Sistemas de Amortização

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DEFINIÇÃO
Matemática Financeira: fluxos de caixa compostos por séries de pagamentos uniformes. Sistemas de amortização de dívidas mais importantes no
mercado. 
PROPÓSITO
Analisar séries de pagamentos uniformes e os principais sistemas de amortização de dívidas utilizados no mercado para avaliação e tomada de
decisão em financiamentos e estratégias de investimento. 
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos uma calculadora que seja capaz de realizar, além das operações básicas, potenciação e
logaritmos. A que consta em seu smartphone ou computador deve servir para isso.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Categorizar séries de pagamento uniformes
MÓDULO 2
Identificar as relações entre juros e amortização no sistema de amortização francês (Price)
MÓDULO 3
Definir as relações entre juros e amortização no Sistema de Amortização Constante (SAC)
MÓDULO 4
Reconhecer outros sistemas de amortização usualmente utilizados 
MÓDULO 1
 Categorizar séries de pagamento uniformes
INTRODUÇÃO
Apresentaremos neste módulo as séries de pagamentos uniformes e suas diversas classificações. Em seguida, calcularemos seus valores presente e
futuro e compararemos séries distintas a partir deles.
CLASSIFICAÇÃO DE SÉRIES DE PAGAMENTOS
 Fonte: Shutterstock.
Uma série de pagamentos é simplesmente um fluxo de entradas de caixas que se estende ao longo do tempo. Esses pagamentos podem:
SER (OU NÃO) IGUAIS;

ESTAR (OU NÃO) IGUALMENTE ESPAÇADOS NO TEMPO.
As séries de pagamentos podem ser classificadas de acordo com:
Periodicidade
Prazo
Valor das entradas de caixa
Início da série
Momento do pagamento
PERIODICIDADE
Essas séries podem ser:
A) PERIÓDICAS
As entradas de caixa são igualmente espaçadas no tempo.
 
Fonte: O autor.
B) NÃO PERIÓDICAS
Essas entradas possuem espaçamentos distintos.
 
Fonte: O autor.
PRAZO
As séries de pagamento podem ser:
A) FINITAS
Sua duração é limitada.
 
Fonte: O autor.
B) INFINITAS
Possuem duração ilimitada. Elas também são chamadas de perpetuidades.
 
Fonte: O autor.
VALOR DAS ENTRADAS DE CAIXA
Elas podem ser:
A) CONSTANTES
Todos os valores das entradas de caixa são iguais.
 
Fonte: O autor.
B) VARIÁVEIS
Esses valores não são todos iguais.
 
Fonte: O autor.
INÍCIO DA SÉRIE
Podem ser:
A) IMEDIATAS
O primeiro pagamento é devido no primeiro período.
 
Fonte: O autor.
B) DIFERIDAS
Ele ocorre após o primeiro período.
 
Fonte: O autor.
MOMENTO DO PAGAMENTO
Quanto ao momento, as séries de pagamento podem ser:
A) ANTECIPADAS
O pagamento é devido no início do período ao qual ele se refere.
 
Fonte: O autor.
B) POSTECIPADAS
Ele é realizado no final do período a que se refere.
Observe o exemplo a seguir:
 
Fonte: O autor.
Em relação aos pagamentos, esta figura indica uma série:
Periódica (eles estão igualmente espaçados)
Finita (ela é limitada a sete pagamentos)
Constante (todos eles são iguais)
Diferida (o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período)
Sobre o primeiro pagamento, a figura ainda pode ser classificada como:
Antecipada (se ele se referir ao terceiro período, que começa no ponto 2 e termina no 3)
Postecipada (caso ele se refira ao segundo período, que tem início no ponto 1 e termina no 2)
 
Fonte: O autor.
Na segunda figura, por sua vez, temos uma série:
Periódica (pagamentos igualmente espaçados)
Infinita (eles se perpetuam indefinidamente)
Constante (todos são iguais)
Imediata (o primeiro pagamento é no primeiro período)
Antecipada (ele se refere ao mesmo período)
SÉRIES UNIFORMES
 Fonte: Shutterstock.
SÉRIES UNIFORMES FINITAS
As séries uniformes são periódicas e constantes, ou seja, todos os pagamentos possuem o mesmo valor e estão igualmente espaçados.
Vamos analisar o exemplo a seguir:
 
Fonte: O autor.
Consideremos que a série representada acima seja uma imediata e postecipada (primeiro pagamento ao final do primeiro período). Se utilizarmos uma
taxa de juros i, o Valor Presente (VP) dela poderá ser obtido trazendo cada um dos fluxos da série para o instante 0.
Assim:
VP =
P
1 + I +
P
( 1 + I ) 2 +
P
1 + I ) 3 + ⋯ +
P
( 1 + I ) N - 1 +
P
1 + I ) N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
A sequência de termos no lado direito da equação acima constitui uma progressão geométrica (PG) de razão:
Q =
1
1 + I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
E primeiro termo igual a:
A0 =
P
1 + I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Usando a expressão abaixo para a soma dos termos de uma PG, temos:
S =
A0 × QN - 1
Q - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
( (
( )
VP =
P
1 + I ×
1
1 + I ) N - 1
1
1 + I - 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
VP =
P
1 + I ×
1 - 1 + I ) N
1 + I ) N
1 - ( 1 + I )
1 + I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
VP =
P ×
1 - 1 + I ) N
1 + I ) N
- I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
E, finalmente, chegamos à seguinte fórmula:
VP = P ×
1 + I ) N - 1
I × 1 + I ) N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Este valor presente representa o de um fluxo único no instante 0, que, por sua vez, é equivalente, sob uma taxa de juros i, à série de pagamentos
inicial. Ou seja, realizar todos os n pagamentos de valor igual a P da série é o mesmo que fazer um único pagamento de valor igual a VP no instante 0.
O termo que multiplica P na fórmula do valor presente é chamado fator de valor atual de uma série de pagamentos, sendo representado da seguinte
forma:
AN ¬ I =
1 + I ) N - 1
I × 1 + I ) N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
O fator de valor atual costuma ser tabelado para diversos valores de n e de i conforme indica a tabela a seguir:
n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091
2 1,970395 1,951561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852
[ ( ]
[
(
( ]
[
(
(
]
(
(
(
(
4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105 3,387211 3,312127 3,239720 3,169865
5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822 4,329476 4,212364 4,100197 3,992710 3,889651 3,790787
6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,766539 4,622879 4,485918 4,355261
7 6,728194 6,471991 6,230883 6,002054 5,786373 5,582381 5,389289 5,206370 5,032953 4,868419
8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,971298 5,746639 5,534819 5,334926
9 8,566017 8,162237 7,786109 7,435331 7,107821 6,801692 6,515232 6,246888 5,995247 5,759024
10 9,471304 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,023581 6,710081 6,417657 6,144567
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela do fator de valor atual de uma série de pagamentos an ¬ i
ASSIM, PARA CALCULAR O VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE UNIFORME
COMO A DO NOSSO EXEMPLO, BASTA PROCURAR O FATOR DE VALOR
ATUAL NA TABELA E MULTIPLICÁ-LO POR P.
Vejamos um exemplo numérico disso:
Calcule o valor presente da seguinte série uniforme.
 
