico dessas funções? Elas também possuem 
outro detalhe em comum, todas cruzam o eixo no 
ponto (1,0).
12
FIQUE ATENTO
Escalas logarítmicas são muito usadas para a me-
dição de uma série de fenômenos físicos. A medi-
ção de níveis sonoros (em decibéis), assim como a 
medida da magnitude de tremores de terra (escala 
Richter), usualmente são feitas com escalas cujas 
equações se utilizam de funções logarítmicas�
13
LIMITES
O conceito de limite é certamente um conceito cen-
tral do Cálculo Diferencial e Integral, sendo sua im-
portância crucial para o entendimento dos princi-
pais conceitos dessa disciplina. Contudo, a definição 
formal envolvendo o limite de uma função pode se 
mostrar algo um tanto complexo do ponto de vista 
lógico-matemático.
Tendo isso em vista, tentaremos desenvolver, nesta 
disciplina, uma abordagem mais intuitiva da ideia 
de limite, sem adentrarmos profundamente suas 
complexidades, mas adquirindo compreensão e 
desenvoltura suficientes para podermos utilizar o 
conceito de maneira conveniente, de acordo com a 
proposta deste curso�
Definição intuitiva de limite
Observe o gráfico da função y = -x2 + 6x-5 apresen-
tado na figura abaixo:
14
4
5
y
2
2 43 5
y= -x ² + 6x - 5
6
x
3
1
-2
-1
-3
-4
-5
0
0
1
 
Figura 6: Definição intuitiva de limite. Fonte: elaborado pelo 
autor�
Quero fazer a você a seguinte pergunta: o que acon-
teceria com essa função se os valores de ‘x’ come-
çassem a se aproximar cada vez mais do valor 3?
Para essa função, é possível notar-se no gráfico 
que quando x=3 temos o vértice da parábola, então 
quanto mais nos aproximarmos do ponto x=3 mais 
a função estará se aproximando do vértice de sua 
parábola. Como o vértice da parábola se encontra na 
altura y=4, podemos dizer que quanto mais o valor de 
‘x’ se aproximar de 3, mais a função irá se aproximar 
do valor 4. Em outras palavras: quando ‘x’ tende a 3 
a função tenderá ao valor 4.
A notação que utilizaremos para isso é a seguinte:
15
Lemos isso da seguinte forma: o limite da função 
f(x) = -x2 + 6x - 5 quando ‘x’ tende a 3 é igual a 4�
REFLITA
A ideia de limite envolve sempre uma aproxima-
ção em relação a algum número. Podemos fazer 
com que ‘x’ se aproxime de 3 o quanto quisermos: 
imagine que ‘x’ possa valer 2,9 ou mesmo 2,99 ou 
até 2,999. Nesse caso, estamos nos aproximando 
cada vez mais do valor 3, mas é importante lem-
brarmos que no conceito de limite nunca chega-
remos de fato ao valor 3. Aproximamos cada vez 
mais do valor 3, porém sem nunca chegarmos de 
fato a esse número�
Limites laterais
Considere agora o gráfico da seguinte função:
16
2,5
1,5
1
2
0,5
-0,5
-1-1,5 1 1,5
x
y
0
0
-1
0,5-0,5
 
Figura 7: Limites laterais� Fonte: elaborado pelo autor.
Imagine que alguém te perguntasse: qual o valor do 
limite dessa função quando ‘x’ tende a zero?
Nesse caso, poderíamos pensar um pouco, mas tal-
vez uma resposta intuitiva fosse “depende”: depende 
de qual lado estou me aproximando do valor zero.
Observe novamente o gráfico. Se nos aproximarmos 
de x=0 pelo lado direito, veremos que a função se 
aproxima do valor 2. Já se nos aproximarmos de 
x=0 pelo lado esquerdo, veremos que a função se 
aproxima do valor 1. É exatamente essa a ideia dos 
limites laterais! Nesse caso, os limites laterais são 
diferentes: se nos aproximamos pela esquerda temos 
um resultado, se nos aproximamos pela direita temos 
outro resultado. Deu pra entender?
