Atividade A3 - Cálculo Numérico Computacional

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Aluno: Renato Gonçalves Silveira Jr. RA: 2021202019 
Atividade A3 – Cálculo numérico computacional 
 
Interpolar uma função f(x) é aproximá-la por outra função g(x), selecionada entre 
uma classe de funções que satisfazem certas propriedades. Normalmente, 
precisamos recorrer a esta ferramenta em 2 situações: a primeira, quando são 
conhecidos apenas alguns valores numéricos da função para um conjunto de 
pontos, e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado; a 
segunda, quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como 
a diferenciação e a integração são difíceis (ou impossíveis) de serem realizadas 
(FERNANDES, 2015, p. 101). 
FERNANDES, D. B. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 
2015. 
Considere a tabela a seguir, a qual relaciona o calor específico da água e a 
temperatura e, a partir do exposto acima, utilize a fórmula de Lagrange para 
determinar o polinômio interpolador de maior grau possível que modela o calor 
específico em função da temperatura. Em seguida, calcule o calor específico da 
água a 27,5 graus celsius. 
 
 
Resolução: 
Teorema de Lagrange 
𝑃(𝑥) = 𝑓(𝑥 )𝐿 , (𝑥) + ⋯+ 𝑓(𝑥 )𝐿 . (𝑥) 
Como temos 4 pontos de interpolação na tabela, utilizaremos n=3. 
𝑃(𝑥) = 𝑓(𝑥 )𝐿 (𝑥) + ⋯+ 𝑓(𝑥 )𝐿 (𝑥) 
Onde: 
𝐿 (𝑥) =
(𝑥 − 𝑥 )… (𝑥 − 𝑥 ). (𝑥 − 𝑥 )… (𝑥 − 𝑥 )
(𝑥 − 𝑥 )… (𝑥 − 𝑥 ). (𝑥 − 𝑥 )… (𝑥 − 𝑥 )
 
Resolvendo, temos: 
𝐿 (𝑥) =
(𝑥 − 25). (𝑥 − 30). (𝑥 − 35)
(20 − 25). (20 − 30). (20 − 35)
=
(𝑥 − 25). (𝑥 − 30). (𝑥 − 35)
−750
 
𝐿 (𝑥) =
(𝑥 − 20). (𝑥 − 30). (𝑥 − 35)
(25 − 20). (25 − 30). (25 − 35)
=
(𝑥 − 25). (𝑥 − 30). (𝑥 − 35)
250
 
𝐿 (𝑥) =
(𝑥 − 20). (𝑥 − 30). (𝑥 − 35)
(30 − 20). (30 − 25). (30 − 35)
=
(𝑥 − 25). (𝑥 − 30). (𝑥 − 35)
−250
 
𝐿 (𝑥) =
(𝑥 − 20). (𝑥 − 30). (𝑥 − 35)
(35 − 20). (35 − 25). (35 − 30)
=
(𝑥 − 25). (𝑥 − 30). (𝑥 − 35)
750
 
Temperatura (graus celsius) 20 25 30 35 
Calor específico 0,99907 0,99852 0,99826 0,99818 
 
𝑃(𝑥) = 0,99907
(𝑥 − 25). (𝑥 − 30). (𝑥 − 35)
−750
+ 0,99852
(𝑥 − 25). (𝑥 − 30). (𝑥 − 35)
250
+ 0,99826
(𝑥 − 25). (𝑥 − 30). (𝑥 − 35)
−250
+ 0,99818
(𝑥 − 25). (𝑥 − 30). (𝑥 − 35)
750
 
 
Dando sequência aos cálculos para encontrarmos o polinômio interpolador, temos: 
𝑃(𝑥) =
−0,99907𝑥 + 89,9163𝑥 − 2672,51225𝑥 + 26225,5875 + 2,99556𝑥 − 254,6226𝑥 + 7039,566𝑥 − 62906,76
750
+
−2,99478𝑥 + 239,5824𝑥 − 6214,1685𝑥 + 52408,65 + 0,99818𝑥 − 74,8635𝑥 + 1846,633𝑥 − 14972,7
750
 
𝑃(𝑥) =
−0,00011𝑥 + 0,0126𝑥 + 0,48175𝑥 + 754,7775
750
 
Desta forma chegamos ao polinômio interpolador 
𝑃(𝑥) = 0,0000001467𝑥 + 0,0000168𝑥 − 0,00064233𝑥 + 1,00637 
 
Agora utilizamos o polinômio para descobrir o calor específico da água à 27,5°C 
𝑃(27,5) = 0,0000001467. 27,5 + 0,0000168. 27,5 − 0,00064233.27,5 + 1,00637 
𝑃(27,5) = 0,99836