Conceitos básicos de matemática financeira

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Conceitos Básicos de Matemática Financeira 
3.1 Introdução 
Todos os “fatores de produção” empregados na economia para a 
produção de bens e serviços, que trarão satisfação às pessoas 
(trabalho, recursos naturais, capacidade técnica e gerencial, 
equipamentos e dinheiro), são remunerados cada um de uma 
forma ligada à sua natureza. 
Fatores de produção são os conjuntos de componentes necessários 
à cadeia produtiva (conjunto de etapas consecutivas ao longo da 
produção, as quais os diversos insumos são transformados em um bem 
ou serviço). Basicamente são elementos fundamentais ao processo 
produtivo de um determinado bem material ou serviço. Vão deste a 
matéria-prima até a distribuição dos produtos. 
Existem três tipos vitais: Terra (relacionado aos recursos naturais 
existentes), capital (todos os bens que sustentam a produção, deste 
capital monetário até capital de bens como ferramentas e máquinas) e 
trabalho. 
➢ Trabalho: a forma de remuneração é o salário ou 
remuneração por contrato; 
➢ Tecnologia: o pagamento é feito pelo royalty; 
➢ Capacidade gerencial e empreendedora: 
renumerada pelo lucro; 
➢ Capital: a forma de pagamento é o juro. 
O valor do dinheiro no tempo e a existência de juros são 
elementos interligados e indispensáveis ao desenvolvimento do 
estudo de Matemática Financeira; 
A Matemática Financeira estuda o “tratamento do custo do dinheiro”. 
Seus conceitos não sofrem qualquer alteração em função do valor 
numérico da taxa de juros e, assim, são integramente aplicáveis tanto 
nos fluxos de caixa sem inflação, como nos fluxos de caixa com inflação. 
 
Matemática Financeira 
Tipos: 
➢ Determinística: possuía a certeza na data de 
pagamento, no valor, nas taxas etc.; 
➢ Probabilística: incerteza quanto à data de pagamento, 
ao valor de receita a receber etc.; 
Principais objetivos: 
➢ Cálculos em fluxo de caixa, com a aplicação da taxa de juros, 
para se levar em conta o valor do dinheiro no tempo; 
➢ Obtenção da taxa interna de juros implícita no fluxo de caixa 
(TIR); e 
➢ Análise e comparação de diversas alternativas de fluxos de 
caixa. 
 
 
Taxa Implícita de Juros – TIR é uma taxa de juros implícita numa série 
de pagamentos e recebimentos, que tem a função de descontar um 
valor futuro ou aplicar o fator de juros sobre um valor presente, 
conforme o caso, para trazer ou levar cada valor do fluxo de caixa para 
uma data focal. 
Principais Fundamentos: 
➢ Valores monetários só podem ser comparados e/ou 
somados quando estiverem referenciados a uma mesma 
data; e 
 
 
________________________________________________________ 
 
 
 
➢ Valores monetários de datas diferentes são grandezas que só 
podem ser comparadas e somadas algebricamente após serem 
movimentadas para uma mesma data, com a devida aplicação da 
taxa de juros. 
 
3.2 Juros (J) 
Quem dispõe de dinheiro pode utilizá-lo para obter satisfação 
pessoal (viagens, compra de imóveis, carros etc.) ou pode 
investir para garantir a segurança futura etc. A noção de “JURO” 
decorre do fato de que a maioria das pessoas prefere consumir 
seus bens no presente e não no futuro. 
Assim, havendo uma preferência temporal para consumir, as 
pessoas querem uma recompensa pela “abstinência”: o prêmio 
para que não haja o consumo é o juro. Os juros remuneratórios 
ou compensatórios representam o preço do uso do capital, que 
remunera o credor por ficar privado do seu capital. 
O juro pode ser entendido como o custo do crédito ou a 
remuneração do capital aplicado. Ou seja, o custo de um valor 
monetário retirado (empréstimo) ou a remuneração por um 
investimento aplicado. 
O juro a ser pago deve ressarcir o investidor do dinheiro (capital) 
pela(o): 
➢ Perda de Liquidez: não pode usá-lo no momento que desejar; 
➢ Custo de Oportunidade: os recursos disponíveis para investir são 
limitados. Ao se investir em determinado projeto, prede-se a 
oportunidade de investir em outros; 
➢ Utilidade: investir significa deixar de consumir hoje para consumir 
amanhã, o que só é atraente quando o capital recebe 
remuneração adequada; 
➢ Risco: o tomados pode não conseguir pagar no prazo acertado; 
➢ Inflação: que deteriora o poder de compra do dinheiro à media que 
o tempo passa; e 
0 1 2 3 4 5 6 7 
Valores monetários que podem 
ser comparados e/ou somados 
Conceitos Básicos de Matemática Financeira 
➢ Ganho ou lucro: que motiva o investidor a aceitar as 
consequências anteriores. 
 
3.3 Capital (A ou P) 
É qualquer quantidade de moeda ou dinheiro que esteja disponível 
em certa data para ser aplicado numa operação financeira. 
Define-se Valor Atual ou Valor Presente (A ou P) de um fluxo de 
caixa, a uma data taxa de juros, como a quantia hoje equivalente 
ao fluxo de caixa em questão. 
 