17
Usando uma notação mais matemática, podemos 
escrever o seguinte:
Onde x→0+ significa que estamos tendendo ao valor 
zero pela direita. Analogamente, x→0 - implica que 
estamos tendendo ao valor zero pelo lado esquerdo. 
É essa a ideia do limite lateral, nós nos aproximar-
mos do valor desejado segundo um lado específico 
(direito ou esquerdo)�
REFLITA
Mas e se, nesse exemplo, alguém nos perguntasse 
o valor de ?
A teoria nos diz que o resultado desse limite não 
existe, pois para que o limite no ponto x=0 exista é 
necessário que os dois limites laterais deem como 
resposta o mesmo valor. Em outras palavras, se os 
limites laterais são diferentes, dizemos que o limite 
no ponto em questão não existe ( )� O 
limite no ponto existirá somente quando ambos 
os limites laterais derem como resposta o mesmo 
valor.
Cálculo de Limites e 
suas propriedades
Até o momento, estamos estudando o conceito de 
limite de uma função e relacionando-o sempre com o 
18
gráfico dessa função. Mas como poderíamos encon-
trar o resultado de um dado limite numa situação em 
que não temos ou que não seja possível conhecer o 
gráfico dessa função? Nessa seção, aprenderemos 
como descobrir o resultado de um limite fazendo 
cálculos e conhecendo as propriedades dos limites. 
Apresentamos a seguir as cinco propriedades bási-
cas dos limites:
1
2
3
4
5
Onde, nesse caso, estamos assumindo quef(x) e g(x) 
são funções cujos limites existem no ponto x=a e ‘a’ 
e ‘c’ sejam números reais�
Mas não se assuste! Essas propriedades acima, na 
prática, são razoavelmente intuitivas e acabaremos 
utilizando-as de um modo um tanto natural�
Então voltemos ao nosso problema de calcularmos o 
valor de um dado limite. Como poderíamos calcular, 
por exemplo, o limite ?
19
Nesse caso, como ‘x’ está tendendo a 2, podemos 
tentar simplesmente substituir o número 2 no lugar 
de ‘x’, veja só:
Pronto! Viu como foi fácil? Nesse caso, podemos 
dizer que esse limite fornece como resultado o valor 
7. O limite dessa função nesse ponto vale 7.
Foi tudo realmente muito simples, apenas substitu-
ímos o valor de ‘x’ e chegamos à resposta. Mas os 
limites mais interessantes envolverão um conceito 
um tanto importante: as indeterminações� Para enten-
dermos o que é uma indeterminação, apresentamos 
mais um limite para tentarmos resolver: � 
Como poderíamos resolver esse limite?
Se tentarmos substituir 3 no lugar de ‘x’ obteremos:
Observe que o resultado será uma fração que irá 
tender a zero tanto no numerador (número de cima) 
quanto no denominador (número de baixo). Mas 
quanto vale isso?
Isso é o que chamamos, no Cálculo, de uma indeter-
minação do tipo . Teoricamente, uma indetermi-
nação pode nos dar qualquer resposta e, nesse caso, 
para conseguirmos resolver o problema, teremos 
que fazer algo a mais para conseguirmos eliminar 
20
essa indeterminação. Apenas quando eliminarmos 
a indeterminação será possível encontrar o valor da 
nossa resposta�
Para isso, usaremos uma ótima ferramenta: as pro-
priedades de fatoração. Veja só:
Esse é o resultado do nosso limite. Perceba que ao 
usarmos uma propriedade de fatoração consegui-
mos “cortar” o termo x-3. Ao “cortarmos” esse termo, 
eliminamos a indeterminação e podemos resolver o 
limite facilmente. Sendo assim, quando nos deparar-
mos com alguma indeterminação, as propriedades 
de fatoração são excelentes alternativas para rees-
crevermos o limite de uma maneira que nos permita 
eliminar as indeterminações e chegar ao resultado.
