Resumo - Espaço Vetorial e Transformações Lineares

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ESPAÇO VETORIAL E TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
Material de apoio para a LIVE: 
Aprendendo espaço vetorial e transformações lineares: 
http://www.resp.ai/espaco_vetorial 
 
Parte I: Espaço Vetorial 
Um espaço vetorial, V, é um conjunto de elementos, conhecidos como vetores, com 
duas operações definidas: 
Adição de elementos (+) 
Multiplicação por escalar (.) 
Se liga! Essas operações nem sempre são as usuais que a gente conhece, o espaço pode 
definir uma soma de elementos totalmente diferente do que a gente conhece, por 
exemplo. 
Um conjunto 𝑉 é dito um Espaço Vetorial se: 
• Ele não está vazio; 
• Se somarmos dois elementos desse espaço, obteremos outro elemento desse 
mesmo espaço; 
• Se multiplicarmos um de seus elementos por um escalar (um número real, por 
exemplo) obteremos um outro elemento desse mesmo espaço. 
Essas regras acima são descritas pelos axiomas abaixo. 
Axiomas de um Espaço Vetorial: 
• Comutatividade: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢 
• Associatividade na soma: (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) 
• Elemento neutro da soma: ∃ 0 ∈ 𝑉 tal que ∀𝑣 ∈ 𝑉 teremos 𝑣 + 0 = 0 + 𝑣 = 𝑣 
• Inverso aditivo: ∀ 𝑣 ∈ 𝑉, existe um 𝑤, ou −𝑣, tal que 𝑣 + 𝑤 = 0 
• Associatividade na multiplicação: 𝛼(𝛽𝑣) = (𝛼𝛽)𝑣 
• Elemento neutro da multiplicação: Existe um vetor 1 em 𝑉 tal que: 𝑣. 1 = 𝑣 
• Distributividade: 𝛼(𝑢 + 𝑣) = 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣 ou (𝛼 + 𝛽)𝑣 = 𝛼𝑣 + 𝛽𝑣 
 
Parte II: Subespaço Vetorial 
Um subconjunto 𝑆 de um espaço vetorial 𝑉 é dito um subespaço vetorial se satisfaz os 
seguintes requisitos: 
• O vetor nulo de 𝑉 está presente em 𝑆 
• Se somarmos dois vetores de 𝑆 obteremos um outro vetor de 𝑆 
http://www.resp.ai/cargas_eletricas
 
 
𝑢, 𝑣 ∈ 𝑆 → 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑆 
• Se multiplicarmos um vetor de 𝑆 por um escalar, obteremos outro vetor de 𝑆 
𝛼 ∈ ℝ, 𝑢 ∈ 𝑆 → 𝛼𝑢 ∈ 𝑆 
Obs: Um espaço vetorial tem pelo menos dois subespaços vetoriais: ele próprio e {0} 
Parte III: Transformações Lineares 
Uma transformação linear é uma função que pega elementos de um espaço vetorial e 
transforma em um outro elemento de um outro espaço vetorial (Pode ser que a 
transformação nos forneça um outro vetor no mesmo espaço vetorial inicial). Como 
tudo que a gente vê nesses tópicos, as transformações lineares para serem chamadas 
assim devem respeitar as seguintes propriedades: 
• 𝑇(𝑢 + 𝑣) = 𝑇(𝑢) + 𝑇(𝑣) 
• 𝑇(𝛼𝑢) = 𝛼𝑇(𝑢) 
Então, se nos perguntarem se determinada transformação é uma TL, devemos testar 
essas duas propriedades. 
Núcleo de uma TL 
Chamamos de núcleo de uma TL o conjunto de vetores aos quais a transformação linear 
nos leva ao vetor nulo: 
𝑣 ∈ 𝑁𝑢𝑐(𝑇) ↔ 𝑇(𝑣) = 0 
Parte IV: Exercícios Propostos 
1. O conjunto dos números reais é um espaço vetorial? 
2. Verifique se o conjunto 𝑉 = 𝑀(2,2) com a soma e o produto por escalares 
usuais é um E.V. 
3. Verifique se o conjunto abaixo é um subespaço de 𝑀(2,2): 
𝑉 = {[
𝑎 𝑏
𝑐 1
] 𝑐𝑜𝑚 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ} 
4. Mostre que o conjunto abaixo é subespaço vetorial de 𝑃2, com as operações 
usuais de 𝑃2: 
𝑆 = {𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥2 ∈ 𝑃2| 𝑎 + 3𝑏 − 2𝑐 = 0} 
5. Seja o espaço vetorial 𝑉 = 𝑀(2,2) e a transformação 
𝑇: 𝑉 → ℝ3, 
𝑇 ([
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
]) = (𝑎 + 𝑏, 𝑐 − 𝑑, 2𝑎) 
Mostre que T é linear.