aula28 GRAFICO DE UMA FUNÇÃO

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A U L A
O grÆfico de
uma funçªo
Freqüentemente vocŒ se depara com tabelas
e grÆficos, em jornais, revistas e empresas que tentam transmitir de forma
simples fatos do dia-a-dia. Fala-se em elevaçªo e queda da Bolsa de Valores, de
lucros de empresas, de inflaçªo, e apresenta-se um grÆfico. Fala-se tambØm em
mÆximos e mínimos, variaçªo lenta, variaçªo rÆpida. Tudo isso, a partir da
leitura de grÆficos. Quem nªo estiver familiarizado com essas interpretaçıes
perde muitas das informaçıes fornecidas.
Nas Aulas 8, 9 e 12 jÆ falamos sobre alguns desses tópicos. Portanto, Ø
interessante que vocŒ leia novamente essas aulas, que podem ajudÆ-lo a
compreender melhor o conteœdo desta aula. Vamos retomar o estudo de
grÆficos, mas agora ligado às funçıes, que vocŒ acabou de estudar na aula
anterior. Acompanhe os exemplos a seguir.
EXEMPLO 1
Observe o grÆfico ao lado, que foi montado a partir de dados levantados
pelo IBGE. Para cada faixa etÆria (de 7 a 9 anos, de 10 a 19 anos, de 20 a
29 anos etc), temos uma coluna que representa o nœmero de analfabetos
naquela faixa, na regiªo urbana de Sªo
Paulo. Assim, por exemplo, entre 10 e 19
anos, o nœmero de analfabetos Ø um pou-
co superior a 100 mil pessoas. Temos uma
funçªo que associa a cada faixa etÆria o
nœmero correspondente de analfabetos.
As variÆveis da nossa funçªo sªo: x =
faixa etÆria e y = n” de analfabetos. Note
que y = f(x), ou seja, y Ø funçªo de x (o n” de
analfabetos depende da faixa etÆria).
O domínio dessa funçªo sªo as faixas
etÆrias: 7 a 9, 10 a 19, 20 a 29, 30 a 39, 40 a 49,
50 a 59 e 60 anos ou mais. Esse conjunto
(domínio) possui, entªo, 7 elementos.
A imagem da nossa funçªo Ø fomada
pelas quantidades de analfabetos encon-
trados em cada faixa.
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A U L A
Introduçªo
Nossa aula
Estado de São Paulo
Analfabetos na área urbana
600
500
400
300
200
100
idade
7 
a 
9
10
 a
 1
9
20
 a
 2
9
30
 a
 3
9
40
 a
 4
9
50
 a
 5
9
60
 o
u 
+
mil pessoas
Fonte: IBGE, PNAD. 1987
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A U L A EXEMPLO 2
Num exercício da aula anterior, vocŒ viu que o perímetro de um quadrado
Ø funçªo da medida do lado do quadrado. A equaçªo que associa o
perímetro y à medida do lado x Ø :
y = 4x
Vamos considerar quadrados com lados medindo nœmeros inteiros varian-
do de 1 cm a 10 cm e construir uma tabela e o grÆfico desta funçªo.
Para isso, vamos usar um papel quadriculado para
representar o plano cartesiano (ver Aula 8). No eixo
horizontal, tambØm conhecido como eixo x ou eixo
das abscissas, vamos marcar os valores de x (medi-
da do lado) que constam na tabela. No eixo vertical,
tambØm conhecido como eixo y ou eixo das orde-
nadas, vamos marcar os valores de y (valor do
perímetro) para cada valor de x.
Este Ø o grÆfico da funçªo f de A em B
definida pela equaçªo y = 4x. Neste caso,
estamos considerando:
Domínio = A { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
e, assim a imagem Ø:
Imagem = B { 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40}
Isso significa que calculamos apenas o perí-
metro dos quadrados cuja medida do lado Ø
um nœmero natural entre 1 e 10.
No entanto, vocΠsabe que podemos cons-
truir quadrados com outras medidas, como
por exemplo: 0,5 cm; 7,8 cm; 2 ; etc.
A œnica restriçªo Ø para quadrados com lado
menor ou igual a zero. Dessa forma, amplia-
mos o domínio da nossa funçªo para:
D = conjunto dos nœmeros reais positivos.
E, nesse caso, Ø fÆcil concluir que a ima-
gem dessa funçªo Ø tambØm o conjunto
dos nœmeros reais positivos.
I = conjunto dos nœmeros reais positivos.
O grÆfico fica como a figura ao lado:
em vez de pontos isolados, temos uma
semi-reta.
x y = 4x
1 4
2 8
3 12
4 16
5 20
6 24
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
y
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
y
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A U L AEXEMPLO 3
Observe agora o grÆfico da dívida externa brasileira. Esta funçªo relaciona
a dívida com os anos.
Assinalamos no grÆfico as informaçıes que temos a cada cinco anos.
Os pontos foram ligados por segmentos de reta que representam a continui-
dade da funçªo a cada cinco anos.