Fonte: O autor.
VP = P ×
1 + I ) N - 1
I × 1 + I ) N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
VP = P × AN ¬ I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
VP = 1 . 000 × A9 ¬ 10%
(
(
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Consultando a tabela na coluna correspondente a i = 10% e na linha que corresponde a n = 9, podemos achar o valor de a9 ¬ 10% = .
n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091
2 1,970395 1,951561 1,913469 1,886094 1,859410 1,833393 1,8080181,783265 1,759111 1,735537
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852
4 3,091965 3,807728 3,717098 3,629895 3,545951 3,465105 3,387211 3,312127 3,239720 3,169865
5 4,853431 4,713459 4,579707 4,451822 4,329476 4,212364 4,100197 3,992710 3,889651 3,790787
6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,766539 4,622879 4,485918 4,355261
7 6,728194 6,471991 6,230883 6,002054 5,786373 5,582381 5,389289 5,206370 5,032953 4,868419
8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,971298 5,746639 5,534819 5,334926
9 8,566017 8,162237 7,786109 7,435331 7,107821 6,801692 6,515232 6,246888 5,995247 5,759024
10 9,471304 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,023581 6,710081 6,417657 6,144567
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela do fator de valor atual de uma série de pagamentos an¬i
Assim, temos:
VP=1.000×5,759024=5.759,02
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Este valor presente pode ser interpretado como um único fluxo no instante 0, que equivaleria à série com todos os pagamentos. Pode-se, portanto,
concluir que um investimento que promete pagar a série de pagamentos do exemplo vale atualmente R$5.759,02.
Se algum investidor aplicar nesse investimento, ele obterá o seguinte fluxo de caixa:
 
Fonte: O autor.
Ou seja, ele terá um desembolso inicial com o investimento no instante 0 (seta vermelha para baixo), recebendo, a partir daí, nove pagamentos de
1.000 ao término de cada um dos nove períodos. Isso lhe dará um rendimento de 10% a.p. na sua aplicação.
PODERÍAMOS TER FEITO ESSES CÁLCULOS USANDO OUTRAS
FERRAMENTAS MAIS MODERNAS QUE AS TABELAS FINANCEIRAS.
Vejamos como essa conta seria realizada com a HP 12C:
1º PASSO
2º PASSO
3º PASSO
4º PASSO
5º PASSO
6º PASSO
1º PASSO
Antes de tudo, limpe a memória da calculadora ao teclar:
 
Fonte: O autor.
2º PASSO
Sendo uma série postecipada, teclamos estes dois:
 
Fonte: O autor.
 
Fonte: O autor.
3º PASSO
Insira o valor de PMT teclando o número 1.000 seguido de:
 
Fonte: O autor.
4º PASSO
Coloque o valor de n teclando o número 9 seguido de:
 
Fonte: O autor.
5º PASSO
Ponha agora o valor de i ao teclar o 10 seguido de:
 
Fonte: O autor.
6º PASSO
Obtenha o valor presente teclando:
 
Fonte: O autor.
O visor da calculadora deverá indicar isto:
 
Fonte: O autor.
SEU VALOR É NEGATIVO, POIS A HP 12C CONSIDERA O SINAL DO VP
SEMPRE OPOSTO AO DO VALOR DE PMT. TENTE AGORA REPETIR ESSE
PROCEDIMENTO INSERINDO O VALOR DE -1.000 PARA PMT. VOCÊ VIU O
QUE ACONTECE?
 DICA
Lembre-se de que, para inserir quaisquer valores negativos na HP 12C, você primeiramente digita o valor positivo e, em seguida, clica em:
 
Fonte: O autor.
Se formos usar o Excel, podemos empregar a função “VP”:
 
Fonte: O autor.
Também é possível calcular o valor futuro da série ao se levar o valor presente até a data do último pagamento, ou seja, o instante n. Obtemos, neste
caso, a seguinte fórmula:
VF=VP×(1+I)N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Substituindo o valor de VP que calculamos antes, temos isto:
VF=P×(1+I)N-1I×(1+I)N×(1+I)N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
VF=P×(1+I)N-1I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
VF=P×SN¬I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Em que sn¬i corresponde ao fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos que também pode ser obtido por intermédio de uma
tabela.
n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9%
1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000
2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 2,050000 2,060000 2,070000 2,080000 2,090000
3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 3,152500 3,183600 3,214900 3,246400 3,278100
4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 4,310125 4,374616 4,439943 4,506112 4,573129
5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416322 5,525631 5,637093 5,750739 5,866601 5,984710
6 6,152015 6,308121 6,488410 6,632975 6,801913 6,975318 7,153291 7,335929 7,523334
7 7,213535 7,434283 7,662462 7,898294 8,142008 8,393827 8,654021 8,922803 9,200434
8 8,285670 8,582969 8,892336 9,214226 9,549109 9,897668 10,259802 10,636627 11,028474
9 9,368527 9,754628 10,159106 10,582795 11,026564 11,491316 11,977989 12,487558 13,021036
10 10,462212 10,949721 11,463879 12,006107 12,577892 13,180795 13,816448 14,486562 15,192930
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela do fator de valor atual de uma série de pagamentos sn¬i
No exemplo anterior, o valor futuro seria dado por:
VF=1.000×S9¬10%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
VF=1.000×13,579477=13.579,48
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
A série que acabamos de estudar era uma imediata postecipada, pois o pagamento relativo ao primeiro período ocorreu no final dele. No entanto,
conhecer o valor para essa série torna o cálculo do valor presente para a imediata antecipada uma tarefa bem simples.
Observemos este exemplo:
Calcule o valor presente da seguinte série uniforme antecipada:
 
Fonte: O autor.
Podemos interpretar a antecipada acima como uma série postecipada de oito pagamentos (setas verdes) mais um pagamento igual a P no instante
inicial (seta vermelha).
Dessa forma, seu valor presente será dado por:
VP=1000⏟VP DE SETA VERMELHA+1000 X A8¬10%⏟VP DAS SETAS VERDES
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
VP=1.000+1.000×5,334926
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
VP=6.334,93
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Podemos fazer algo semelhante para o cálculo do valor de séries diferidas.
Vejamos o exemplo a seguir:
Calcule o valor presente da seguinte série uniforme diferida:
 
Fonte: O autor.
Podemos interpretar a diferida acima como uma série postecipada de nove pagamentos cujo instante inicial é o ponto 1. Se calcularmos seu valor
presente pela fórmula, acharemos um fluxo equivalente no instante 1.
VPT=1=1.000×A9¬10%⏟VP DE UMA SÉRIE POSTECIPADA INICIANDO EM T=1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
VPT=1=1.000×5,759024
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
VPT=1=5.759,02
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Agora basta trazermos esse valor para o instante 0:
VP=5.759,021+10%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
VP=5.235,47
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Séries uniformes infinitas 
As séries uniformes finitas possuem um número ilimitado de entradas de caixa. O fluxo a seguir representa uma imediata postecipada:
 
Fonte: O autor.
 Legenda da imagem
-->
O valor presente desse fluxo infinito é dado pela seguinte expressão:
VP=PI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Vejamos o exemplo a seguir:
 EXEMPLO
Qual é o valor presente da seguinte perpetuidade?
 
