exercicios-11-1

Prévia do material em texto

,
EXERCICIOS 11.1
Domínio, Imagem e Curvas de Nível
Nosexercícios1-12:
(a) Encontreo domíniodafunção;
(b) Encontrea imagemdafunção;
(c) Descrevaascurvasdeníveldafun"ção;
(d) Encontreafronteiradodomíniodafunção;
(e) Determineseo domínioé umaregiãoaberta,umaregião
fechadaounenhumadasduas;
(O Decidaseo domínioé limitadoounãolimitado.
1.f(x,y)=y - x
3.f(x, y)=4X2+9y2
5.f(x, y)=xy
2.f(x, y)=vy=-:;
4.f(x. y)=X2- )'2
6.f(x, y)=y/x2
262 Capítulo11:FunçõesdeVáriasVariáveiseSuasDerivadas
1
7.f(;r, y)=- ') J
\116-.r - y-
9. f(x, y) = ln (X2+y2)
11.f(x, y) = arcsen(y- x)
12.f(x, y) = arctg(~)
8.f(x, y)=\19 - X2- y2
10.f(x, y)=e-C,'T)')
Identifican~oSuperfíciese CurvasdeNível
Osexercícios13-18mostramcurvasdenívelparaasfunçõescujos
gráficossãoapresentadosem (a)-(f).Associecadaconjuntode
curvasàfunçãoapropriada.
13.
,
17.
'-16.
18'_~!jJJJ
!
ll
l
l
l
W~
.
\"
.
'
.
:~~-
.
o
)) 11I I '
.
\ "
.
0'0
~_/~ J 'I . \ .,,-,o::~~o::~~-
--- ~~-=--=---';J1Ii ~'=_:-:":> -
í- ~JL~~~~~_-~~
\\
-
~
i
\ ~
i
l
I(
r (i~;~~---,\ \ IIdl/,I/, \ \ .
(a)
z =(cosx)(cosy) e--vx2+y2jJ.
(b)
(c)
I7=-
'- (4x2+y2)
(e)
XV(X2- ,,2)7 =' ,
~ (x2+)'2)
(d)
(f)
z =y2- yJ.- x2
IdentificandoFunçõesdeDuasVariáveis
Apresenteosvaloresdasfunçõesnosexercícios19-28deduas
maneiras:(a)esboçandoa superfíciez = f(x, y) e (b)desenhando
váriascurvasdenívelnodomíniodafunção,Identifiquecada
curvadenívelcomoseurespectivovalordafunção.
19.f(x, y) =,l
21. f(x, y) =X2 +l
23. f(x; y) =_(X2 +/)
25.f(x, y) =4.\'2+/
27.f(x, y) = 1-1)'1
20.f(x, y)=4 - i
22.f(x, y)=\lx2 + y2
24.f(x, y) =4 - X2 - /
26. f(x, y) =4X2 +/ + 1
28. f(x, y)=1- Ixl-I)'I
Encontrando urnaCurvade Nível
Nosexercícios29-32,encontrelimaequaçãoparaacurvadenível
dafunçãof(x,y)quepassapelopontodado,
29.f(x, y)=16- x2 - i, (2V2,V2)
30.f(x, y)=~, (1,O)
31 j
'
( - .) - J
y dt
( ~ I) ~ 0)~. ,\, -' - :;, - V L, V L
.\ I +t-
32.f(x, y)=i (~)tI, 0,2)tI=U .
~i
~
:'EsboçandoSuperfíciesdeNível
~.Nosexercícios33-40,esboceumasuperfíciedeníveltípicaparaa
função.
33.f(x, y, 1.)= X2+ / + Z2
34.f(x, )', z) = 1n(X2+ )'2+ Z2)
36. f(x, )', z) = Z
38. f(x, y, 1.)= y2+ Z2
35.f(:r,y, z)=x + Z
37.f(x, y, z)=X2+/
39.f(x, y, z)=z- X2 - )'2
40.f(x,y, z)=(x2/25)+(//16) + (z2/9)
EncontrandoumaSuperfíciedeNível
Nosexercícios41-44,encontreumaequaçãoparaasuperfícieele
níveldafunçãoquepassapelopontoelado.