A título de exemplo, apresentaremos a resolução 
de mais um limite indeterminado fazendo uso de 
propriedades de fatoração:
Novamente, trata-se de uma indeterminação do tipo 
. Utilizamos uma propriedade de fatoração para 
eliminar a indeterminação e chegar à solução do pro-
blema. Em relação aos tipos de indeterminação que 
podemos encontrar, existem vários. A seguir apresen-
taremos alguns dos tipos de indeterminação mais 
comuns no Cálculo: �
21
Limites infinitos e 
Limites no infinito
Observe o trecho do gráfico da função apre-
sentado a seguir:
Qual seria o valor do seguinte limite: ?
Note que aqui acrescentamos uma nova simbologia: 
o símbolo ‘∞’ é usado na matemática para represen-
tar o conceito de infinito. Nesse caso, quando escre-
vemos x→∞ dizemos que ‘x’ está tendendo ao infinito, 
ou seja, a variável ‘x’ está assumindo valores cada vez 
maiores. Na verdade, nunca se pode atingir o infinito, 
pois se você tentar imaginar qualquer número, por 
maior que ele seja, sempre haverá um número maior 
que aquele que você imaginou. Nunca atingimos o 
infinito, mas podemos tender ao infinito utilizando a 
linguagem dos limites�
22
100
y
0,3 0,4 0,5 0,6
x
90
60
70
80
10
20
30
40
50
0
0 0,1 0,2
 
Figura 8: Limites infinitos e limites no infinito. Fonte: ela-
borado pelo autor.
Para descobrirmos o valor de podemos obser-
var no gráfico que, conforme o valor de ‘x’ vai ficando 
muito grande, a função vai se aproximando cada 
vez mais do valor zero (vai tendendo a zero), então 
podemos concluir que . Perceba que a fun-
ção nunca chegará a valer exatamente zero, mas 
quanto mais o valor de ‘x’ crescer, mais próximo de 
zero a função irá chegar. Essa é a ideia envolvendo 
o conceito de limite�
Se quisermos resolver o limite , também pode-
mos observar o gráfico e notar que conforme ‘x’ se 
aproxima do valor zero pela direita o valor da função 
 simplesmente explode, assumindo valores cada vez 
maiores. Nesse caso, podemos dizer que a função 
tenderá ao infinito quando ‘x’ se aproxima de zero, 
ou seja, �
23
Mas como poderíamos resolver limites que envolvem 
o conceito de infinito sem que conheçamos o gráfico 
dessas funções?
Neste caso, mais uma vez as propriedades de fa-
toração se mostrarão bastante úteis. Em seguida, 
apresentaremos a resolução de um típico limite no in-
finito seguida dos comentários acerca da resolução:
No caso acima, o recurso que utilizamos foi o de 
fatorar, colocando em evidência o ‘x’ de maior grau 
tanto na expressão de cima quanto na de baixo. Ao 
colocarmos x2 em evidência (analise se você enten-
deu como isso foi feito), pudemos “cortá-lo” do limite 
e encontrar a solução. Outro detalhe que queremos 
que você perceba é que quando ‘x’ tender a infinito, 
as frações tenderão a zero, pois quando o 
número de baixo (denominador) se tornar “gigan-
tesco” essas frações se tornarão muito pequenas, 
tendendo a zero�
Segue mais um exemplo:
Nesse caso, fizemos um procedimento idêntico ao 
exercício anterior, mas ao final restou um ‘x’ em cima 
(numerador). Quando no final fizermos x→∞, obtere-
24
mos um número “gigantesco” em cima e o número 
1 embaixo , o que nos conduzirá à resposta que 
foi obtida.
Mais um exemplo para finalizar:
Limites fundamentais 
(trigonométricos)
Existem alguns tipos de limites que não se encaixam 
em nenhuma das classificações anteriores e cujas 
resoluções envolvem uma metodologia um tanto 
diferente. Nessa seção apresentaremos os limites 
fundamentais da trigonometria�
A resolução de um limite fundamental envolve a uti-
lização de uma informação previamente conheci-
da, ou seja, nós utilizaremos uma informação que é 
amplamente conhecida para a resolução de alguns 
tipos específicos de limites. A seguir, apresentamos 
os dois limites fundamentais da trigonometria:
Esses limites acima já foram amplamente estudados 
e desenvolvidos na literatura e sabemos que o resul-
25
tado dos mesmos vale 1. O que faremos então será 
nos utilizarmos dessas informações já conhecidas 
para resolvermos alguns limites indeterminados com 
funções trigonométricas�
Isso parece um pouco abstrato demais? Não se pre-
ocupe, abaixo apresentaremos alguns exemplos de 
utilização desses limites.