Fonte: O autor.
Usando a fórmula, temos o seguinte cálculo:
VP=1.00010%=10.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Para uma série antecipada, basta somar ao valor acima os 1.000 que foram pagos no instante 0.
VP=1.000+1.00010%=11.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
 Fonte: Shutterstock.
MÃO NA MASSA
1. INDIQUE O VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE UNIFORME FINITA, IMEDIATA E POSTECIPADA COM 10
PAGAMENTOS MENSAIS DE R$50 A UMA TAXA DE JUROS DE 1% A.M.
A) 473,57
B) 470,00
C) 474,50
D) 481,01
2. APONTE O VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE UNIFORME FINITA, IMEDIATA E ANTECIPADA COM 10
PAGAMENTOS MENSAIS DE R$50 A UMA TAXA DEJUROS DE 1% A.M.
A) 464,24
B) 478,30
C) 474,50
D) 481,01
3. DIGA O VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE UNIFORME FINITA, POSTECIPADA E DIFERIDA DE DOIS PERÍODOS
COM 10 PAGAMENTOS MENSAIS DE R$50 A UMA TAXA DE JUROS DE 1% A.M.
A) 464,24
B) 471,12
C) 472,54
D) 479,01
4. . QUAL É O VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE UNIFORME FINITA, POSTECIPADA E DIFERIDA DE UM PERÍODO
COM 20 PAGAMENTOS MENSAIS DE R$ 200 A UMA TAXA DE JUROS DE 3%A.M.?
A) R$2975,49
B) R$2888,83
C) R$4000,00
D) R$2804,69
5. QUAL O VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE UNIFORME INFINITA COM PAGAMENTOS MENSAIS ILIMITADOS DE
R$50 A UMA TAXA DE JUROS DE 1,25% A.M.?
A) 4.115,28
B) 3.998.17
C) 4.100,00
D) 4.000,00
6. CONSIDERE UMA SÉRIE COM PAGAMENTOS MENSAIS ILIMITADOS. A TAXA DE JUROS É DE 1% AO MÊS,
ENQUANTO O VALOR PRESENTE É DE R$4.000,00. INDIQUE O VALOR DO PAGAMENTO MENSAL.
A) 40,00
B) 41,12
C) 42,52
D) 49,31
GABARITO
1. Indique o valor presente de uma série uniforme finita, imediata e postecipada com 10 pagamentos mensais de R$50 a uma taxa de juros de
1% a.m.
A alternativa "A " está correta.
Temos o seguinte fluxo:
Usando a fórmula do valor presente, vemos que:
VP=P×(1+I)N-1I×(1+I)N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
VP=50×(1+1%)10-1I×(1+1%)10=473,57
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Na HP 12C:
CLX +G + END + 50 + CHS + PMT + 10 + N + 1 + I + PV
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
!-- Fómula Matemática -->
CLX +G + END + 50 + CHS + PMT + 10 + N + 1 + I + PV
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
No Excel:
= VP(1%;10;-50) 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
2. Aponte o valor presente de uma série uniforme finita, imediata e antecipada com 10 pagamentos mensais de R$50 a uma taxa de juros de
1% a.m.
A alternativa "B " está correta.
Temos o seguinte fluxo:
Podemos calcular o valor presente dessa série imaginando-a como uma postecipada de nove pagamentos (fluxos em verde) mais um pagamento de
R$50 no instante inicial (fluxo em vermelho):
VP=50+50×(1+1%)9-1I×(1+1%)9=478,30
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Na HP 12C:
CLX +G + BEG + 50 + CHS + PMT + 10 + N + 1 + I + PV
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
As teclas g + BEG indicam para a calculadora que se trata de uma antecipada.
No Excel:
= VP(1%;10;-50;;1.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
O “1” no final da fórmula informa ao Excel se tratar de uma antecipada.
3. Diga o valor presente de uma série uniforme finita, postecipada e diferida de dois períodos com 10 pagamentos mensais de R$50 a uma
taxa de juros de 1% a.m.
A alternativa "A " está correta.
Temos o seguinte fluxo:
Usando a fórmula do valor presente, achamos um fluxo único no instante 2, que equivale ao da figura acima:
VPT=2=P×(1+I)N-1I×(1+I)N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
VPT=2=50×(1+1%)10-1I×(1+1%)10=473,57
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Trazendo esse valor para o instante 0, temos:
VP=VPT=2(1+I)2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Na HP 12C:
CLX +G + END + 50 + CHS + PMT + 10 + N + 1 + I + PV
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Esse procedimento fornece o valor de 473,57. Para obter o valor presente, fazemos outro cálculo:
CHS + FV + 2 + N + 0 + PMT + PV
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
473,57 +CHS + FV + 2 + N + 1 + PV=464,24
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
O “2” indica que a série é diferida de dois períodos.
No Excel:
=VP(1%;2;0;-VP(1%;10;-50))
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
A função VP dentro dos parênteses calcula o valor presente da série no instante 2. A segunda função VP traz esse valor para o 0.
4. . Qual é o valor presente de uma série uniforme finita, postecipada e diferida de um período com 20 pagamentos mensais de R$ 200 a uma
taxa de juros de 3%a.m.?
A alternativa "B " está correta.
Usando a fórmula do valor presente, achamos um fluxo único no inicio do instante 2:
VPT=2=P*[(1+I)N-1]/[I*(1+I)N] 
VPT=2=200*[(1+3%)20-1]/[3%*(1+3%)20]= 
VPT = 2 = 2975,49 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Trazendo esse valor do inicio do instante 2 para o instante 0, so precisamos descontar um período:
VP = VPT=2 / 1 + I 
VP = 2975,49 / 1 + 3% 
VP = 2.888,83 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Na HP 12C:
CLX + G + BEG + 200 + CHS + PMT + 20 + N + 1 + 3% + PV
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Esse procedimento fornece o valor de 2975,49 . Para trazermos o valor presente, faremos o seguinte cálculo:
CHS + FV + 1 + N + 0 + PMT + PV
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
O “1” indica que a série é diferida de um período.
No Excel:
=VP(3%,1,VP(3%,20,200))
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
A função VP dentro dos parênteses calcula o valor presente da série no instante 2. A segunda função VP traz esse valor para o 0.
5. Qual o valor presente de uma série uniforme infinita com pagamentos mensais ilimitados de R$50 a uma taxa de juros de 1,25% a.m.?
A alternativa "D " está correta.
Usando a fórmula para perpetuidades, temos:
VP=PI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
VP=501,25%=4.000 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Ou seja, o valor presente é de R$4.000,00.
6. Considere uma série com pagamentos mensais ilimitados. A taxa de juros é de 1% ao mês, enquanto o valor presente é de R$4.000,00.
Indique o valor do pagamento mensal.
A alternativa "A " está correta.
Reorganizando a fórmula para perpetuidades, temos:
VP=PI=>P=I×VP=1%×4.000=40
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Ou seja, o pagamento mensal é de R$40,00.
Na fómula acima, A seta ‘=>’ representa uma implicação: “se chove, então molha” pode ser representado como “chove => molha” ou “chover implica
molhar”.
Observaremos, por fim, um exemplo de cálculo de taxa de juros.
 EXEMPLO
Após poupar parte de sua renda por anos, João conseguiu juntar R$50.000,00. Ele pensa em colocar seu dinheiro em uma aplicação financeira que
renda 0,5% ao mês. Um amigo, porém, garante que ele pode comprar, com essa quantia, uma perpetuidade que paga R$200 mensais, o que seria
mais vantajoso.
João fica confuso, pois não conhece termos técnicos e não sabe o que é uma perpetuidade. Agora que acabou de estudar este módulo, você pode
ajudá-lo.
Para isso, basta aplicar a fórmula da perpetuidade ligeiramente reorganizada para o cálculo da taxa de juros da perpetuidade:
VP=PI=>I=PVP=20050.000=0,4%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Ou seja, a perpetuidade gera um retorno de apenas 0,4%, índice inferior ao 0,5% que João pode obter com a aplicação financeira.
Para reforçar seu aprendizado, assista a este vídeo, pois ele apresenta apontamentos importantes sobre as questões apresentadas.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CALCULE O VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORME, IMEDIATA E POSTECIPADA QUE É
COMPOSTA DE CINCO PARCELA MENSAIS DE R$20.000 E UMA TAXA DE JUROS DE 5% A.M. PARA ISSO, UTILIZE
A5¬5%= 4,329476
A) 85.000,00
B) 84.577,20
C) 86.589,52
D) 44.993,22
2. CALCULE O VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORME INFINITA IMEDIATA E
POSTECIPADA QUE SEJA COMPOSTA DE PAGAMENTOS MENSAIS PERPÉTUOS IGUAIS A R$20.000 COM UMA
TAXA DE JUROS DE 5% A.M.
A) 400.000,00B) 424.855,34
C) 253.232,94
D) 384.739,52
GABARITO
1. Calcule o valor presente de uma série de pagamentos uniforme, imediata e postecipada que é composta de cinco parcela mensais de
R$20.000 e uma taxa de juros de 5% a.m. Para isso, utilize a5¬5%= 4,329476
A alternativa "C " está correta.
 
VP=P×AN¬I=20.000×A5¬5%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
VP=20.000×4,329576=86.589,52
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
2. Calcule o valor presente de uma série de pagamentos uniforme infinita imediata e postecipada que seja composta de pagamentos
mensais perpétuos iguais a R$20.000 com uma taxa de juros de 5% a.m.
A alternativa "A " está correta.
 