3.4 Montante (M ou S ou F) 
Também chamado de Valor Futuro (F), é o valor final do capital 
aplicado. É dado pela soma do capital inicial e uma segunda 
parcela, que é uma fração do capital inicial, chamada de juros. 
𝑀 = 𝐶 + 𝐽 → 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 + 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 
 
3.5 Período Financeiro 
Também chamado período é o intervalo de tempo (ano, mês, 
semestre, dia...) sobre o qual os juros são cobrados sobre o 
capital empregado. 
 
3.6 Fluxo de Caixa 
É o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do 
tempo. A representação pode ser feita através de diagramas ou 
de quadros. 
 
 
 
 
 
Em representações no formato de tabelas é necessário que seja 
indicado o sinal negativo no capital inicial e nos gastos realizados 
pela empresa. 
 
3.7 Capitalização e Desconto 
A Capitalização e o Desconto envolvem as relações entre um 
valor presente (P) e um valor futuro (F). No processo de 
capitalização, o capital inicial ou principal (P) aumenta de valor 
pela aplicação dos juros e gera um montante no futuro (F), igual 
ao capital inicial (P) mais os juros (J) acumulados: 
𝐹 = 𝑃 + 𝐽 
O valor do desconto, em $, é sempre igual a diferença entre F e P (eq. 
abaixo), tanto a juros simples como a juros compostos. 
𝐷 = 𝐹 − 𝑃 
As taxas de juros (i) se aplica sobre o capital inicial (P) para 
gerar o montante (F), ao passo que a taxa de desconto (d) é uma 
taxa de juros que se aplica sobre o montante (F) para gerar o 
valor do capital inicial (P). 
As taxas de juros e de desconto são usadas tanto a juros simples 
como a juros compostos. Na verdade, o fenômeno da 
capitalização só ocorre no regime de juros compostos, quando 
os juros não pagos no final do período se transformam em capital 
e passam a render juros. 
Mas, é comum se usar a expressão “capitalização simples” para 
se referir ao crescimento do dinheiro no regime de juros simples, 
no qual efetivamente inexiste a capitalização de juros. 
 Capitalização é o esquema segundo o qual se vai cobrar juro 
para um capital aplicado, ou seja, é a forma de se calcular e 
considerar o juro na transação financeira. Dois regimes de 
capitalização são comuns: 
➢ Regime de Capitalização Simples ou Sistema de Juros Simples 
(Lineares); 
➢ Regime de Capitalização Composta ou Sistema de Juros 
Compostos (Exponenciais) 
 
3.8 Capitalização Simples ou Juro 
Simples 
Quando o regime é de Juros Simples, a renumeração pelo capital 
inicial aplicado é diretamente proporcional ao seu valor e ao 
tempo de aplicação. Ou seja, o fator de proporcionalidade é a taxa 
de juros; a taxa de juros só incide sobre o capital inicial, não 
incidindo sobre o total de juros auferidos anteriormente; os juros 
de cada período são calculados sempre em função do capital 
inicial empregado. Assim, só o principal rende juros ao longo da 
vida de investimento. 
𝐹 = 𝑃 + 𝐽 
𝐽 = 𝑃 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛 
𝐹 = 𝑃 ∗ (1 + i ∗ n) 
Onde: F = valor futuro; V = valor presente; n = nº períodos e i = 
taxa de juros. 
Entradas 
 (+) 
 Saídas 
 (-) 
(i%) 
(n) 0 1 2
 
3
 
4
 
R$ 1000 
R$ 600 
R$ 400 
R$ 600 
R$ 1000 
Conceitos Básicos de Matemática Financeira 
3.10 Taxas de Juros (i) – ConceitosA taxa de Juros mede o custo da unidade de capital no período a 
que se refere a taxa. É fixada no mercado de capitais pela 
interação entre as forças que regem a oferta de fundos e a 
procura de capitais: 
➢ Oferta de fundos: nível de riqueza das pessoas, suas 
preferencias temporais e o valor da taxa de juros; e 
➢ Procura de capitais: a rentabilidade das aplicações 
existentes na economia e a preferência temporal das 
pessoas. 
São expressas como a razão entre os juros (J) que serão 
cobrados no fim do período e o capital (P) incialmente 
empregado. Fixadas através de uma taxa percentual que se 
refere a uma unidade de tempo: ano, semestre, mês, dia ... 
𝑖 =
𝐽
𝑃
 
Taxas Proporcionais 
Duas ou mais taxas de juros são ditas proporcionais quando, 
aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo, 
produzem um mesmo montante acumulado ao final daquele 
prazo, no regime de juros simples. 
O conceito de taxa proporcional está diretamente relacionado ao 
regime de juros simples. 
Taxa Efetiva 
Uma taxa de juros é dita efetiva quando o período de capitalização 
coincide com o período a que a taxa se refere. Como por exemplo, 
uma taxa de 12% a.a. capitalizados anualmente. 
Nas tabelas financeiras, as taxas de juros utilizadas são taxas 
efetivas. 
 
