Relatividade Especial: Observadores Acelerados

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Aula 4: 27 de março 4-1
Curso: Relatividade 01/2019
Aula 4: 27 de março
Profa. Raissa F. P. Mendes
4.14 Observadores acelerados
Às vezes ouvimos falar que a Relatividade Especial não acomoda objetos acelerados ou referenciais
acelerados. Mas isso não é verdade! A Relatividade Especial de fato trata referenciais inerciais de
um modo diferente de referenciais não inerciais, mas, assim como a mecânica Newtoniana, dá uma
descrição completamente auto-consistente da mecânica de corpos acelerados. Aqui, vamos tratar
de alguns aspectos da cinemática de corpos acelerados, deixando os detalhes da dinâmica para um
momento mais à frente.
4.14.1 Sincronização de relógios em “referenciais acelerados”
Antes de falarmos em aceleração, vale a pena examinarmos mais a fundo a noção de referenciais
inerciais. Uma forma alternativa, mais geométrica, de definirmos o que são referenciais inerciais é
exigirmos as três propriedades seguintes:
(a) Os relógios que compõem o referencial estão sincronizados e batem na mesma taxa (ou seja,
uma vez sincronizados, permanecem sincronizados).
(b) A distância entre dois relógios R1 (com coordenadas x1, y1 e z1) e R2 (com coordenadas x2,
y2 e z2) é independente do tempo.
(c) A geometria do espaço para qualquer instante de tempo fixo é Euclideana.
Qual(is) dessas propriedades deixam de valer quando temos aceleração?!
Vamos considerar um exemplo. Dois observadores inerciais, a uma distância L um do outro,
aceleram instantaneamente até a mesma velocidade v, como mostra a figura abaixo. A pergunta
é: por que não podemos usar uma coleção de observadores desse tipo para compor um referencial
inercial? Como a figura mostra, a dificuldade está no fato de que a aceleração faz com que a
sincronização dos relógios seja perdida. De fato, imediatamente antes de t = 4, os relógios de A e
B estão sincronizados: A considera que o evento ao longo de sua linha de mundo que ocorreu em
t = 4 é simultâneo ao evento na linha de mundo de B que ocorreu quando o relógio dele marcava
t = 4. No entanto, A considera o instante imediatamente após t = 4 como simultâneo a um evento
com t ≈ 5.4 na linha de mundo de B. A propriedade (a) deixa de valer. (As propriedades (b) e (c)
também podem ser modificadas.)
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A B
L'
L
4.14.2 O paradoxo dos gêmeos
Situação: Os gêmeos Alice e Bernardo sincronizam seus relógios no seu aniversário de 20 anos,
quando Alice acelera instantaneamente, adquirindo uma velocidade uniforme de v =
√
3c/2 (de
modo que γ ≡ 1/
√
1− v2/c2 = 2), se distanciando de Bernardo em linha reta. Eventualmente,
ela inverte o sentido do movimento e retorna a Bernardo com uma velocidade de mesmo módulo,
desacelerando instantaneamente até o repouso quando chega até ele. Bernardo envelheceu 40 anos
(possui agora 60). Quantos anos Alice envelheceu? Resp.: 40/γ = 20 anos!
Na formulação do “paradoxo”, perguntamos por que a situação não é simétrica: Bernardo não
deveria ver Alice mais nova que ele?! De fato, como vimos anteriormente, a situação é simétrica até
o momento em que Alice reverte o sentido do movimento. Até lá, tanto ela quanto Bernardo dizem
que o tempo passa mais devagar para o outro, estando a raiz da diferença nas noções distintas que
ambos têm de eventos simultâneos [rever discussão sobre a dilatação temporal! ]. De fato, logo antes
de reverter o sentido do movimento, Alice atribui a Bernardo uma idade 25 anos, ao passo que ela
própria já tem 30.
O problema surge no momento da inversão do sentido de movimento: Alice passa de um referencial
inercial para outro e, com isso, sua noção de simultaneidade muda instantaneamente! Logo antes
de ela inverter o sentido do movimento, ela atribúıa a Bernardo a idade de 25 anos. Logo depois
de inverter o sentido do movimento, ela atribui a ele a idade de 55 anos! 30 anos se passaram
instantaneamente e não foram cobertos pelo sistema de coordenadas de Alice.
Embora a resolução do paradoxo dos gêmeos não dependa de nenhuma informação numérica sobre
a aceleração, a aceleração é fundamental conceitualmente, uma vez que as superf́ıcies de simultanei-
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dade de um observador deixam de ser paralelas quando ele acelera. Com isso, é posśıvel que regiões
inteiras do espaço-tempo não sejam cobertas pelo sistema de coordenadas usado pelo observador
acelerado, ao passo que em outras regiões o mapeamento dos eventos pode ser redundante.
Figura 4.2: Imediatamente antes de inverter o sentido do movimento, Alice entende que B é o
evento na linha de mundo de Bernardo simultâneo à sua posição atual. Imediatamente depois, ela
entende que D é o evento simultâneo à sua posição. O sistema de coordenadas de Alice não cobre
30 anos da vida de Bernardo!