A fórmula do valor presente é VP=P/i:
VP=PI=20.0005%=400.000,00
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
VP=20.000×4,329576=86.589,52
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
MÓDULO 2
 Identificar as relações entre juros e amortização no sistema de amortização francês (Price)
INTRODUÇÃO
Neste módulo, discorreremos sobre o sistema de amortização de dívidas mais utilizado atualmente: o Price (ou francês). Ele prevê pagamentos
uniformes até a extinção do saldo devedor. Veremos a seguir como eles ocorrem.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (PRICE)
 Fonte: Shutterstock.
Quando alguém toma um empréstimo em um banco, o valor recebido é chamado de principal. Para quitar a dívida, é necessário lhe devolver o
principal mais os juros da operação. A maneira como são estruturados os pagamentos de ambos é conhecida como um sistema de amortização de
dívidas.
Um dos sistemas mais conhecidos e utilizados para isso é o francês (ou Price). Nele, todas as parcelas de pagamento são iguais, formando uma série
uniforme finita. O fluxo de caixa do tomador de empréstimo, portanto, teria a seguinte forma:
 
Fonte: O autor.
No instante inicial, quem pegou o empréstimo recebe o principal, passando a efetuar pagamentos uniformes a partir do próximo período até quitar toda
a dívida.
Como o principal deve ser equivalente ao valor presente do fluxo de pagamentos, nós, lembrando as séries uniformes finitas, aplicaremos a seguinte
fórmula:
PRINCIPAL=PMT×(1+I)N-1I×(1+I)N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Com ela, poderemos calcular o valor dos pagamentos periódicos:
PMT=PRINCIPAL×I×(1+I)N(1+I)N-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Note que o termo a multiplicar o principal na fórmula acima é o inverso do fator de acumulação de capital de uma série finita:
PMT=PRINCIPAL×1AN¬I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
 EXEMPLO
João comprou um imóvel: na compra, ele financiou R$ 100.000 no sistema Price a serem quitados em 50 parcelas mensais com uma taxa de 1% a.m.
Considerando a50¬1%=39,1961, calcule o valor das prestações mensais que ele deverá pagar.
Para isso, podemos utilizar a fórmula que acabamos de estudar:
PMT=PRINCIPAL×1AN¬I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PMT=100.000×139,1961=2.551,27 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
João, assim, vai ter de pagar 50 prestações de R$2.551,27 para quitar seu financiamento de R$100.000,00. Se somarmos os valores de todos os
pagamentos realizados por ele, teremos o seguinte resultado:
50×2.551,27=127.563,50
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Vemos então que João, além de pagar o valor do principal correspondente a R$100.000,00, ainda vai precisar desembolsar mais R$27.563,50 a título
de juros.
VEJAMOS AGORA COMO OS PAGAMENTOS DE JUROS E DO PRINCIPAL SE
DISTRIBUEM ENTRE AS PRESTAÇÕES. PARA ISSO, VOLTAREMOS AO
EXEMPLO DE JOÃO.
No instante inicial, ele recebeu os R$100.000,00, passando a ter um saldo devedor do mesmo valor com o banco. Após um mês, um juro de 1% passa
a incidir sobre essa quantia. Desse modo, João passa a dever:
100.000×(1+1%)=101.000,00
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Neste momento, ele paga a primeira parcela de R$2.551,27; assim, seu saldo devedor ao final do primeiro período passa a ser de:
SD1=101.000-2.551,27=98.448,73
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Observe que João pagou os juros de R$1.000,00 relativos ao primeiro período e ainda teve de gastar mais R$1.551,27, o que reduziu seu saldo
devedor de R$100.000,00 no instante inicial para R$98.448,73 no final do primeiro período. Dessa forma, ele amortizou sua dívida.
Podemos resumir essa situação na tabela a seguir:
Período 
n
Parcela 
Pmt
Juros 
Jn=SDn-1×i
Amortização
An=Pmt-Jn
Saldo devedor ao final do período 
SDn=SDn-1-An
0 - - - 100.000
1 2.557,27 1.000 1.551,27 98.448,73
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela.
No segundo período, os juros passam a incidir sobre o saldo devedor do período anterior:
J2=98.448,73×1%=984,49
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
A amortização relativa a esse período será a diferença entre a parcela e os juros:
A2=PMT-J2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
A2=2.551,27-984,49=1.566,78
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Isso vai ocorrer da mesma forma nos períodos seguintes. Confira esta tabela:
Período 
n
Parcela 
Pmt
Juros 
Jn=SDn-1×i
Amortização
An=Pmt-Jn
Saldo devedor ao final do período 
SDn=SDn-1-An
0 - - - 100.000
1 2.551,27 1.000 1.551,27 98.448,73
2 2.551,27 984,49 1.566,78 96.881,95
3 2.551,27 968,81 1.582,46 ...
... ... ... ... 2.526,01
50 2.551,27 25,26 2.526,01 0
Total 127.563,50 27.563,50 100.000
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela.
Note a trajetória tanto dos valores pagos a título de juros quanto dos pagos de amortização. Os juros são decrescentes, pois a base sobre a qual o
saldo devedor do período anterior é calculado vai sendo reduzida ao longo do tempo.
Por outro lado, os valores de amortização vão aumentando: eles são cada vez mais predominantes no valor total das prestações, as quais, aliás, são
todas iguais. Ou seja, a cada prestação, o devedor paga menos juros e mais amortização, mantendo a parcela constante.
Podemos resumir esse comportamento relativo aos juros e às amortizações no gráfico a seguir em que cada barra vertical corresponde a uma
prestação:
 