Nªo temos dados para saber se a evoluçªo se deu desse modo, mas o fato de
unirmos pontos isolados de um grÆfico auxilia a visualizaçªo e a anÆlise da
funçªo.
Observando atentamente esse grÆfico, podemos concluir que:
l A dívida externa cresceu menos entre 1955 e 1960 e manteve-se constante
no qüinqüŒnio seguinte.
l A dívida cresceu mais na dØcada de 1970 e nos cinco anos seguintes, sendo
a maior taxa verificada entre 1980 e 1985.
Mas o que Ø taxa de crescimento?
Em MatemÆtica, taxa Ø a medida de uma variaçªo. Numa funçªo, vocŒ jÆ
sabe, temos duas variÆveis. Para calcular a taxa de variaçªo, verificamos
como y varia em funçªo de x.
No nosso exemplo, para um mesmo período de tempo, a maior taxa de
crescimento ocorre onde o y cresce mais rapidamente.
Veja, na próxima pÆgina, o cÆlculo da taxa de crescimento entre dois
pontos de um grÆfico. Isso Ø feito dividindo-se a diferença dos valores de
y pela diferença dos valores de x.
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 ano
2,5 3,4 5,33,4
21,0
53,8
95,8
100,0
bilhões de dólares
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A U L A de 1955 a 1960 :
3 4 2 5
1960 1955
0 9
5
0 18, , , ,−
−
= =
de 1960 a 1965 : 3 4 3 4
1965 1960
0
5
0, ,−
−
= =
de 1965 a 1970 : 5 3 3 4
1970 1965
1 9
5
0 38, , , ,−
−
= =
de 1970 a 1975 : 21 0 5 3
1975 1970
15 7
5
3 14, , , ,−
−
= =
de 1975 a 1980 : 53 8 21
1980 1975
32 8
5
6 56, , ,−
−
= =
de 1980 a 1985 : 95 8 53 8
1985 1980
42 0
5
8 4, , , ,−
−
= =
de 1985 a 1990 : 100 95 8
1990 1985
4 2
5
0 84−
−
= =
, ,
,
Assim, podemos comparar os crescimentos em períodos diferentes. Con-
cluímos, atØ mesmo, que o crescimento mais rÆpido da dívida externa
brasileira se deu entre 1980 e 1985. Nesse período, o crescimento foi, em
mØdia, de 8,4 bilhıes de dólares por ano.
No grÆfico, com o auxílio de uma rØgua, vocŒ pode observar que o
segmento que estÆ mais inclinado, ou seja, o que faz um ângulo maior em
relaçªo ao eixo horizontal Ø o que tem maior taxa de crescimento.
EXEMPLO 4
Observe os trŒs grÆficos acima. Eles mostram duas funçıes no mesmo
plano cartesiano: a precipitaçªo de chuvas no primeiro eixo vertical e a
temperatura no segundo eixo vertical, ambas durante todos os meses do
ano. O grÆfico das chuvas estÆ representado por barras e o da tempera-
tura, por uma linha contínua.
Zona da Mata
Nordestina Sert‹o baiano Regi‹o Sul
100
200
300
400
500
600 30
25
20
15
10
5
J F M A M J J A S O N D
Precipita•‹o
(mm)
Temperatura
( C)
100
200
300
400
500
600 30
25
20
15
10
5
J F M A M J J A S O N D
Precipita•‹o
(mm)
Temperatura
( C)
100
200
300
400
500
600 30
25
20
15
10
5
J F M A M J J A S O N D
Precipita•‹o
(mm)
Temperatura
( C)
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A U L AVocΠdeve estar se perguntando por que foram utilizadas formas diferentes
de representaçªo. A resposta estÆ na própria maneira das variÆveis dessas
duas funçıes se relacionarem. A quantidade de chuva Ø medida durante
certo período de tempo e a temperatura pode ser medida a cada instante.
Assim, para cada mŒs (x) temos um índice pluviomØtrico (y).
Esses grÆficos (climogramas) sªo muito utilizados para explicar o clima de
uma regiªo e seu potencial agrícola, por exemplo. É fÆcil observar que,
dessas trŒs regiıes, a que possui maior variaçªo de temperatura Ø a regiªo
Sul e a que possui maior variaçªo de precipitaçªo Ø a Zona da Mata
nordestina.
Podemos tambØm falar das noçıes de mÆximo e mínimo de uma funçªo.
Nas representaçıes grÆficas da precipitaçªo, vemosque o mÆximo, ou
seja, o maior índice pluviomØtrico, ocorre em meses diferentes para cada
regiªo:
Vamos exemplificar agora os pontos mínimos atravØs do grÆfico
da temperatura:
 Com esses exemplos, vocŒ jÆ deve estar bem mais seguro para ler e
interpretar grÆficos. Assim, pode compreender melhor as funçıes que apare-
cem no nosso dia-a-dia.
Para vocΠsaber mais
Na Aula 27 vocŒ aprendeu que, para qualquer funçªo, Ø necessÆrio que a
cada valor x do domínio corresponda apenas um valor de y, que farÆ parte
do conjunto imagem. Observe os grÆficos abaixo. Eles nªo sªo grÆficos de
funçıes, pois, para um mesmo valor de x, encontramos mais de um valor para
y .