Resolva o limite �
A ideia de resolução consiste em “fabricarmos” um li-
mite fundamental� O termo sen(5x) nos sugere que um 
possível limite fundamental poderia ser � 
Então tentaremos “fabricar” esse termo dentro do nosso 
exercício:
Note que para obtermos um limite fundamental está 
faltando um número 5 embaixo, multiplicando o valor 
de ‘x’. Então utilizaremos um artifício: multiplicare-
mos o valor 5, tanto em cima quanto embaixo, em 
nossa expressão (pois fazendo dessa forma não 
alteramos o valor da resposta):
Agora podemos observar facilmente que no meio da 
expressão surgiu um limite fundamental cujo valor 
é 1. Então:
26
Outro exemplo: Resolva �
Mais uma vez, o termo tg(x-2) nos sugere que um pos-
sível limite fundamental poderia ser . Então 
tentaremos “fabricar” esse termo dentro do nosso exer-
cício. Observe que podemos colocar em evidência o 
número 2 que há no denominador:
Nesse caso, podemos reagrupar a expressão e uti-
lizar a ideia do limite fundamental:
Limites fundamentais (o número ‘e’)
Seguiremos explorando a ideia de limites fundamen-
tais, mas neste momento queremos apresentar outro 
tipo de limite fundamental: os limites que envolvem 
o célebre número ‘e’. A seguir, apresentaremos dois 
novos limites fundamentais:
27
O número ‘e’ é uma constante fundamental com 
imensa importância em toda a matemática e nas 
ciências exatas em geral. É chamado de número de 
Napier ou número neperiano e a seguir apresentare-
mos seu valor conhecido com três casas decimais:
e=2,718...
Podemos pensar no número ‘e’ como uma espécie de 
constante básica que é muito presente nas ciências 
naturais, assim como a conhecida constante π (π = 
3,14...),utilizada numa enorme gama de aplicações.
A metodologia é idêntica à seção anterior, utilizare-
mos os limites fundamentais como ferramenta para 
nos auxiliar na resolução de limites que envolvem 
o número ‘e’� A seguir fornecemos dois exemplos:
Calcule �
Perceba que esse limite é muito parecido com o limi-
te fundamental . Então tentaremos 
pegar o limite que nos foi dado e escrevê-lo o mais 
próximo possível do limite fundamental. Para tanto, 
faremos uma mudança de variável: � 
O objetivo aqui será o de eliminar o número ‘3’ que 
aparece na expressão e trocá-lo por um número ‘1’, 
deixando a expressão mais próxima do limite fun-
damental. Agora faremos a mudança de variável 
proposta “trocando” um problema em ‘x’ por um 
problema em ‘t’:
28
Agora usaremos uma propriedade de potenciação e 
aparecerá o limite fundamental:
Outro exemplo: Calcule �
Perceba que esse limite é muito parecido com o limi-
te fundamental . Nesse caso, faremos 
a substituição: . Observe:
Continuidade de uma função
A seguir apresentaremos uma aplicação do conceito 
de limite: o estudo sobre a continuidade de uma fun-
ção em um dado ponto. Inicialmente, apresentaremos 
um ponto de vista bem intuitivo sobre esse conceito, 
posteriormente chegaremos a uma definição formal 
de continuidade. Observe os três gráficos a seguir:
29
3,5
y
1,5 2 2,5 3 3,5 4
x
3
2
2,5
0,5
1
1,5
0
0 0,5 1
3,5
y
1,5 2 2,5 3 3,5 4
x
3
2
2,5
0,5
1
1,5
0
0 0,5 1
3,5
y
1,5 2 2,5 3 3,5 4
x
3
2
2,5
0,5
1
1,5
0
0 0,5 1
 
Figura 9: Continuidade de funções� Fonte: elaborado pelo 
autor�
A partir dos gráficos, será que saberíamos afirmar 
quais funções são contínuas e quais são descontí-
nuas no ponto x=2?
