Apresentacao_IT751_Aulas_04_e_05_2023_1

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Departamento de Engenharia Química – IT - UFRRJ
IT751 – Métodos Computacionais I – Teórica
Professor: Maurício Mancini
Módulo Temático 01
Soluções de Problemas de Engenharia Química Descritos por 
Sistemas de Equações Algébricas Lineares – Parte 3
𝐴11 𝐴12 𝐴13 𝐴14
𝐴21 𝐴22 𝐴23 𝐴24
𝐴31 𝐴32 𝐴33 𝐴34
𝐴41 𝐴42 𝐴43 𝐴44
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
=
𝑟1
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝑨𝒙 = 𝒓
Sistema de 4 Tanques da 
Avaliação Continuada 03
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IT751 – Métodos Computacionais I – Teórica 
Professor: Maurício Mancini
Reorganiza o sistema de modo que, na forma matricial, a matriz de
coeficientes assume a forma Triangular Inferior e os valores das
incógnitas são determinados de x1 → xn (na etapa de substituição
direta).
𝐴11 𝐴12 𝐴13 𝐴14
𝐴21 𝐴22 𝐴23 𝐴24
𝐴31 𝐴32 𝐴33 𝐴34
𝐴41 𝐴42 𝐴43 𝐴44
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
=
𝑟1
𝑟2
𝑟3
𝑟4
2) Método de Eliminação de Gauss com Substituição Direta
𝐴11 0 0 0
𝐴21 𝐴22 0 0
𝐴31 𝐴32 𝐴33 0
𝐴41 𝐴42 𝐴43 𝐴44
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
=
𝑟1
𝑟2
𝑟3
𝑟4
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IT751 – Métodos Computacionais I – Teórica 
Professor: Maurício Mancini
Método de Eliminação de Gauss com Substituição Direta
(Etapa de Eliminação) 
Definição do Eliminador Mji: É uma constante que deve multiplicar a
equação “i” (linha “i” da matriz de coeficientes e elemento “i” do vetor de
respostas), para que a subtração do resultado desta operação da
equação “j”, resulte no valor nulo do coeficiente (elemento) Aji da nova
equação “j” (Elementos ACIMA do Pivot Aii serão eliminados).
“i” → índice referente à 
Equação (linha) eliminadora
“j” → índice referente à 
Equação (linha) eliminada
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 "j" nova = 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜"j" 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑎 −𝑀𝑗𝑖 ∗ 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 "i"
𝑴𝒋𝒊 =
𝑨𝒋𝒊
𝑨𝒊𝒊
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IT751 – Métodos Computacionais I – Teórica 
Professor: Maurício Mancini
Método de Eliminação de Gauss com Substituição Direta
(Implementação de Algoritmos) 
Partindo das equações na forma aberta:
𝐴11 𝐴12 𝐴13 𝐴14
𝐴21 𝐴22 𝐴23 𝐴24
𝐴31 𝐴32 𝐴33 𝐴34
𝐴41 𝐴42 𝐴43 𝐴44
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
=
𝑟1
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝐴11𝑥1 + 𝐴12𝑥2 + 𝐴13𝑥3 + 𝐴14𝑥4 = 𝑟1
𝐴21𝑥1 + 𝐴22𝑥2 + 𝐴23𝑥3 + 𝐴24𝑥4 = 𝑟2
𝐴31𝑥1 + 𝐴32𝑥2 + 𝐴33𝑥3 + 𝐴34𝑥4 = 𝑟3
𝐴41𝑥1 + 𝐴42𝑥2 + 𝐴43𝑥3 + 𝐴44𝑥4 = 𝑟4
OBS2: Assim como no método anterior, o algoritmo pode ser dividido em duas etapas
distintas, com blocos de comandos bem definidos:
(1) Etapa de Eliminação → Combinações Lineares para obter a matriz triangular
Inferior→ Eliminar (Zerar) todos os elementos (Coeficientes) acima dos Pivots Aii.
(2) Etapa de Substituição Direta → Determinação dos valores das incógnitas, 
consecutivamente, de x1 até xn.
OBS1: Todas as operações que
impactarem as equações, impactarão,
também, a forma matricial!