Fonte: O autor.
 Fonte: Shutterstock.
MÃO NA MASSA
1. APONTE O VALOR DA PRESTAÇÃO MENSAL NO SISTEMA PRICE DE UM FINANCIAMENTO DE R$20.000 EM 24
PARCELAS COM UMA TAXA DE 2% A.M.
A) 998,47
B) 1.200,13
C) 1.057,42
D) 1.012,17
2. INDIQUE O VALOR DA PRESTAÇÃO MENSAL NO SISTEMA PRICE DE UM FINANCIAMENTO DE R$20.000 EM
CINCO PARCELAS COM UMA TAXA DE 2% A.M.
A) 4.243,17
B) 4.227,20
C) 4.237,17
D) 4.100,00
3. NO EXERCÍCIO ANTERIOR, QUAL É O VALOR DOS JUROS REFERENTES AO PRIMEIRO PERÍODO?
A) 395,12
B) 400,00
C) 420,00
D) 430,00
4. AINDA SOBRE O MESMO EXERCÍCIO, APONTE AGORA O VALOR DA AMORTIZAÇÃO REFERENTE AO PRIMEIRO
PERÍODO.
A) 3.843,17
B) 3.843,25
C) 3.950,00
D) 3.800,98
5. QUAL É O SALDO DEVEDOR NO PENÚLTIMO PERÍODO, LEVANDO EM CONSIDERAÇÃO OS DADOS DO
EXERCÍCIO ANTERIOR?
A) 4.253,20
B) 4.100,00
C) 4.200,00
D) 4.159,97
6. CONSIDERANDO OS DADOS DO EXERCÍCIO ANTERIOR, QUAL SERÁ O VALOR DA ÚLTIMA AMORTIZAÇÃO?
A) 4.000,20
B) 4.100,00
C) 4.150,00
D) 4.159,97
GABARITO
1. Aponte o valor da prestação mensal no sistema Price de um financiamento de R$20.000 em 24 parcelas com uma taxa de 2% a.m.
A alternativa "C " está correta.
A fórmula que oferece o valor da prestação é:
PMT=PRINCIPAL×I×(1+I)N(1+I)N-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PMT=20.000×2%×(1+2%)24(1+2%)24-1Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PMT=1.057,42 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
2. Indique o valor da prestação mensal no sistema Price de um financiamento de R$20.000 em cinco parcelas com uma taxa de 2% a.m.
A alternativa "A " está correta.
A fórmula que nos dá o valor da prestação é:
PMT=PRINCIPAL×I×(1+I)N(1+I)N-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PMT=20.000×2%×(1+2%)5(1+2%)5-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PMT=4.243,17
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
3. No exercício anterior, qual é o valor dos juros referentes ao primeiro período?
A alternativa "B " está correta.
Os juros do primeiro período incidem sobre o principal. Assim,
J1=SD0×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
J1=20.000×2%=R$400
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
4. Ainda sobre o mesmo exercício, aponte agora o valor da amortização referente ao primeiro período.
A alternativa "A " está correta.
A amortização é dada pela diferença entre o valor da parcela e os juros pagos:
A1=PMT-J1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
A1=4.243,17-400=3.843,17
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
5. Qual é o saldo devedor no penúltimo período, levando em consideração os dados do exercício anterior?
A alternativa "D " está correta.
Ao final do penúltimo período, só restará um pagamento a ser realizado em um mês. O valor do saldo devedor será, então, o valor presente desse
último pagamento calculado ao final do penúltimo período.
SD4=PMT1+I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
SD4=4.243,171+2%=4.159,97
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
6. Considerando os dados do exercício anterior, qual será o valor da última amortização?
A alternativa "D " está correta.
A última amortização é necessariamente igual ao saldo devedor do penúltimo período, pois, após ela, o saldo devedor final deve ser igual a zero.
A5=SD4=PMT1+I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
A5=4.243,171+2%=4.159,97
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
VEJAMOS, POR FIM, UM EXEMPLO DA APLICAÇÃO DO PRICE NA COMPRA
DE UM CARRO NOVO.
Maria resolveu comprar um automóvel, mas precisa financiar R$30.000, a uma taxa de 0,8% a.m., ao longo de 30 meses. Ela explicou a você que
necessita de parcelas constantes para planejar seu orçamento. Mas Maria está preocupada: quanto vai pagar a título de juros, ou seja, além dos
R$30.000?
Você já consegue ajudá-la após estudar este módulo. Em primeiro lugar, é preciso computar a prestação mensal:
PMT=PRINCIPAL×1AN¬I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Para isso, você calcula inicialmente a fração:
1/AN¬I=I×(1+I)N(1+I)N-1=126,577
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Com isso, agora já consegue calcular as prestações:
PMT=30.000×126,577=1.128,77 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Eis a informação que Maria desejava: ela pagará 30 prestações de R$1.128,77. Somando todas as parcelas, obtemos:
50×1.128,77=33.863,13
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Portanto, ela vai ter de arcar com R$3.863,13 a título de juros.
Para reforçar seu aprendizado, assista a este vídeo, pois ele apresenta apontamentos importantes sobre as questões apresentadas.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE CORRESPONDE AO SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES FRANCÊS.
A) As amortizações pagas em cada parcela são constantes.
B) Os juros pagos em cada prestação são crescentes.
C) Todas as parcelas são iguais.
D) As amortizações pagas em cada parcela são decrescentes.
2. O SALDO DEVEDOR DE UM FINANCIAMENTO PELO SISTEMA PRICE, AO FINAL DE UM DETERMINADO PERÍODO,
É DE R$12.545,00. SABENDO QUE OS JUROS PAGOS NO PERÍODO SEGUINTE SERÃO DE R$225,81, DETERMINE A
TAXA DE JUROS QUE SERÁ UTILIZADA.
A) 1,8%
B) 2%
C) 1,5%
D) 1%
GABARITO
1. Assinale a alternativa que corresponde ao sistema de amortizações francês.
A alternativa "C " está correta.
 
Essa igualdade é a principal característica do sistema francês. No Price, as amortizações são crescentes; os juros pagos, decrescentes. A letra a se
refere a um tópico do sistema de amortizações constantes.
2. O saldo devedor de um financiamento pelo sistema Price, ao final de um determinado período, é de R$12.545,00. Sabendo que os juros
pagos no período seguinte serão de R$225,81, determine a taxa de juros que será utilizada.
A alternativa "A " está correta.
 
Lembre-se de que os juros de cada período são calculados com a aplicação da taxa de juros ao saldo devedor do período anterior: Jn=SDn-1×i.
JN=SDN-1×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
225,81=12.545,00×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
I=225,8112.545,00=0,018
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
I=1,8% 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
MÓDULO 3
 Definir as relações entre juros e amortização no Sistema de Amortização Constante (SAC)
INTRODUÇÃO
Neste módulo, conheceremos outro sistema de amortização de dívidas muito importante: o Sistema de Amortizações Constantes (SAC).
Salientaremos que a grande vantagem dele em relação ao Price é que o SAC exige menos pagamentos de juros, ainda que os valores iniciais das
parcelas possam ser bastante elevados.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES (SAC)
 Fonte: Shutterstock.
Ao contrário do Price, os pagamentos no SAC não são constantes. Como o próprio nome diz, os valores de suas amortizações é que o são.
 EXEMPLO
Como o principal de um empréstimo, ao final de n períodos, deverá ser totalmente amortizado, serão necessárias n parcelas de amortização iguais
para quitar a dívida.
Com isso, podemos calcular o valor de cada amortização dividindo o principal pela quantidade de períodos dela:
A=PRINCIPALN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Esta fórmula constitui, portanto, o valor da amortização em todos os períodos. Também podemos escrever que:
PRINCIPAL=A×N
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Os juros do primeiro período incidem sobre o valor do principal, sendo iguais a:
J1=PRINCIPAL×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
A primeira prestação, por sua vez, será dada pelo seguinte cálculo:
P1=A+J1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Ao final do primeiro período, o saldo devedor terá sido amortizado em A, sendo igual a:
SD1=PRINCIPAL-A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
SD1=A×N-A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
SD1=A×(N-1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Os juros do segundo período então serão os seguintes:
J2=SD1×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
J2=A×(N-1)×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Já a segunda prestação será dada por:
P2=A+J2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Podemos continuar na elaboração desse raciocínio até chegarmos à última prestação. Analisaremos, portanto, a tabela a seguir:
Período 
N
Amortização
Juros 
Jn=SDn-1×i
Parcela 
Pmt = A + Jn
Saldo devedor ao final do período 
SDn
0 - - - n×A
1 A n×A×i A+n×A×i(n-1)×A
2 A (n-1)×A×i A+(n-1)×A×i (n-2)×A
3 A (n-2)×A×i A+(n-2)×A×i ...
... ... ... ... (n-k)×A
k A (n-k)×A×i A+(n-k)×A×i ...
... ... ... ... (n-1)×A
n A A×i A+A×i 0
Total n×A A×i×n×(n+1)2 n×A+A×i×n×(n+1)2 -
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela.
VERIFICAREMOS AGORA OUTRO EXEMPLO RELATIVO AO SAC.
João comprou um imóvel. Na compra, ele financiou R$100.000 no sistema SAC a serem pagos em 50 parcelas mensais com uma taxa de 1% a.m.
Calcule o valor da primeira e da última parcela que ele irá pagar.
As amortizações serão todas iguais a:
A=PRINCIPALN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
A=100.00050=2.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Os juros relativos ao primeiro período incidiram sobre o principal. Desse modo:
J1=PRINCIPAL×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
J1=100.000×1%=1.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Assim, a primeira parcela será igual a:
P1=A+J1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
P1=2.000+1.000=3.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Para calcular a última parcela, P50, lembre-se de que os primeiros 49 pagamentos já terão sido amortizados:
49×A=49×2.000=98.000
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Ainda falta ocorrer a amortização de:
100.000-98.000=2.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Este valor é o saldo devedor após o penúltimo período. Com isso, temos:
J50=SD49×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
J50=2.000×1%=20
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Logo, a última parcela será igual a:
P50=A+J50
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
P50=2.000+20=2.020
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Esta tabela resume o exemplo apresentado:
Período 
n
Amortização
Juros 
Jn=SDn-1×i
Parcela 
Pmt = A + J
Saldo devedor final
0 100.000
1 2.000 1.000 3.000 98.000
2 2.000 980 2.980 96.000
3 2.000 960 2.960 94.000
... ... ... ... ...
49 2.000 40 2.040 2.000
50 2.000 20 2.020 0
Total 100.000 25.500 125.500
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Tabela.
Vimos que, no sistema Price, esse mesmo financiamento resultou em juros totais no valor de R$27.563,50. Já no SAC, eles totalizaram R$25.500,00,
tendo um valor, portanto, inferior ao do sistema Price.
ESTA É A GRANDE VANTAGEM DO SAC: SUA APLICAÇÃO IMPLICA JUROS
TOTAIS MENORES QUE OS DO PRICE.
Por outro lado, a primeira prestação no SAC foi de R$3.000,00, valor superior aos R$2.557,21 do Price. Também podemos notar que, no sistema SAC,
tanto as prestações quanto os juros são decrescentes. Notemos a figura a seguir:
 