4.15 Tempo próprio
A discussão anterior motiva algumas definições importantes para o caso de um movimento ace-
lerado arbitrário. Dada a linha de mundo de uma part́ıcula acelerada, definimos o referencial
inercial momentaneamente comóvel, num ponto P , como aquele determinado por um obser-
vador inercial que em P possui a mesma velocidade da part́ıcula. Dizemos que as superf́ıcies de
simultaneidade para uma part́ıcula acelerada coincidem, em cada ponto da trajetória, com as su-
perf́ıcies de simultaneidade de um observador inercial momentaneamente comóvel com a part́ıcula
naquele ponto. Na figura abaixo mostramos as superf́ıcies de simultaneidade para um observador
acelerado.
Outra noção muito importante é a do tempo próprio medido por um observador que segue uma
linha de mundo arbitrária. O tempo próprio entre dois eventos A e B é o tempo medido por um
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Figura 4.3: Linha de mundo de uma part́ıcula acelerada, com marcações nas unidades de tempo
próprio. Em verde, mostramos também as superf́ıcies de simultaneidade em cada ponto e, para os
eventos com tempo próprio 1 e 4, as linhas de mundo dos observadores inerciais momentaneamente
comóveis com a part́ıcula nesses pontos.
relógio que de fato passa pelos dois eventos. É uma quantidade que depende não só de informações
sobre A e B, mas também de informações sobre a trajetória seguida pelo relógio entre A e B (já
vimos, na discussão do paradoxo dos gêmeos, que o tempo entre dois eventos depende da trajetória
do observador!).
Considere inicialmente o tempo próprio ∆τAB medido por um observador inercial entre dois eventos
A e B em sua linha de mundo. No referencial desse observador, o tempo próprio é simplesmente
a diferença das coordenadas temporais dos dois eventos: ∆τAB = ∆tAB. Mas, nesse referencial
∆t2AB = −∆s2AB/c2. O tempo próprio é ∆τAB =
√
−∆s2AB/c, uma expressão invariante que pode
ser usada por qualquer observador para calcular esse observável.
Agora, uma linha de mundo arbitrária pode ser aproximada por uma sucessão de movimentos com
velocidade constante. Entre dois pontos próximos o tempo próprio é dτ =
√
−ds2/c. O tempo
próprio ao longo da linha de mundo é então obtido por integração:
τAB =
∫ B
A
dτ =
1
c
∫ B
A
√
−ds2 = 1
c
∫ B
A
[c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2]1/2 =
∫ B
A
dt[1− ~V 2/c2]1/2. (4.8)
O paradoxo dos gêmeos ilustra uma propriedade importante da geometria não-Euclideana do
espaço-tempo da Relatividade Restrita. Como a expressão τAB =
∫ B
A
√
1− v2/c2 mostra, toda
linha de mundo tipo tempo que Alice seguisse entre A e B teria um tempo próprio menor do que
a reta seguida por Bernardo. Uma reta é a “maior distância” entre dois pontos separados por um
intervalo tipo tempo! Para ver isso, escolha quaisquer dois pontos separados por um intervalo tipo
tempo. A linha reta entre eles é uma linha de mundo caracterizada por uma velocidade ~V . No
referencial inercial desse observador, os eventos acontecem no mesmo local. Esse é o referencial
inercial do Bernardo no exemplo acima. Portanto, qualquerobservador, como a Alice, que se move
em um caminho não reto entre os eventos mede um tempo próprio menor entre eles.
4.15.1 Paradoxo dos foguetes de Bell
Considere dois foguetes conectados por uma corda, sendo que ambos possuem a mesma aceleração
no referencial inercial do “laboratório”, com um foguete à frente e o outro atrás (embora ainda
não tenhamos definido precisamente “aceleração”, as sutilezas da definição não serão importantes
aqui). Os foguetes partem do repouso. Como a aceleração de ambos é igual, suas velocidades são
as mesmas em qualquer instante e então a distância delas no referencial do laboratório permanece
a mesma. Por outro lado, a distância entre eles (a corda) não deveria contrair quando o sistema
alcançasse uma velocidade alta? Então a separação fica constante ou muda? A corda arrebenta ou
permanece intacta?
Para mais detalhes: http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/BellSpaceships/
spaceship_puzzle.html
Para casa: Ler, como preparação para a próxima aula, o ińıcio do caṕıtulo 2 do Schutz.
Para aprofundar: Muito mais sobre observadores acelerados no caṕıtulo 6 do Gravitation!
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http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/BellSpaceships/spaceship_puzzle.html
http://math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/SR/BellSpaceships/spaceship_puzzle.html
	Observadores acelerados
	Sincronização de relógios em ``referenciais acelerados''
	O paradoxo dos gêmeos
	Tempo próprio
	Paradoxo dos foguetes de Bell