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OBS3: Como a intenção é eliminar (Zerar) os elementos acima dos Pivots Aii, em
um sistema n x n, “i” variará de i = n até i = 2 e “j” variará de j = i-1 até j = 1.
Aplicando a um sistema 4 x 4:
Primeira etapa de eliminação: i = 4 e j = 3, 2, 1
Passo 1: i = 4 e j = 3 (Deseja-se A34 = 0) Novos elementos da equação 3:
𝐴31 = (𝐴31 −𝑀34𝐴41)
𝐴32 = (𝐴32 −𝑀34𝐴42)
𝐴33 = (𝐴33 −𝑀34𝐴43)
𝐴34 = (𝐴34 −𝑀34𝐴44) = 0
𝑟3 = (𝑟3 −𝑀34𝑟4)
𝑀34 =
𝐴34
𝐴44
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Primeira etapa de eliminação: i = 4 e j = 3, 2, 1
Passo 2: i = 4 e j = 2 (Deseja-se A24 = 0)
Novos elementos da equação 2:
𝐴21 = (𝐴21 −𝑀24𝐴41)
𝐴22 = (𝐴22 −𝑀24𝐴42)
𝐴23 = (𝐴23 −𝑀24𝐴43)
𝐴24 = (𝐴24 −𝑀24𝐴44) = 0
𝑟2 = (𝑟2 −𝑀24𝑟4)
𝑀24 =
𝐴24
𝐴44
Passo 3: i = 4 e j = 1 (Deseja-se A14 = 0)
Novos elementos da equação 1:
𝐴11 = (𝐴11 −𝑀14𝐴41)
𝐴12 = (𝐴12 −𝑀14𝐴42)
𝐴13 = (𝐴13 −𝑀14𝐴43)
𝐴14 = (𝐴14 −𝑀14𝐴44) = 0
𝑟1 = (𝑟1 −𝑀14𝑟4)
𝑀14 =
𝐴14
𝐴44
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Após primeira etapa de eliminação tem-se:
𝐴11 𝐴12 𝐴13 0
𝐴21 𝐴22 𝐴23 0
𝐴31 𝐴32 𝐴33 0
𝐴41 𝐴42 𝐴43 𝐴44
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
=
𝑟1
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝐴11𝑥1 + 𝐴12𝑥2 + 𝐴13𝑥3 + 0𝑥4 = 𝑟1
𝐴21𝑥1 + 𝐴22𝑥2 + 𝐴23𝑥3 + 0𝑥4 = 𝑟2
𝐴31𝑥1 + 𝐴32𝑥2 + 𝐴33𝑥3 + 0𝑥4 = 𝑟3
𝐴41𝑥1 + 𝐴42𝑥2 + 𝐴43𝑥3 + 𝐴44𝑥4 = 𝑟4
OBS4: Na segunda etapa de eliminação, i = 3 e j = 2, 1.
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Segunda etapa de eliminação: i = 3 e j = 2, 1
Passo 4: i = 3 e j = 2 (Deseja-se A23 = 0)
Novos elementos da equação 2:
𝐴21 = (𝐴21 −𝑀23𝐴31)
𝐴22 = (𝐴22 −𝑀23𝐴32)
𝐴23 = (𝐴23 −𝑀23𝐴33) = 0
𝐴24 = (0 −𝑀230) = 0
𝑟2 = (𝑟2 −𝑀23𝑟3)
𝑀23 =
𝐴23
𝐴33
Passo 5: i = 3 e j = 1 (Deseja-se A13 = 0)
Novos elementos da equação 1:
𝐴11 = (𝐴11 −𝑀13𝐴31)
𝐴12 = (𝐴12 −𝑀13𝐴32)
𝐴13 = (𝐴13 −𝑀13𝐴33) = 0
𝐴14 = (0 −𝑀130) = 0
𝑟1 = (𝑟1 −𝑀13𝑟3)
𝑀13 =
𝐴13
𝐴33
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Após segunda etapa de eliminação tem-se:
𝐴11 𝐴12 0 0
𝐴21 𝐴22 0 0
𝐴31 𝐴32 𝐴33 0
𝐴41 𝐴42 𝐴43 𝐴44
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
=
𝑟1
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝐴11𝑥1 + 𝐴12𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 = 𝑟1
𝐴21𝑥1 + 𝐴22𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 = 𝑟2
𝐴31𝑥1 + 𝐴32𝑥2 + 𝐴33𝑥3 + 0𝑥4 = 𝑟3
𝐴41𝑥1 + 𝐴42𝑥2 + 𝐴43𝑥3 + 𝐴44𝑥4 = 𝑟4
Terceira etapa de eliminação: i = 2 e j = 1
Passo 6: i = 2 e j = 1 (Deseja-se A12 = 0)
Novos elementos da equação 1:
𝐴11 = (𝐴11 −𝑀12𝐴21)
𝐴12 = (𝐴12 −𝑀12𝐴22) = 0
