ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA - Variáveis Complexas

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ATIVIDADE CONTEXTUALIZADA
Nome Completo: Lucas Castro da Silva Lima
Matrícula: 03333107
Curso: Engenharia Elétrica
1. Descreva pelo menos um/uma teorema/teoria de cientistas distintos que façam
uso dos números complexos. Busque por teorias que façam parte, de alguma forma,
do mundo da Engenharia (Elétrica). Leia a teoria e explique com suas palavras, não
se prenda aos números neste momento. Se achar válido contextualizar a época
vivida pelo cientista, seu principal ramo de atuação, por exemplo, será um excelente
complemento.
2. Descreva como seu conhecimento em variáveis complexas te ajuda a entender
essas e outras teorias. Qual a parte do conteúdo estudado foi/é mais fundamental?
Busque fazer analogias com o curso de Engenharia Elétrica e outras disciplinas
estudadas.
3. Exemplifique, se possível também matematicamente, uma aplicação de um dos
teoremas na resolução de um problema de Engenharia (Elétrica), seja mais teórico,
juntando teoria e prática. Contextualize com a época atual, com os avanços
tecnológicos recentes.
Ao longo da história muitos matemáticos importantes de diversas épocas
contribuíram para a construção do conhecimento em números complexos e o
entendimento na área foi desenvolvido de forma gradual. Com o passar dos
anos, esses cientistas viram a necessidade da resolução do problema em
equações de 3º grau, chegaram à conclusão que os números reais eram
insuficientes para resolver os problemas matemáticos da raiz de um número
negativo.
Foram desenvolvendo estudos ao longo do tempo que acrescentavam
melhores formas para se resolver problemas matemáticos, com as pesquisas
também houve grandes disputas entre os cientistas e estudiosos que
contribuíram para o estudo das variáveis complexas, Alguns estudiosos ficaram
conhecidos e os principais são Tartaglia, Cardano, Bombelli, Euler e Gass. Os
dois últimos cientistas citados acrescentam de forma grandiosa para o estudo.
Euler relaciona a exponencial complexa com as funções cosseno e seno, esta
fórmula é uma ferramenta importante em análise AC (circuito em corrente
alternada). Gauss usa um número complexo representado em sua forma
algébrica: z = a + bi, em que a parte real é b e a é a parte imaginária.
𝑒 𝑖𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑖𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 
O estudo das variáveis complexas na engenharia elétrica é de suma
importância, a transformada de Fourier é usada para analisar tensões e
correntes variáveis. O tratamento de resistores, capacitores e indutores pode
ser unificado pela introdução de resistores imaginários que são dependentes
de frequência e combinando-os em um único número complexo denominado
impedância. A análise de um circuito elétrico CA para um Engenheiro é de
grande importância, o profissional consegue dimensionar com precisão os
componentes eletrônicos presentes em uma placa eletrônica ou até mesmo em
circuitos de uma grande máquina como por exemplo um guindaste.
Na prática um Engenheiro elétrico consegue identificar a impedância dos
componentes eletrônicos. Os circuitos usam ondas senoidais (sen/cos), como
indutores e capacitores, o resultado em um circuito AC é uma senoide, pois a
curva senoidal é um gráfico do seno de um ângulo traçado em função do
ângulo.
Utilizando a Fórmula de Euler pode se transformar em equações diferenciais e
exponenciais;
𝑒 𝑗𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
𝑒 −𝑗𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
Será alterado o termo “i” para “j”.
Realizar a soma dos termos para obter a exponencial de número complexos:
𝑒 𝑗𝑥 + 𝑒 −𝑗𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠(𝑥) 
Resultado;
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑒
𝑗𝑥+ 𝑒 −𝑗𝑥
2 
Realizar a subtração dos termos para obter a exponencial de número
complexos:
A ideia é relacionar exponenciais e ondas senoidais ou cossenoidais, para isso
é preciso realizar uma análise no circuito alternado (AC) usando e explorando
as expressões. Por exemplo, um microfone que quando é usado transmite
sinais analógicos e entram em sistema eletrônico.
Exemplo de um circuito:
Vin = A.cos.ω.t Vout = B.cos(ω + φ)
Vin = Tensão de entrada
Vout = Tensão de saída
ω = Frequência
t = Tempo
A = Amplitude
φ = Ângulo fase
Acrescentando à fórmula de Euler nos circuitos AC.