Taxas Equivalentes 
Ou taxas efetivas equivalentes, são duas ou mais taxas que são 
ditas como equivalentes quando, ao serem aplicadas a um mesmo 
principal (P = VP) durante um mesmo prazo (n), produzem um 
mesmo montante (M = F = VF) acumulado no final daquele prazo, 
no regime de juros compostos. 
(1 + 𝑖𝑎) = (1 + 𝑖𝑚)
12 
Taxas Nominal 
Uma taxa de juros é dita nominal quando o período de 
capitalização não coincide com o período a que a taxa se refere. 
Ou seja, uma taxa de 24% a.a capitalizados mensalmente. 
Em geral é dada em termos anuais, sendo os períodos de 
capitalização referidos ao semestre, trimestre, mês etc. É uma 
taxa muito usada no mercado, mas seu valor nunca é usado nos 
cálculos, pois não representa uma taxa efetiva. 
O que realmente interessa é a taxa efetiva implícita na taxa 
nominal, pois é ela que será efetivamente aplicada em cada 
período de capitalização. 
𝑖𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 =
𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑛
 
 
3.17 Operações de Desconto Bancário 
Supondo-se que uma empresa faça uma venda a prazo, 
recebendo uma duplicata com vencimento determinado. Se a 
empresa precisar do dinheiro para suas operações, pode ir a um 
banco e transferir a posse da duplicada, recebendo dinheiro em 
troca. 
Essa operação é chamada de desconto e o ato de efetuá-las é 
chamado de descontar um título. Se um título de crédito é 
transacionado (descontado) antes de sua data de vencimento, o 
valor de compra será inferior ao valor nominal do título. 
O comprador impõe um desconto que o compense pelo 
adiantamento da importância a vencer. Há dois critérios para a 
cobrança do desconto simples: 
- Desconto Racional ou Desconto por dentro; e 
- Desconto Bancário ou Desconto Comercial ou Desconto por 
fora. 
OBS.: Existem também dois critérios para a cobrança de 
descontos compostos (usando juros compostos). 
 
Desconto Racional ou Desconto por Dentro 
É o desconto (D) obtido pela diferença entre o valor nominal (N) 
e o valor atual (L) de um compromisso que seja saldado (t) 
períodos antes do seu vencimento. 
➢ D = Desconto: é a quantidade a ser abatida do valor 
nominal. 
➢ L = Valor atual (descontado ou líquido): é a diferença 
entre o valor nominal (N) e o desconto (D). 
Conceitos Básicos de Matemática Financeira 
No regime de juros simples, o desconto racional ou desconto por 
dentro aplicado ao valor nominal é igual ao juro devido sobre o 
capital (valor descontado) desde que ambos sejam calculados à 
mesma taxa. Ou seja, a taxa de juros da operação é também a 
taxa de desconto. 
𝐷 = 𝑁 − 𝐿 
𝐷 = 𝐿 ∗ 𝑑 ∗ 𝑡 
𝐿 =
𝑁
1 + (𝑑 ∗ 𝑡)
 
𝐷 =
𝑁 ∗ 𝑑 ∗ 𝑡
1 + (𝑑 ∗ 𝑡)
 
Sendo 
N = Valor Nominal 
t = períodos antes do vencimento 
d = taxa de desconto simples 
D = Valor do Desconto 
L = Valor líquido (atual) a pagar 
Desconto Bancário ou Comercial ou Desconto por Fora 
É o desconto (D) que se obtém pelo cálculo dos juros simples 
sobre o valor nominal (N) do compromisso que seja saldado (t) 
períodos antes de seu vencimento. 
No desconto comercial (desconto por fora), é preciso distinguir 
entre a taxa de desconto utilizada e a taxa implícita que é cobrada 
de fato. 
𝐷 = 𝑁 − 𝐿 
𝐷 = 𝑁 ∗ 𝑑 ∗ 𝑡 
𝐿 = 𝑁 ∗ (1 − 𝑑 ∗ 𝑡) 
DESCONTO BANCÁRIO (Db) corresponde ao desconto comercial 
acrescido de uma taxa prefixada, cobrada sobre o valor nominal. 
Esta taxa de despesas bancárias é referida frequentemente 
como sendo despesas administrativas do banco ou instituição 
que faz a operação. 
O desconto bancário pode ser entendido como uma extensão do 
desconto comercial (ou desconto por fora). 
𝐷𝑏 = 𝐷𝑐 + 𝑁 ∗ 𝐽 
𝐷𝑐 = 𝑁 ∗ 𝑑 ∗ 𝑡 
𝐷𝑏 = 𝑁 ∗ (𝑑 ∗ 𝑡 + 𝑗) 
𝐿𝑏 = 𝑁 − 𝐷𝑏 
𝐿𝑏 = 𝑁 ∗ [1 − (𝑑 ∗ 𝑡 + 𝑗)] 
Seja: 
Db = Desconto Bancário 
N = Vr. Nominal (montante) 
t = n de períodos antes do vencimento 
d = Taxa de Desconto 
Dc = Desconto Comercial 
Lb = Vr. Líquido 
J = Taxa de Despesas Administrativas