𝐴13 = (0 −𝑀120) = 0
𝐴14 = (0 −𝑀120) = 0
𝑟1 = (𝑟1 −𝑀12𝑟2)
𝑀12 =
𝐴12
𝐴22
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Após terceira etapa de eliminação tem-se:
𝐴11 0 0 0
𝐴21 𝐴22 0 0
𝐴31 𝐴32 𝐴33 0
𝐴41 𝐴42 𝐴43 𝐴44
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
=
𝑟1
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝐴11𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 = 𝑟1
𝐴21𝑥1 + 𝐴22𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 = 𝑟2
𝐴31𝑥1 + 𝐴32𝑥2 + 𝐴33𝑥3 + 0𝑥4 = 𝑟3
𝐴41𝑥1 + 𝐴42𝑥2 + 𝐴43𝑥3 + 𝐴44𝑥4 = 𝑟4
Generalizando, para o algoritmo de eliminação, tem-se:
Para i = n ... i = 2:
Para j = i-1 ... j = 1:
(𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 "j")𝑛𝑜𝑣𝑎= (𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 "j")𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑎 −𝑀𝑗𝑖(𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 "i")
𝑀𝑗𝑖 =
𝐴𝑗𝑖
𝐴𝑖𝑖
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Professor: Maurício Mancini
Após terceira etapa de eliminação tem-se:
𝐴11 0 0 0
𝐴21 𝐴22 0 0
𝐴31 𝐴32 𝐴33 0
𝐴41 𝐴42 𝐴43 𝐴44
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
=
𝑟1
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝐴11𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 = 𝑟1
𝐴21𝑥1 + 𝐴22𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 = 𝑟2
𝐴31𝑥1 + 𝐴32𝑥2 + 𝐴33𝑥3 + 0𝑥4 = 𝑟3
𝐴41𝑥1 + 𝐴42𝑥2 + 𝐴43𝑥3 + 𝐴44𝑥4 = 𝑟4
OBS5: Note que as equações têm números diferentes de incógnitas com coeficientes não
nulos, o que sugere a Etapa de Substituição Direta para determinar os valores das
incógnitas, de forma consecutiva:
(Eq. 1) → x1; (determine x1)
(Eq. 2) → x1 e x2; (conhecido x1, determine x2)
(Eq. 3) → x1, x2 e x3; (conhecidos x1 e x2, determine x3)
(Eq. 4) → x1, x2, x3 e x4. (conhecidos x1, x2 e x3, determine x4)
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Método de Eliminação de Gauss com Substituição Direta
(Etapa de Substituição Direta) 
Na Etapa de Substituição Direta o algoritmo requer que: i = 1 ... i = n 
𝑥1 =
𝑟1
𝐴11
Aplicando a um sistema 4 x 4:
𝑥2 =
1
𝐴22
[𝑟2 − 𝐴21𝑥1 ]
𝑥3 =
1
𝐴33
[𝑟3 − 𝐴31𝑥1 + 𝐴32𝑥2 ]
𝑥4 =
1
𝐴44
[𝑟4 − 𝐴41𝑥1 + 𝐴42𝑥2 + 𝐴43𝑥3 ]
Generalizando para um sistema n x n:
𝑥1 =
𝑟1
𝐴11
Para i = 2 ... i = n:
𝑥𝑖 =
1
𝐴𝑖𝑖
𝑟𝑖 − ෍
𝑗=1
𝑗=𝑖−1
𝐴𝑖𝑗𝑥𝑗
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Reorganiza o sistema de modo que, na forma matricial, a matriz de
coeficientes assume a forma de Matriz Diagonal e os valores das
incógnitas são determinados simultaneamente (na etapa de
determinação direta).