REGIˆO
ZONA DA MATA
SERTˆO BAIANO
REGIˆO SUL
PRECIPITA˙ˆO M`XIMA
MAIO
FEVEREIRO
JUNHO
REGIˆO
ZONA DA MATA
SERTˆO BAIANO
REGIˆO SUL
TEMPERATURA M˝NIMA
JUNHO
JULHO
JUNHO
y
2
y
x x
y
1
y
x x
y
1
y
2
y3
y
2
y
x x
y
1
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A U L AExercícios
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1970 1975 1980 1985
na terra
no mar
Produ•‹o Mundial de Petr—leo
REGIˆO METROPOLITANA
GRANDE BELÉM
GRANDE FORTALEZA
GRANDE RECIFE
GRANDE SALVADOR
GRANDE BELO HORIZONTE
GRANDE RIO DE JANEIRO
GRANDE SˆO PAULO
GRANDE CURITIBA
GRANDE PORTO ALEGRE
0POPULA˙ˆO
01.334.460
02.294.524
02.859.469
02.472.131
03.461.905
09.600.528
15.199.423
01.975.624
03.015.960
`REAS METROPOLITANAS
Exercício 1
O grÆfico de barras ao lado mos-
tra a produçªo mundial de petró-
leo extraído na terra e no mar.
Observando este grÆfico, respon-
da:
a) A produçªo Ø maior na terra
ou no mar?
b) Qual delas tem crescido mais?
c) Qual Ø o domínio da funçªo?
d) Qual o valor mÆximo da produ-
çªo na terra, aproximadamente?
e) Em que ano a produçªo no mar
foi maior?
Exercício 2
Elabore um grÆfico de barras, utilizando os dados da tabela abaixo.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
milh›es de habitantes
em bilhões
de barris
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A U L AExercício 3
a) Elabore um grÆfico que represente a balança comercial brasileira,
utilizando os dados fornecidos pela tabela a seguir.
BALAN˙A COMERCIAL BRASILEIRA
ANO
IMPORTA˙ÕES EXPORTA˙ÕES
(BILHÕES DE DÓLARES) (BILHÕES DE DÓLARES)
1978 15 12,6
1981 24 23,2
1984 15,2 27
1987 16,5 26,2
1988 16 33,8
1990 20,4 31,4
b) Quantas funçıes estªo representadas nesse grÆfico? Quais sªo elas?
c) Calcule as taxas de crescimento das importaçıes para cada um dos
períodos. Qual a maior taxa? Qual a menor?
d) Calcule as taxas de crescimento das exportaçıes para cada um dos
períodos. Qual a maior taxa? Qual a menor?
e) Sabendo que a balança comercial Ø calculada pela diferença entre
importaçıes (I) e exportaçıes (E), construa a tabela e o grÆfico da funçªo
B = I - E.
Exercício 4
Para x variando no intervalo de 1 a 8 ( 1 £ x £ 8), faça um grÆfico da funçªo:
y =
4
x
Sugestªo: Organize uma tabela com alguns valores de x no intervalo dado.
Calcule os valores correspondentes de y, assinale esses pontos e desenhe
uma curva passando por eles.
40
30
20
10
0
1978 1981 1984 1987 1988 1990 ano
valores
(em milh›es de d—lares)
Balan•a comercial brasileira
valores
(em bilhões de dólares)
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A U L A Exercício 5
Use sua mÆquina de calcular para construir o grÆfico da funçªo y = x
para 0 £ x £ 9.
Exercício 6
Observe o grÆfico da funçªo desenhado abaixo:
Domínio: 1 £ x £ 10
Imagem:
a) O valor mínimo da funçªo ocorre para x = ....
b) O valor mÆximo da funçªo ocorre para x = ....
c) O valor mínimo da funçªo Ø y = .....
d) O valor mÆximo da funçªo Ø y = ....
e) A funçªo Ø crescente no intervalo ..... £ x £ .....
f) A funçªo Ø decrescente nos intervalos .... £ x £ .... e ..... £ x £ ..... .
Exercício 7
Observe os climogramas abaixo:
a) Qual o valor mínimo da temperatura no oeste do Rio Grande do Sul e
em que mŒs ocorre?
b) E no norte do ParanÆ?
c) Qual das regiıes possui um índice pluviomØtrico mais estÆvel?
d) Em que meses ocorre uma maior variaçªo na precipitaçªo de chuvas
no norte do ParanÆ?
e) Qual o mŒs mais quente nas duas regiıes?
1
6
1 3 8 10
y
x
100
200
300
400
500
600 30
25
20
15
10
5
J F M A M J J A S O N D
Precipita•‹o
(mm)
Temperatura
( C)Oeste do 
Rio Grande do Sul
100
200
300
400
500
600 30
25
20
15
10
5
J F M A M J J A S O N D
Precipita•‹o
(mm)
Temperatura
( C)Norte do Paran‡
1£ y £ 6