Gabarito AD1 Métidos Determinísticos 2 2023

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito - AD1 – Métodos Determińısticos II – 1/2023
Código da disciplina EAD06077
Questão 1 [1,0 pto] Determine os doḿınios de cada uma das funções abaixo.
a) f(x) = x2 − 3
Resolução: Por ser uma função polinomial, a variável x pode ser qualquer valor de número real.
Logo, Dom(f) = R. Também podemos escrever esta informação como Dom(f) = {x ∈ R}.
b) g(x) = 1
x
Resolução: Por ser uma função na forma de fração, precisamos que o denominador seja
diferente de zero. Logo, a variável x pode ser qualquer valor de número real diferente de zero.
Escrevemos esta informação como Dom(g) = {x ∈ R : x ̸= 0}.
c) h(x) = 1
x2−3
Resolução: Novamente o denominador precisa ser diferente de zero para a função estar bem
definida. Precisamos de x2 − 3 ̸= 0. Logo, Dom(h) = {x ∈ R : x ̸= ±
√
3}.
d) i(x) =
√
x2 − 3
Resolução: Neste caso precisamos notar que não existe raiz quadrada de número negativo,
mas existe raiz quadrada de zero e de números positivos. Portanto, precisamos de x2 − 3 ≥ 0.
Para encontrar os valores de x que satisfazem a inequação, precisamos fazer o estudo de sinal
da função que leva x em x2 − 3. Sabemos que as ráızes são x =
√
3 e x = −
√
3. Sabemos
também que a concavidade está voltada para cima, pois o coeficiente que acompanha o termo
com x2 é positivo. Logo, x2 − 3 ≥ 0 quando x ≤ −
√
3 ou quando x ≥
√
3. Portanto,
escrevemos Dom(i) = {x ∈ R : x ≤ −
√
3 ou x ≥
√
3}.
e) j(x) = x+2√
x2−3
Resolução: Neste caso x2 − 3 precisa ser positivo. Ele precisa ser maior ou igual a zero por
estar dentro de uma raiz quadrada, contudo, pela raiz estar no denominador de uma fração,
acrescentamos a restrição de ser diferente de zero. Logo, x2 − 3 precisa ser estritamente
positivo. Então, Dom(j) = {x ∈ R : x < −
√
3 ou x >
√
3}.
Questão 2 [2,0 ptos] Determine as funções compostas abaixo, utilizando as funções da questão
anterior. Para isso, é necessário determinar tanto o doḿınio da função composta, quanto a lei de
formação (fórmula) de cada uma delas.
a) g ◦ f(x)
Resolução: Temos
g ◦ f(x) = g(f(x)) = g(x2 − 3) = 1
x2 − 3 .
Com doḿınio Dom(g ◦ f) = {x ∈ R : x ̸= ±
√
3}
Métodos Determińısticos II AD1 2
b) f ◦ i(x)
Resolução: Temos
f ◦ i(x) = f(i(x)) = f(
√
x2 − 3) = (
√
x2 − 3)2 − 3 = x2 − 3 − 3 = x2 − 6.
Para saber o doḿınio da função f ◦ i precisamos saber para quais valores de x do doḿınio de
i o valor i(x) recai no doḿınio de f . Contudo, como o doḿınio de f é formado por todos
os números reais, precisamos apenas do doḿınio de i. Logo, Dom(f ◦ i) = {x ∈ R : x ≤
−
√
3 ou x ≥
√
3}.
Questão 3 [2,0 ptos] Utilizando as funções compostas da questão 2, determine caso exista:
a) g ◦ f(5)
Resolução: Como 5 ̸= ±
√
3, tesmo que 5 está no doḿınio de g ◦ f e podemos calcular
g ◦ f(5) = 152−3 =
1
22
b) f ◦ i(0)
Resolução: Temos que o número 0 não pertence ao doḿınio, portanto não faz sentio calcular
a composta neste valor.
Questão 4 [2,0 ptos] Utilizando a função h(x) da questão 1, determine suas asśıntotas horizontais.
Resolução: Precisamos encontrar valores reais a tais que limx→∞ h(x) = a ou limx→−∞ h(x) = a.
Temos
lim
x→∞
h(x) = 0.
Analogamente,
lim
x→−∞
h(x) = 0.
Logo, a asśıntota horizontal é y = 0.
Questão 5 [2,0 ptos] Utilizando a função h(x) da questão 1, determine suas asśıntotas verticais.
Resolução: Precisamos encontrar valores reais a tais que limx→a+ h(x) = ∞ ou limx→a+ h(x) =
−∞ ou limx→a− h(x) = ∞ ou limx→a− h(x) = −∞.
como a expressão de h(x) é uma fração com numerador constante, ela tenderá para mais ou menos
infinito quando o denominador tender para zero. Deste modo, temos
lim
x→(
√
3)+
h(x) = +∞
e
lim
x→(
√
3)−
h(x) = −∞.
Também
lim
x→(−
√
3)+
h(x) = −∞
e
lim
x→(−
√
3)−
h(x) = +∞.
Portanto, as asśıntotas verticais são x =
√
3 e x = −
√
3.
Questão 6 [1,0 pto]Escreva com suas próprias palavras os conceitos de:
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Métodos Determińısticos II AD1 3
a) limx→a f(x) = L
Resolução: Na medida em que os valores de x se aproximam de a, os valores de f(x) se
aproximam de L.
b) limx→∞ f(x) = L
Resolução: Na medida em que os valores de x aumentam e ficam arbitrariamente grandes
(sem limitação), os valores de f(x) se aproximam de L.
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