𝐴11 𝐴12 𝐴13 𝐴14
𝐴21 𝐴22 𝐴23 𝐴24
𝐴31 𝐴32 𝐴33 𝐴34
𝐴41 𝐴42 𝐴43 𝐴44
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
=
𝑟1
𝑟2
𝑟3
𝑟4
3) Método de Gauss-Jordan com Determinação Direta
𝐴11 0 0 0
0 𝐴22 0 0
0 0 𝐴33 0
0 0 0 𝐴44
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
=
𝑟1
𝑟2
𝑟3
𝑟4
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IT751 – Métodos Computacionais I – Teórica 
Professor: Maurício Mancini
Método de Gauss-Jordan
(Etapa de Eliminação) 
Definição do Eliminador Mji: É uma constante que deve multiplicar a
equação “i” (linha “i” da matriz de coeficientes e elemento “i” do vetor de
respostas), para que a subtração do resultado desta operação da
equação “j”, resulte no valor nulo do coeficiente (elemento) Aji da nova
equação “j” (Elementos Acima e Abaixo do Pivot Aii serão eliminados).
𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 "j" nova = 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜"j" 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑎 −𝑀𝑗𝑖 ∗ 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 "i"
“i” → índice referente à 
Equação (linha) eliminadora
“j” → índice referente à 
Equação (linha) eliminada
𝑴𝒋𝒊 =
𝑨𝒋𝒊
𝑨𝒊𝒊
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Professor: Maurício Mancini
Método de Gauss-Jordan
(Implementação de Algoritmos) 
Partindo das equações na forma aberta:
𝐴11 𝐴12 𝐴13 𝐴14
𝐴21 𝐴22 𝐴23 𝐴24
𝐴31 𝐴32 𝐴33 𝐴34
𝐴41 𝐴42 𝐴43 𝐴44
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
=
𝑟1
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝐴11𝑥1 + 𝐴12𝑥2 + 𝐴13𝑥3 + 𝐴14𝑥4 = 𝑟1
𝐴21𝑥1 + 𝐴22𝑥2 + 𝐴23𝑥3 + 𝐴24𝑥4 = 𝑟2
𝐴31𝑥1 + 𝐴32𝑥2 + 𝐴33𝑥3 + 𝐴34𝑥4 = 𝑟3
𝐴41𝑥1 + 𝐴42𝑥2 + 𝐴43𝑥3 + 𝐴44𝑥4 = 𝑟4
OBS7: O algoritmo pode ser dividido em duas etapas distintas, com blocos de
comandos bem definidos:
(1) Etapa de Eliminação → Combinações Lineares para obter a Matriz Diagonal →
Eliminar (Zerar) todos os elementos (Coeficientes) Acima e Abaixo dos Pivots Aii.
(2) Etapa de Determinação Direta → Determinação Simultânea e Independente dos 
valores das incógnitas, de x1 até xn.
OBS6: Todas as operações que
impactarem as equações, impactarão,
também, a forma matricial!
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Professor: Maurício Mancini
OBS8: Como a intenção é eliminar (Zerar) os elementos Acima e Abaixo dos Pivots
Aii, em um sistema n x n, “i” variará de i = 1 até i = n e “j” variará de j = 1 até j = n,
exceto j = i.