É necessário acrescentar duas fontes exponenciais:
No circuito acima é acrescentado duas fontes exponenciais geradoras de
tensão, e elas estão representadas por dois números complexos, um com
número complexo positivo e outro negativo, após passar por componentes que
estão no circuito, sua tensão de saída também é representado por um valor
exponencial, após a soma o dessas duas equações o seu resultado é B.cos(ω
+ φ), mesmo valor encontrado em um circuito com apenas uma fonte geradora
de tensão, isso confirma que mesmo usando as variáveis complexas o
resultado é satisfatório. Sem os números complexos todos os parâmetros de
circuitos elétricos teriam que ser calculados através da álgebra e tudo seria
extremamente difícil.
Utilizando este mesmo circuito, identificamos a passagem de corrente I e
quando esta corrente circula sobre o circuito e passa sobre um componente ela
gera impedância, esta grandeza física está relacionada a qualquer ente físico
que se opõe ao fluxo da corrente elétrica dentro de um circuito elétrico. Isso
acontece em circuitos de corrente alternada e corrente contínua. As grandezas
envolvidas na impedância são a resistência, reatância indutiva e capacitiva.
● Resistência: é a grandeza relacionada à oposição do fluxo da corrente
elétrica em circuitos de corrente contínua. A energia é dissipada em
forma de calor, ou seja, o Efeito Joule;
● Reatância indutiva: ela é produzida em um indutor. Esse componente se
opõe à corrente elétrica e acumula energia. Além disso, ela é
diretamente proporcional à frequência da corrente alternada;
● Reatância capacitiva: essa grandeza é produzida no capacitor, o qual
também armazena energia por meio da oposição à corrente elétrica. Ao
contrário da reatância indutiva, essa grandeza é inversamente
proporcional à frequência da corrente elétrica.
Os números complexos são utilizados para identificar a impedância Ω dos
componentes eletrônicos como os resistores (R), indutores (L) e capacitores
(C).
Fórmulas para identificar as Impedâncias dos componentes:
Legendas para as fórmulas:
V = Tensão
I = Corrente
ω = Frequência
t = Tempo
A = Amplitude
φ = Ângulo fase
Para facilitar a resolução das questões utilizaremos a exponencial de número
complexos acrescentando a frequência e tempo:
https://www.todoestudo.com.br/fisica/efeito-joule
Resistores:
Utilizando a fórmula da impedância:
Indutores:
Utilizando a fórmula da impedância:
Capacitores:
Utilizando a fórmula da impedância:
Como verificamos as variáveis complexas são de suma importância para área
da Engenharia Elétrica, durante o dia de um engenheiro ele utiliza mesmo que
indiretamente estas fórmulas, existem hoje aparelhos de medição que auxiliam
os profissionais para identificar as impedâncias, aparelhos como multímetros,
alicates amperímetros, megômetros, são exemplos de equipamentos que
utilizam em seus softwares essas fórmulas. Então estas fórmulas são usadas
indiretamente em nosso dia-a-dia, como notebooks, televisões e celulares,
porque antes no seu projeto inicial foram utilizadas as fórmulas para que
melhorasse seu desempenho e evitando possíveis curtos através dos cálculos
das impedâncias.
Referências
NASCIMENTO, Vitor. Números Complexos, Sinais Senoidais, e Fasores, 2015.
Disponível em:
<https://edisciplinas.usp.br/mod/resource/view.php?id=3086425>. Acesso em:
20, fevereiro de 2023.
PUHL, Cassiano. Aplicação dos Números Complexos. Matemática Complexa,
2012. Disponível em:
<https://sites.google.com/site/matematicacomplexa/iniciodoprojeto/aplicacao-do
s-numeros-complexos/engenharia-eletrica>. Acesso em: 20, fevereiro de 2023.
GUZMAN, Jeferson. Aplicação de números complexos. Neurochispas.
Disponível em:
<https://br.neurochispas.com/algebra/aplicacoes-de-numeros-complexos/>.
Acesso em: 20, fevereiro de 2023.
https://edisciplinas.usp.br/mod/resource/view.php?id=3086425
https://sites.google.com/site/matematicacomplexa/iniciodoprojeto/aplicacao-dos-numeros-complexos/engenharia-eletricahttps://sites.google.com/site/matematicacomplexa/iniciodoprojeto/aplicacao-dos-numeros-complexos/engenharia-eletrica
https://br.neurochispas.com/algebra/aplicacoes-de-numeros-complexos/