O conceito de continuidade é um tanto intuitivo. 
Podemos entender, de maneira mais simplória, uma 
descontinuidade como sendo um salto, uma que-
bra, uma ruptura em relação ao padrão da função. 
É fácil identificarmos uma descontinuidade em um 
gráfico. Uma função para ser contínua, obviamente, 
não deve apresentar nenhuma descontinuidade no 
ponto estudado�
Voltando aos gráficos acima, é possível afirmarmos 
que as duas primeiras funções são descontínuas 
em x=2. Já a terceira função é contínua em x=2. 
Mas como poderíamos justificar essas afirmações 
usando apenas as ideias de limites que acabamos 
de aprender?
Olhando o primeiro gráfico notamos que os limi-
tes laterais da função são diferentes no ponto x=2 
, o que se relaciona com o “sal-
30
to” que podemos observar no ponto ‘2’. Quando os 
limites laterais são diferentes também podemos dizer 
que o limite no ponto ‘2’ não existe � 
Sempre que isso ocorrer haverá esse “salto” e, por-
tanto, a função será descontínua no ponto x=2�
Quando observamos o segundo gráfico, vemos que, 
nesse caso, os limites laterais são iguais no ponto 
x=2. Quando nos aproximamos de ‘2’ pelos dois lados 
tendemos ao mesmo valor. Sendo assim, o limite da 
função no ponto ‘2’ de fato existe, porém há outro pro-
blema: a função assume um valor diferente do valor 
que obtemos através do limite. É como se houvesse 
uma ruptura no padrão da função, ocorrendo apenas 
em um ponto (x=2). Isso também caracteriza uma 
descontinuidade. A justificativa para a descontinuida-
de seria o fato de que o limite da função é diferente 
do valor da função no ponto (x=2), ou seja,
Chegamos, enfim, ao terceiro caso onde a função é 
de fato contínua. Nesse caso, os limites laterais da 
função no ponto ‘2’ são iguais, além do fato de que 
o limite da função no ponto x=2 é igual ao valor da 
própria função nesse ponto, ou seja: � 
Sendo assim, então, poderemos chegar a uma defini-
ção adequada para o conceito de continuidade. Uma 
função f(x) será contínua em um ponto x=a sempre 
que:
31
Essa é a definição de continuidade! Agora podere-
mos utilizá-la para estudarmos a continuidade de 
uma função em situações mais complexas, onde não 
possuímos informações detalhadas sobre o gráfico 
da função em questão. A seguir apresentaremos 
dois exemplos:
Determine o valor de ‘a’ para que a função
 
seja contínua no ponto x=2:
Vamos calcular os limites laterais:
Para que a função seja contínua precisamos que os 
limites laterais sejam iguais, ou seja:
8=2a-4 ⇒ 12 = 2a ⇒ a = 6�
Nesse caso, para que os limites laterais e a função 
no ponto possuam o mesmo valor e a função seja 
contínua, ‘a’ deve ser igual a 6 a = 6�
Mais um exemplo: determine se a função
 
é contínua no ponto x=1:
32
Vamos calcular o limite da função quando ‘x’ tende 
a 1:
Vamos lembrar que a definição da função nos diz 
que: f(1) = 3 �
Concluímos então que o limite da função vale 2, en-
quanto o valor da função no ponto em questão vale 
3, portanto: . Isso prova que a função 
é descontínua em x=1�
Perceba um detalhe: nós provamos que a função é 
descontínua apenas no ponto x=1. Na verdade, em 
todos os outros pontos essa função é contínua, ha-
vendo descontinuidade apenas em x=1�
A definição de derivada
Estamos chegando ao final deste e-book e iremos 
agora introduzir um conceito que será crucial mais 
adiante: a definição de derivada.