Aplicando a um sistema 4 x 4:
Primeira etapa de eliminação: i = 1 e j = 2, 3, 4
Passo 1: i = 1 e j = 2 (Deseja-se A21 = 0) Novos elementos da equação 2:
𝐴21 = (𝐴21 −𝑀21𝐴11) = 0
𝐴22 = (𝐴22 −𝑀21𝐴12)
𝐴23 = (𝐴23 −𝑀21𝐴13)
𝐴24 = (𝐴24 −𝑀21𝐴14)
𝑟2 = (𝑟2 −𝑀21𝑟1)
𝑀21 =
𝐴21
𝐴11
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IT751 – Métodos Computacionais I – Teórica 
Professor: Maurício Mancini
Primeira etapa de eliminação: i = 1 e j = 1, 2, 3
Passo 2: i = 1 e j = 3 (Deseja-se A31 = 0)
Novos elementos da equação 3:
𝐴31 = (𝐴31 −𝑀31𝐴11) = 0
𝐴32 = (𝐴32 −𝑀31𝐴12)
𝐴33 = (𝐴33 −𝑀31𝐴13)
𝐴34 = (𝐴34 −𝑀31𝐴14)
𝑟3 = (𝑟3 −𝑀31𝑟1)
𝑀31 =
𝐴31
𝐴11
Passo 3: i = 1 e j = 4 (Deseja-se A41 = 0)
Novos elementos da equação 4:
𝐴41 = (𝐴41 −𝑀41𝐴11) = 0
𝐴42 = (𝐴42 −𝑀41𝐴12)
𝐴43 = (𝐴43 −𝑀41𝐴13)
𝐴44 = (𝐴44 −𝑀41𝐴14)
𝑟4 = (𝑟4 −𝑀41𝑟1)
𝑀41 =
𝐴41
𝐴11
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IT751 – Métodos Computacionais I – Teórica 
Professor: Maurício Mancini
Após primeira etapa de eliminação tem-se:
𝐴11 𝐴12 𝐴13 𝐴14
0 𝐴22 𝐴23 𝐴24
0 𝐴32 𝐴33 𝐴34
0 𝐴42 𝐴43 𝐴44
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
=
𝑟1
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝐴11𝑥1 + 𝐴12𝑥2 + 𝐴13𝑥3 + 𝐴14𝑥4 = 𝑟1
0𝑥1 + 𝐴22𝑥2 + 𝐴23𝑥3 + 𝐴24𝑥4 = 𝑟2
0𝑥1 + 𝐴32𝑥2 + 𝐴33𝑥3 + 𝐴34𝑥4 = 𝑟3
0𝑥1 + 𝐴42𝑥2 + 𝐴43𝑥3 + 𝐴44𝑥4 = 𝑟4
Segunda etapa de eliminação: i = 2 e j = 1, 3, 4
Passo 4: i = 2 e j = 1 (Deseja-se A12 = 0)
Novos elementos da equação 1:
𝐴11 = (𝐴11 −𝑀120 ) = 𝐴11
𝐴12 = (𝐴12 −𝑀12𝐴22) = 0
𝐴13 = (𝐴13 −𝑀12𝐴23)
𝐴14 = (𝐴14 −𝑀12𝐴24)
𝑟1 = (𝑟1 −𝑀12𝑟2)
𝑀12 =
𝐴12
𝐴22
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IT751 – Métodos Computacionais I – Teórica 
Professor: Maurício Mancini
Segunda etapa de eliminação: i = 2 e j = 1, 3, 4
Passo 5: i = 2 e j = 3 (Deseja-se A32 = 0)
Novos elementos da equação 3:
𝐴31 = (0 −𝑀320) = 0
𝐴32 = (𝐴32 −𝑀32𝐴22) = 0
𝐴23 = (𝐴33 −𝑀32𝐴23)
𝐴34 = (𝐴34 −𝑀32𝐴24)
𝑟3 = (𝑟3 −𝑀32𝑟2)
𝑀32 =
𝐴32
𝐴22
Passo 6: i = 2 e j = 4 (Deseja-se A42 = 0)
Novos elementos da equação 4:
𝐴41 = (0 −𝑀420) = 0
𝐴42 = (𝐴42 −𝑀42𝐴22) = 0
𝐴43 = (𝐴43 −𝑀42𝐴23)
𝐴44 = (𝐴44 −𝑀42𝐴24)
𝑟4 = (𝑟4 −𝑀42𝑟2)
𝑀42 =
𝐴42
𝐴22
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IT751 – Métodos Computacionais I – Teórica 
Professor: Maurício Mancini
Após segunda etapa de eliminação tem-se:
𝐴11 0 𝐴13 𝐴14
0 𝐴22 𝐴23 𝐴24
0 0 𝐴33 𝐴34
0 0 𝐴43 𝐴44
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
=
𝑟1
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝐴11𝑥1 + 0𝑥2 + 𝐴13𝑥3 + 𝐴14𝑥4 = 𝑟1