Fonte: O autor.
 Fonte: Shutterstock.
MÃO NA MASSA
1. QUAL É O VALOR DA PRIMEIRA PRESTAÇÃO MENSAL NO SISTEMA SAC DE UM FINANCIAMENTO DE R$ 20.000
EM CINCO PARCELAS E UMA TAXA DE 2% A.M.?
A) 4.400,00
B) 4.300,00
C) 4.200,00
D) 4.100,00
2. INFORME O VALOR DA ÚLTIMA PARCELA DO EXERCÍCIO ANTERIOR.
A) 4.250,00
B) 4.080,00
C) 4.180,00
D) 4.000,20
3. AINDA NO MESMO EXERCÍCIO, DIGA QUAL É O VALOR DA TERCEIRA PRESTAÇÃO.
A) 4.240,00
B) 4.150,00
C) 4.200,00
D) 4.360,00
4. QUAL É O VALOR DA TAXA DE JUROS DO SAC DE UM FINANCIAMENTO DE R$20.000 EM CINCO PARCELAS
(SABENDO QUE A PRIMEIRA DELAS É DE R4.200,00)?
A) 1%
B) 2%
C) 0,8%
D) 1,5%
5. QUAL É O VALOR DA ÚLTIMA PARCELA DO EXERCÍCIO ANTERIOR?
A) 4.200,20
B) 4.000,00
C) 4.160,00
D) 4.040,00
6. AINDA NO MESMO EXERCÍCIO, QUAL É O VALOR DA SEGUNDA PRESTAÇÃO?
A) 4.250,00
B) 4.160,00
C) 4.200,00
D) 4.300,00
GABARITO
1. Qual é o valor da primeira prestação mensal no sistema SAC de um financiamento de R$ 20.000 em cinco parcelas e uma taxa de 2% a.m.?
A alternativa "A " está correta.
As amortizações serão todas iguais a:
A=PRINCIPALN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
A=20.0005=4.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Os juros da primeira parcela serão de:
J1=20.000×2%=400
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
A primeira parcela, portanto, será esta:
P1=A+J1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
P1=4.000+400=4.400
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
2. Informe o valor da última parcela do exercício anterior.
A alternativa "B " está correta.
Após o pagamento da quarta parcela, já terá sido amortizado o seguinte valor:
4×A=16.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
O saldo devedor será de:
SD4=20.000-16.000=4.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Os juros da última parcela, por sua vez, serão de:
J5=SD4×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
J5=4.000×2%=80
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Já última parcela será igual a:
P5=A+J5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
P5=4.000+80=4.080
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
3. Ainda no mesmo exercício, diga qual é o valor da terceira prestação.
A alternativa "A " está correta.
Após o pagamento da segunda parcela, já terão sido amortizados:
2×A=8.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
O saldo devedor será de:
SD4=20.000-8.000=12.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Os juros da terceira parcela serão de:
J3=12.000×2%=240
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Já a terceira parcela será igual a:
P3=A+J3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
P3=4.000+240=4.240
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
4. Qual é o valor da taxa de juros do SAC de um financiamento de R$20.000 em cinco parcelas (sabendo que a primeira delas é de
R4.200,00)?
A alternativa "A " está correta.
As amortizações serão todas iguais a:
A=PRINCIPALN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
A=20.0005=4.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Decomposta abaixo em amortização e juros, a primeira parcela é dada no enunciado:
P1=A+J1=4.200
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Logo, os juros da primeira parcela são:
J1=P1-A=4.200-4.000=200
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
A taxa de juros é tal que:
J1=20.000×I%=200
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Logo, ela é:
I=20020.000=0,01
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Ou seja, a taxa de juros é de 1% ao mês.
5. Qual é o valor da última parcela do exercício anterior?
A alternativa "D " está correta.
Após o pagamento da quarta parcela, já terão sido amortizados:
4×A=16.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
O saldo devedor será de:
SD4=20.000-16.000=4.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Os juros da última parcela serão de:
J5=SD4×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
J5=4.000×1%=40
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Já a última parcela será igual a:
P5=A+J5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize arolagem horizontal.
P5=4.000+40=4.040
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
6. Ainda no mesmo exercício, qual é o valor da segunda prestação?
A alternativa "B " está correta.
Após o pagamento da primeira parcela, já terão sido amortizados:
1×A=4.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
O saldo devedor será de:
SD4=20.000-4.000=16.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Os juros da terceira parcela serão de:
J3=16.000×1%=160
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Já a segunda parcela será igual a:
P2=A+J2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
P2=4.000+160=4.160
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
ENCERRAREMOS ESTE MÓDULO COM MAIS UM EXEMPLO DO SISTEMA
SAC.
Maria pretende reformar sua casa por um valor de R$40.000, mas precisa de um financiamento para isso. Ela tem um bom emprego hoje, porém não
tem certeza se conseguirá mantê-lo por muitos anos; além disso, ela gostaria de lidar com parcelas decrescentes ao longo do tempo.
Após estudar este módulo, você vai lhe explicar que o sistema SAC pode ser aplicado neste caso. Maria então pedirá para você calcular o valor da
última parcela para ela conseguir avaliar se o gasto ainda caberá no seu orçamento. O pagamento será realizado em 20 parcelas mensais com uma
taxa de juros é de 1,2% a.m.
Você já sabe que todas as amortizações serão iguais:
A=PRINCIPALN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
A=40.00020=2.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Para calcular a última parcela, basta lembrar que já foram realizados antes 19 pagamentos com uma amortização total de:
19×A=19×2.000=38.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Resta ainda este valor:
40.000-38.000=2.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
O valor indicado acima é o saldo devedor após o penúltimo período. Os juros do último período incidem sobre esse saldo; com esses dados, podemos
enfim calcular seu valor, multiplicando-o pela taxa de juros: 2.000×1,2%=24.
A última parcela, portanto, será igual ao valor amortizado mais os juros: 2.000+24=R$2.024,00.
Feliz, Maria informa que esse valor cabe no seu orçamento – ainda que ela enfrente uma redução de renda. Resultado: após lhe agradecer, ela já
pode se preparar para fazer a reforma na casa!
Para reforçar seu aprendizado, assista a este vídeo, pois ele apresenta apontamentos importantes sobre as questões apresentadas.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. ASSINALE A ALTERNATIVA QUE CORRESPONDE AO SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES (SAC).
A) As amortizações pagas em cada parcela são constantes.
B) Os juros pagos em cada prestação são crescentes.
C) Todas as parcelas são iguais.
D) As amortizações pagas em cada parcela são decrescentes.
2. A PRIMEIRA PRESTAÇÃO DE UM FINANCIAMENTO NO SISTEMA SAC COM PRAZO DE 10 MESES E TAXA DE
JUROS DE 1% A.M. É IGUAL R$1.100. QUAL É O VALOR DO PRINCIPAL?
A) 9.800
B) 10.100
C) 10.000
D) 11.000
GABARITO
1. Assinale a alternativa que corresponde ao Sistema de Amortizações Constantes (SAC).
A alternativa "A " está correta.
 
Os juros pagos no sistema SAC são decrescentes. A letra c trata da principal característica do sistema francês. As amortizações, por sua vez, são
constantes no sistema SAC.
2. A primeira prestação de um financiamento no sistema SAC com prazo de 10 meses e taxa de juros de 1% a.m. é igual R$1.100. Qual é o
valor do principal?
A alternativa "C " está correta.
 