Neste momento não iremos discutir o significado 
matemático das derivadas de uma função, apenas 
aprenderemos a calcular as derivadas utilizando a 
sua definição, pois se trata de uma das grandes apli-
cações envolvendo o conceito de limite.
A maioria das funções matemáticas básicas é deri-
vável, ou seja, é possível calcular a derivada dessas 
33
funções. Representaremos, neste momento, a deri-
vada de uma função f(x) usando a seguinte notação: 
f(x). O símbolo f(') será utilizado para indicar uma 
derivada, e podemos dizer que f(x) é a derivada da 
função f(x)�
Mas vamos ao que interessa, a seguir apresentamos 
a definição de derivada:
Não se assuste com essa expressão! Na verdade, 
calcular a derivada de uma função envolve a mon-
tagem e a resolução de um limite. A seguir, fornece-
remos alguns exemplos a fim de tornar o processo 
de entendimento mais didático:
Calcule a derivada da função f(x) = 3x + 5�
Inicialmente vamos descobrir quem é f(x + h):
f(x + h) = 3(x + h) +5 (é só trocar ‘x’ por ‘x+h’ na fun-
ção f(x)!)
Agora iremos substituir na definição de limite:
 
Outro exemplo: calcule a derivada da função f(x) = x2�
Inicialmente vamos descobrir quem é f (x + h):
34
f (x + h) = (x + h)2 (é só trocar ‘x’ por ‘x+h’ na função 
f(x)!)
Agora iremos substituir na definição de limite:
 
 
�
Note que como h→0, ao final substituímos o valor ‘0’ 
no lugar da variável ‘h’.
35
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Ao longo deste e-book, pudemos relembrar as princi-
pais funções elementares e suas propriedades gráfi-
cas, assim como iniciar o estudo de um importante 
conceito do Cálculo Diferencial e Integral: os limites�
Inicialmente, entendemos os limites a partir de seus 
aspectos gráficos, posteriormente pudemos calcular 
algebricamente uma série de limites indetermina-
dos envolvendo propriedades de fatoração, limites 
no infinito bem como alguns limites fundamentais 
(trigonométricos e do número ‘e’)�
Por fim, investigamos algumas das aplicações dos 
limites, como o estudo da continuidade de funções 
e o cálculo das derivadas através de sua definição.
36
Referências Bibliográficas 
& Consultadas
FERNANDES, D. B. Cálculo Diferencial. São Paulo: 
Pearson, 2014. [Biblioteca Virtual].
GONÇALVES, M. B.; FLEMMING, D. M. Cálculo B: fun-
ções de várias variáveis, integrais múltiplas, integrais 
curvilíneas e de superfície. 2. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2007. [Biblioteca Virtual].
HALLET, D. H. et al� Cálculo a uma variável e a várias 
variáveis. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011. [Minha 
Biblioteca].
MORETTIN, P. A.; HAZZAN, S.; BUSSSAD, W. O. 
Cálculo: funções de uma e várias variáveis. 3. ed. 
São Paulo: Saraiva, 2016. [Minha Biblioteca].
RODRIGUES, G. L. Cálculo Diferencial e Integral II� 
Curitiba: InterSaberes, 2017. [Biblioteca Virtual].
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo� 3� ed� Parto 
Alegre: Bookman, 2018. [Minha Biblioteca].
THOMAS, G. B. Cálculo.10. ed. São Paulo: Pearson 
Addison Wesley, 2003. [Biblioteca Virtual].
WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo. v. 2. 12. ed. São Paulo: 
Pearson, 2012. [Biblioteca Virtual].
	Introdução
	Funções elementares e seus gráficos
	Funções lineares
	Funções quadráticas
	Funções potências
	Funções exponenciais
	Funções logarítmicas
	Limites
	Definição intuitiva de limite
	Limites laterais
	Cálculo de Limites e suas propriedades
	Limites infinitos e Limites no infinito
	Limites fundamentais (trigonométricos)
	Limites fundamentais (o número ‘e’)
	Continuidade de uma função
	A definição de derivada
	Considerações finais
	Referências Bibliográficas & Consultadas