0𝑥1 + 𝐴22𝑥2 + 𝐴23𝑥3 + 𝐴24𝑥4 = 𝑟2
0𝑥1 + 0𝑥2 + 𝐴33𝑥3 + 𝐴34𝑥4 = 𝑟3
0𝑥1 + 0𝑥2 + 𝐴43𝑥3 + 𝐴44𝑥4 = 𝑟4
Terceira etapa de eliminação: i = 3 e j = 1, 2, 4
Passo 7: i = 3 e j = 1 (Deseja-se A13 = 0)
Novos elementos da equação 1:
𝐴11 = (𝐴11 −𝑀130) = 𝐴11
𝐴12 = (0 −𝑀130) = 0
𝐴13 = (𝐴13 −𝑀13𝐴33) = 0
𝐴14 = (𝐴14 −𝑀13𝐴34)
𝑟1 = (𝑟1 −𝑀13𝑟3)
𝑀13 =
𝐴13
𝐴33
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Terceira etapa de eliminação: i = 3 e j = 1, 2, 4
Passo 8: i = 3 e j = 2 (Deseja-se A23 = 0)
Novos elementos da equação 2:
𝐴21 = (0 −𝑀230) = 0
𝐴22 = (𝐴22 −𝑀230) = 𝐴22
𝐴23 = (𝐴23 −𝑀23𝐴33) = 0
𝐴24 = (𝐴24 −𝑀23𝐴34)
𝑟2 = (𝑟2 −𝑀23𝑟3)
𝑀23 =
𝐴23
𝐴33
Passo 9: i = 3 e j = 4 (Deseja-se A43 = 0)
Novos elementos da equação 4:
𝐴41 = (0 −𝑀430) = 0
𝐴42 = (0 −𝑀430) = 0
𝐴43 = (𝐴43 −𝑀43𝐴33) = 0
𝐴44 = (𝐴44 −𝑀43𝐴34)
𝑟4 = (𝑟4 −𝑀43𝑟3)
𝑀43 =
𝐴43
𝐴33
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IT751 – Métodos Computacionais I – Teórica 
Professor: Maurício Mancini
Após terceira etapa de eliminação tem-se:
𝐴11 0 0 𝐴14
0 𝐴22 0 𝐴24
0 0 𝐴33 𝐴34
0 0 0 𝐴44
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
=
𝑟1
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝐴11𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 + 𝐴14𝑥4 = 𝑟1
0𝑥1 + 𝐴22𝑥2 + 0𝑥3 + 𝐴24𝑥4 = 𝑟2
0𝑥1 + 0𝑥2 + 𝐴33𝑥3 + 𝐴34𝑥4 = 𝑟3
0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 + 𝐴44𝑥4 = 𝑟4
Quarta etapa de eliminação: i = 4 e j = 1, 2, 3
Passo 10: i = 4 e j = 1 (Deseja-se A14 = 0)
Novos elementos da equação 1:
𝐴11 = (𝐴11 −𝑀140) = 𝐴11
𝐴12 = (0 −𝑀140) = 0
𝐴13 = (0 −𝑀140) = 0
𝐴14 = (𝐴14 −𝑀14𝐴44) = 0
𝑟1 = (𝑟1 −𝑀14𝑟4)
𝑀14 =
𝐴14
𝐴44
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IT751 – Métodos Computacionais I – Teórica 
Professor: Maurício Mancini
Quarta etapa de eliminação: i = 4 e j = 1, 2, 3
Passo 11: i = 4 e j = 2 (Deseja-se A24 = 0)
Novos elementos da equação 2:
𝐴21 = (0 −𝑀240) = 0
𝐴22 = (𝐴22 −𝑀240) = 𝐴22
𝐴23 = (0 −𝑀240) = 0
𝐴24 = (𝐴24 −𝑀24𝐴44) = 0
𝑟2 = (𝑟2 −𝑀24𝑟4)
𝑀24 =
𝐴24
𝐴44
Passo 12: i = 4 e j = 3 (Deseja-se A34 = 0)
Novos elementos da equação 3:
𝐴31 = (0 −𝑀340) = 0
𝐴32 = (0 −𝑀340) = 0
𝐴33 = (𝐴33 −𝑀340) = 𝐴33
𝐴34 = (𝐴34 −𝑀34𝐴44) = 0
𝑟3 = (𝑟3 −𝑀34𝑟4)
𝑀34 =
𝐴34
𝐴44
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IT751 – Métodos Computacionais I – Teórica 
Professor: Maurício Mancini
Após quarta etapa de eliminação tem-se:
𝐴11 0 0 0
0 𝐴22 0 0
0 0 𝐴33 0
0 0 0 𝐴44
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
=
𝑟1