41.f(x, y. z)=Yx- y - JI1 z,
42.f(x. y, z)= In (X2+Y +Z2),
(3, -1, 1)
(- 1.2, 1)
'" (x + )')"
43.g(x, y, z) = 2:~, On2, 1114, 3)"",o 11.<..
fy dO J ~ dr44.g(x,y, z)= x V1=lf2 + \/2rY t2- 1' (O,1/2, 2)
Teoriae Exemplos
45. o valormáximodeumafunçàoemumaretanoespaçoA função
f(x. y, z) =x)'z tem um valor máximona retax =20 - t,
Y = t,Z =20? Se tiver. qual é ele? Justifique sua resposta.
(Dica:Ao longodareta,H'=f(x. y, z)éumafunçãoderivá-
veldet.
46. OvalormínimodcumafunçãoemumaretanoespaçoA função'
f(x, y, z) = xy - z temumvalormínimonaretax =t - I. y =
t - 2 , z = t + 7? Se tiver,qualé o valor? Justifiquesuares-
posta.(Dica:Ao longodareta,H'= f(x, y, z)é umafunção
derivávelde t.)
47. OestrondosônicocausadopeloConcordeA larguraH'elaregiãona
qual pessoas110solo ouvemo estrondosônico causadopelo
Concordediretamente,e não refletidopor uma camadana
atmosfera,é umafunçãode
T =temperaturadoaraoníveldosolo(emgrausKelvin)
li =altitudedoConcorde(emquilômetros)
d =gradienteverticaldetemperatura(quedadetemperatu-
raemgrausKelvinporquilômetros).
A fórmula para 11'é
w =4 (~1)lf2.
VejaaFigura11.10.
11.1 FunçõesdeVáriasVariáveis 263
" /'" /" I /
"'0.0.. \ ; / , .--""
'-.'-. \ / //~/-
~\!/,/
1>" 'w /"
'- ~. °" -.- --/
" /)t\,---
~
..."- - / /'
"",,- I ."
'-- /.../! /
-'0 -~/ j. °'--0_- /~
A B
1\'
Estrondosônicocausado
peloConcorde
FIGURA11.10 As ondassonorasdo Concordecurvam-seà
medidaqueatemperaturamudaacimae abaixodaaltitude
devôodoavião.A regiãodesobrepressãoé aregiãono solo
querecebeasondasdechoquediretamentedoavião,não
refletidaspelaatmosferanemdifratadasaolongodosolo.A
regiãoédeterminadapelosraiosqueatingemo soloe que
partemcIopontodiretamentesobo avião(Exercício47).!
o Concordecomdestinoa Washingtonaproxima-sedos
EstadosUnidosvindodaEuropaemumcursoqueo levaao
suldaIlhadeNantucketaumaaltitudede16,8km.Seatem-
peraturadasupelfíciefor290K e o gradientedetemperatura
verticalfor5 K/km.aquantosquilômetrosaosuldeNantucket
oaviãodeverávoarparamanteroruídolongedailha?(Fome:
"Concordesonicboomsasanatmosphericprobe",deN. K.
Balachandra,W. L. DonneD. H.Rind,Science,v. 197,1jul.
1977,p.47-49.)
48. EscrevendoparaaprenderComovocêsabe,o gráficodeuma
funçãorealdeumaúnicavariávelrealé umconjuntono espa-
çobidimensional.O gráficodeumafunçãorealdeduasvariá-
veisreaisindependentesé umconjuntono espaçotridimensio-
naI. O gráfico de uma função real de três variáveis reais
independentesé um conjuntoemum espaçoquadridimensio-
nal.Como vocêdefiniriao gráficode umafunçãorealf(xj, X2,
-'"3'x4) elequatrovariáveisreais independentes?Como você
definiriao gráficode umafunçãorealf(x], X2..x,' x,/)de 11
variáveisreaisindependentes?
,?~~
USANDO O COMPUTADOR
SuperfíciesExplícitas
Useumsistemadeálgebraporcomputador(SAC)paraexecutaras
seguintesetapasparacadaumadasfunçõesnosexercícios49-52.
(a) Tracea supelfícienoretângulofomecido.
(b) Traceváriascurvasdenívelno retângulo.
(c) Tracea curvadeníveldefpassandopelopontodado.
Y
49. f(x. y) = x sen2: + y sen2x,
P(3'iT,3'iT)
O :S x :S 5'iT O:s y :S 51T,
50. f(.1.',y) = (senx)(cosy) e\i~f8, O:::;;X :S 51T,O:s y ::; 51T,
P(4'iT,4'iT)