Os juros de cada período são calculados aplicando-se a taxa de juros ao saldo devedor do período anterior: n-1
A primeira prestação, portanto, será dada por:
P1=A+J1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Sabemos que:
A=PRINCIPALNEJ1=PRINCIPAL×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Logo:
P1=PRINCIPALN+PRINCIPAL×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
1.100=PRINCIPAL10+PRINCIPAL×1%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
1.100=0,10×PRINCIPAL+0,01×PRINCIPAL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
0,11×PRINCIPAL=1.110
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PRINCIPAL=1.1000,11=10.000 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
MÓDULO 4
 Reconhecer outros sistemas de amortização usualmente utilizados
INTRODUÇÃO
Neste módulo, apresentaremos dois importantes sistemas de amortização:
Misto (SAM);
Americano.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES MISTO (SAM)
 Fonte: Shutterstock.
Normalmente utilizado em financiamentos do Sistema Financeiro de Habitação (SFH), o SAM busca combinar os sistemas SAC e Price (ou francês).
Ele é estruturado para que suas parcelas periódicas sejam iguais à média aritmética de dois sistemas de amortização: o francês (SAF) e o SAC.
PSAM=PSAC+PSAF2
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Na prática, o SAM divide o principal em duas partes iguais e aplica a cada uma delas um dos dois sistemas. Metade usa o SAC; a outra, o SAF. Uma
das vantagens na utilização do SAM é que ele possui juros totais menores que os do Price, ainda que não conte com parcelas iniciais tão altas como
as do SAC.
TER PARCELAS INICIAIS MUITO ALTAS É RUIM, POIS, NORMALMENTE, OS
PROJETOS AOS QUAIS SE DESTINAM O FINANCIAMENTO SÓ COMEÇAM A
GERAR RETORNOS UM CERTO TEMPO APÓS O INVESTIMENTO INICIAL.
ISSO PODE DIFICULTAR O PAGAMENTO DA DÍVIDA NOS CASOS EM QUE AS
PARCELAS INICIAIS SÃO MUITO RELEVANTES.
Quanto à definição do SAM, já podemos elencar quatro características:
Parcelas decrescentes: Como as relativas ao SAF são constantes e as relativas ao SAC, decrescentes, o SAM também conta com parcelas
decrescentes, pois ele é a média dos dois;
Juros menores que os do SAF e maiores que os do SAC: Como os juros no SAM são iguais à média aritmética dos juros nos dois sistemas,
eles ficam maiores que os do SAC e menores que os do SAF;
Parcelas iniciais: Menores que as do SAC e maiores que as do SAF;
Parcelas finais: Maiores que as do SAC e menores que as do SAF.
Essas características estarão mais evidentes na figura a seguir se fizermos uma comparação das parcelas de cada um dos três sistemas de
amortização com o exemplo estudado anteriormente:
 
Fonte: O autor.
SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES AMERICANO
O sistema americano prevê a amortização integral do principal no último período do financiamento. Este tipo de estrutura de amortização é muito
comum nos títulos públicos e instrumentos de dívida corporativa.
 EXEMPLO
Notas do Tesouro Nacional pré-fixadas (NTN-F) e debêntures.
Já nos períodos intermediários, conforme ilustra a figura abaixo, apenas os juros do sistema americano são pagos:
 
Fonte: O autor.
Os juros em cada período sempre são calculados aplicando-se a taxa de juros ao principal:
J=PRINCIPAL×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Todas as parcelas intermediárias são iguais a J, enquanto a última parcela equivale à soma do principal com a última parcela de juros.
 Fonte: Shutterstock.
MÃO NA MASSA
1. CALCULE O VALOR DA PRIMEIRA PRESTAÇÃO DE UM FINANCIAMENTO ESTRUTURADO NO SISTEMA DE
AMORTIZAÇÕES MISTO (SAM) CONSIDERANDO UM PRINCIPAL DE R$20.000, UM PRAZO DE 20 MESES E UMA
TAXA DE JUROS DE 1% A.M.
A) 1.154,16
B) 1.156,12
C) 1.212,90
D) 1.159,01
2. CALCULE O VALOR DA PRIMEIRA PRESTAÇÃO DE UM FINANCIAMENTO ESTRUTURADO NO SAM
CONSIDERANDO UM PRINCIPAL DE R$20.000, UM PRAZO DE 20 MESES E UMA TAXA DE JUROS DE 1.5% A.M.
A) 1.258,30
B) 1.232,46
C) 1.200,07
D) 1.159,01
3. CALCULE O VALOR DA PRIMEIRA PRESTAÇÃO DE UMFINANCIAMENTO ESTRUTURADO NO SAM
CONSIDERANDO UM PRINCIPAL DE R$20.000, UM PRAZO DE 40 MESES E UMA TAXA DE JUROS DE 1% A.M.
A) 710,20
B) 700,00
C) 654,55
D) 712,00
4. CALCULE O VALOR DA PRIMEIRA PRESTAÇÃO DE UM FINANCIAMENTO ESTRUTURADO NO SAM
CONSIDERANDO UM PRINCIPAL DE R$100.000, UM PRAZO DE 120 MESES E UMA TAXA DE JUROS DE 0,5% A.M.
A) 1.200,80
B) 1.100,00
C) 1.300,00
D) 1.221,77
5. CALCULE O VALOR DA PRIMEIRA PRESTAÇÃO DE UM FINANCIAMENTO ESTRUTURADO NO SAM
CONSIDERANDO UM PRINCIPAL DE R$100.000, UM PRAZO DE 120 MESES E UMA TAXA DE JUROS DE 0,0001% A.M.
(CONFORME INDICA O NÚMERO, QUASE NÃO HÁ JUROS. VOCÊ, CONTUDO, DIFICILMENTE ENCONTRARÁ ALGO
DO TIPO NO MUNDO REAL.).
A) 833,38
B) 833,41
C) 833,43
D) 833,50
6. UMA DEBÊNTURE FOI EMITIDA NO SISTEMA AMERICANO COM O PRINCIPAL IGUAL A 100.000, UM PRAZO DE
CINCO ANOS E PAGAMENTOS DE JUROS SEMESTRAIS PERIÓDICOS DE 5% A.S. DESENHE O FLUXO DE CAIXA DE
UM INVESTIDOR QUE COMPRE ESSA DEBÊNTURE, INDICANDO, EM SEGUIDA, OS VALORES DE CADA ENTRADA E
SAÍDA DE CAIXA.
A) Gráfico correto (abaixo).
B) O valor sobre a última seta verde é R$100.000 (em vez de 105.000).
C) O valor sobre a penúltima seta verde é de R$100.000.
D) O valor sob a penúltima seta verde é 8 (em vez de 9).
GABARITO
1. Calcule o valor da primeira prestação de um financiamento estruturado no Sistema de Amortizações Misto (SAM) considerando um
principal de R$20.000, um prazo de 20 meses e uma taxa de juros de 1% a.m.
A alternativa "A " está correta.
Vamos calcular inicialmente o valor das prestações do SAF:
PSAF=PRINCIPAL×I×(1+I)N(1+I)N-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
SAF
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAF=1.108,31
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Agora calcularemos o valor da primeira prestação do SAC:
PSAC=A+J1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Sabemos que:
A=PRINCIPALN → J1=PRINCIPAL×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Logo:
PSAC=PRINCIPALN+PRINCIPAL×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAC=20.00020+20.000×1%=1.200 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Finalmente, podemos calcular o valor da primeira prestação do SAM:
PSAM=PSAF+PSAC2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAM=1.108,31+1.2002
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAM=1.154,16 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
2. Calcule o valor da primeira prestação de um financiamento estruturado no SAM considerando um principal de R$20.000, um prazo de 20
meses e uma taxa de juros de 1.5% a.m.
A alternativa "B " está correta.
Vamos calcular inicialmente o valor das prestações do SAF:
PSAF=PRINCIPAL×I×(1+I)N(1+I)N-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAF=20.000×1,5%×(1+1,5%)20(1+1,5%)20-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAF=1.164,91
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Agora calcularemos o valor da primeira prestação do SAC:
PSAC=A+J1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Sabemos que:
A=PRINCIPALN→J1=PRINCIPAL×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Logo:
PSAC=PRINCIPALN+PRINCIPAL×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAC=20.00020+20.000×1,5%=1.300
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Finalmente podemos calcular o valor da primeira prestação do SAM:
PSAM=PSAF+PSAC2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAM=1.164,91+1.3002
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAM=1.232,46
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Atenção: Compare seu resultado com o do exercício anterior para verificar o impacto causado pelo aumento da taxa de juros em apenas 0,5%.
3. Calcule o valor da primeira prestação de um financiamento estruturado no SAM considerando um principal de R$20.000, um prazo de 40
meses e uma taxa de juros de 1% a.m.
A alternativa "C " está correta.
Vamos calcular inicialmente o valor das prestações do SAF:
PSAF=PRINCIPAL×I×(1+I)N(1+I)N-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAF=20.000×1%×(1+1%)40(1+1%)40-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAF=609,11
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Agora calcularemos o valor da primeira prestação do SAC:
PSAC=A+J1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Sabemos que:
A=PRINCIPALN→J1=PRINCIPAL×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Logo:
PSAC=PRINCIPALN+PRINCIPAL×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAC=20.00040+20.000×1%=700
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Finalmente, podemos calcular o valor da primeira prestação do SAM:
PSAM=PSAF+PSAC2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAM=609,11+7002
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAM=654,55
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
4. Calcule o valor da primeira prestação de um financiamento estruturado no SAM considerando um principal de R$100.000, um prazo de 120
meses e uma taxa de juros de 0,5% a.m.
A alternativa "D " está correta.
Vamos calcular inicialmente o valor das prestações do SAF:
PSAF=PRINCIPAL×I×(1+I)N(1+I)N-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAF=20.000×0,5%×(1+0,5%)120(1+0,5%)120-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAF=1.110,21
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Agora calcularemos o valor da primeira prestação do SAC:
PSAC=A+J1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Sabemos que:
A=PRINCIPALN→J1=PRINCIPAL×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Logo:
PSAC=PRINCIPALN+PRINCIPAL×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAC=100.000120+100.000×0,5%=1.333,33
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Finalmente, podemos calcular o valor da primeira prestação do SAM:
PSAM=PSAF+PSAC2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAM=1.110,21+1.333,222
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAM=1.221,77
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
5. Calcule o valor da primeira prestação de um financiamento estruturado no SAM considerando um principal de R$100.000, um prazo de 120
meses e uma taxa de juros de 0,0001% a.m. (Conforme indica o número, quase não há juros. Você, contudo, dificilmente encontrará algo do
tipo no mundo real.).
A alternativa "B " está correta.
Vamos calcular inicialmente o valor das prestações do SAF:
PSAF=PRINCIPAL×I×(1+I)N(1+I)N-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAF=100.000×0,01%×(1+0,01%)120(1+0,01%)120-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAF=833,38
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Agora calcularemos o valor da primeira prestação do SAC:
PSAC=A+J1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize arolagem horizontal.
Sabemos que:
A=PRINCIPALN→J1=PRINCIPAL×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Logo:
PSAC=PRINCIPALN+PRINCIPAL×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAC=100.000120+100.000×0,0001%=833,43
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Finalmente podemos calcular o valor da primeira prestação do SAM:
PSAM=PSAF+PSAC2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAM=833,38+833,432
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAM=833,41
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Dica: Este exercício ilustra um fato intuitivo: quando a taxa de juros é baixa, os dois componentes geram praticamente a mesma parcela. Ou seja, a
diferença entre os componentes do SAF e do SAC é gerada exatamente pela taxa de juros.
6. Uma debênture foi emitida no sistema americano com o principal igual a 100.000, um prazo de cinco anos e pagamentos de juros
semestrais periódicos de 5% a.s. Desenhe o fluxo de caixa de um investidor que compre essa debênture, indicando, em seguida, os valores
de cada entrada e saída de caixa.
A alternativa "A " está correta.
Os juros semestrais recebidos serão de:
J=PRINCIPAL×I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
J=100.000×5%=5.000 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
No instante inicial, o investidor paga R$100.000 pelo título, enquanto, no vencimento, ocorre o recebimento da última parcela de juros mais o principal.
Com isso, temos o seguinte fluxo de caixa:
Note que o prazo de cinco anos foi aberto em 10 semestres, uma vez que os juros são pagos semestralmente.
ENCERRAREMOS ESTE TEMA COM UM EXEMPLO DO SISTEMA DE
AMORTIZAÇÕES MISTO (SAM).
João comprou uma televisão nova mediante um parcelamento feito pelo sistema SAM, mas o folheto recebido com as condições gerais de
financiamento é confuso – algo, aliás, bastante frequente em documentos com informações sobre financiamentos!
Ele tem as seguintes informações: a terceira prestação de um financiamento pelo SAF é de R$1.500, enquanto, pelo SAC, a mesma prestação sai por
R$1.800. Qual é o valor da terceira parcela que João deverá pagar?
Confuso, ele pede sua ajuda. Após estudar este módulo, você explica que a prestação do SAM é dada pela média entre as prestações dos sistemas
SAC e SAF:
PSAM=(PSAF+PSAC)2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAM=1.500+1.8002=1.650
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
Para reforçar seu aprendizado, assista a este vídeo, pois ele apresenta apontamentos importantes sobre as questões apresentadas.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SE A TERCEIRA PRESTAÇÃO DE UM FINANCIAMENTO PELO SAF É DE R$1.300 E, PELO SAC, DE R$1.500, QUAL
SERIA O VALOR DELA SE O SISTEMA UTILIZADO FOSSE O SAM?
A) 1.300,00
B) 1.350,00
C) 1.400,00
D) 1.450,00
2. QUAL DAS SEGUINTES ALTERNATIVAS MELHOR DESCREVE O SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO?
A) Todos os pagamentos são iguais.
B) Todos os pagamentos são iguais, à exceção do último, que é composto de juros mais o principal.
C) Os juros são crescentes.
D) Os juros são decrescentes.
GABARITO
1. Se a terceira prestação de um financiamento pelo SAF é de R$1.300 e, pelo SAC, de R$1.500, qual seria o valor dela se o sistema utilizado
fosse o SAM?
A alternativa "C " está correta.
 
A prestação do SAM é dada pela média entre as prestações dos sistemas SAC e SAF:
PSAM=(PSAF+PSAC)2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
PSAM=1.300+1.5002=1.400
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.
2. Qual das seguintes alternativas melhor descreve o sistema de amortização americano?
A alternativa "B " está correta.
 
Os juros do período são calculados como J=Principal×i, mas ao último deles se soma também o principal. A letra a trata da característica do Price.
Temos juros decrescentes nos sistemas SAC, SAF e SAM. O sistema americano, por sua vez, possui juros constantes.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Estudamos neste tema os diferentes sistemas de amortização, que figuram na lista dos principais assuntos da Matemática Financeira. Afinal, trata-se
de um dos temas da área mais aplicados no mundo real. Você pode encontrá-los em diversas situações cotidianas: do financiamento de um imóvel à
compra parcelada de uma televisão nova, ou de uma aplicação financeira à análise do rendimento de títulos públicos.
Fique sempre atento às condições implícitas em um parcelamento: que sistema está sendo usado? As parcelas são constantes ou mudam ao longo do
tempo? Qual é a taxa de juros? Prestar atenção a essas questões é fundamental. Cada sistema analisado possui características particulares que
podem ser melhores ou piores para um determinado investidor ou consumidor. Fique atento!
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1998.
VIEIRA SOBRINHO, J. D. Matemática financeira. 6. ed. São Paulo: Atlas, 1997.
ZIMA, P. Fundamentos de matemática financeira. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1995.
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seu campo de pesquisa o nome "Paulo Vianna Jr.".
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CONTEUDISTA
Paulo Roberto Miller Fernandes Vianna Junior
 CURRÍCULO LATTES