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝐴11𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 = 𝑟1
0𝑥1 + 𝐴22𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 = 𝑟2
0𝑥1 + 0𝑥2 + 𝐴33𝑥3 + 0𝑥4 = 𝑟3
0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 + 𝐴44𝑥4 = 𝑟4
Generalizando, para o algoritmo de eliminação, tem-se:
Para i = 1 ... i = n:
Para j = 1 ... j = n & j ≠ i:
(𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 "j")𝑛𝑜𝑣𝑎= (𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 "j")𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑎 −𝑀𝑗𝑖(𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 "i")
𝑀𝑗𝑖 =
𝐴𝑗𝑖
𝐴𝑖𝑖
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Professor: Maurício Mancini
Após quarta etapa de eliminação tem-se:
𝐴11 0 0 0
0 𝐴22 0 𝐴24
0 0 𝐴33 0
0 0 0 𝐴44
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥4
=
𝑟1
𝑟2
𝑟3
𝑟4
𝐴11𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 = 𝑟1
0𝑥1 + 𝐴22𝑥2 + 0𝑥3 + 0𝑥4 = 𝑟2
0𝑥1 + 0𝑥2 + 𝐴33𝑥3 + 0𝑥4 = 𝑟3
0𝑥1 + 0𝑥2 + 0𝑥3 + 𝐴44𝑥4 = 𝑟4
OBS9: Note que há apenas uma incógnita com coeficientes não nulo em cada uma das
equações, o que sugere a Etapa de Determinação Direta para determinar os valores das
incógnitas, de forma simultânea e independente:
(Eq. 1) → x1; (determine x1)
(Eq. 2) → x2; (determine x2)
(Eq. 3) → x3; (determine x3)
(Eq. 4) → x4. (determine x4)
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Método de Eliminação de Gauss-Jordan
(Etapa de Determinação Direta) 
Na Etapa de Determinação Direta o algoritmo requer que: i = 1 ... i = n 
𝑥1 =
𝑟1
𝐴11
Aplicando a um sistema 4 x 4:
𝑥2 =
𝑟2
𝐴22
𝑥3 =
𝑟3
𝐴33
𝑥4 =
𝑟4
𝐴44
Generalizando para um sistema n x n:
𝑥𝑖 =
𝑟𝑖
𝐴𝑖𝑖
Para i = 1 ... i = n:
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EXERCITE-SE: Resolva os exercícios propostos até aqui usando os dois
métodos apresentados neste vídeo!
−6 3 2
4 −6 1
2 3 −5
𝑇1
𝑇2
𝑇3
=
𝑄1
𝐹𝜌𝐶𝑝
− 𝑇𝑓
𝑄2
𝐹𝜌𝐶𝑝
− 𝑇𝑓
𝑄3
𝐹𝜌𝐶𝑝
Resfriamento em 3 Tanques
Aquecimento em 2 Tanques
−5 3
5 −6
𝑇1
𝑇2
=
−
𝑄1
𝐹𝜌𝐶𝑝
− 2𝑇𝑓
−
𝑄2
𝐹𝜌𝐶𝑝
− 𝑇𝑓
− 5 +
𝑉1𝑘
𝐹
1 2 1
3 − 7 +
𝑉2𝑘
𝐹
1 2
1 4 − 6 +
𝑉3𝑘
𝐹
1
1 2 3 − 6 +
𝑉4𝑘
𝐹
𝐶𝐴1𝑅𝑃
𝐶𝐴2𝑅𝑃
𝐶𝐴3𝑅𝑃
𝐶𝐴4𝑅𝑃
=
−𝐶𝐴𝑓
−𝐶𝐴𝑓
0
0
Reação em 4 CSTR
É hora de aplicar o Método Eliminação 
de Gauss com Substituição Direta e o 
Método de Gauss-Jordan!
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Baseados na determinação dos valores aproximados das incógnitas, por
meio da explicitação de uma incógnita por equação, proposição de uma
estimativa inicial do vetor de incógnitas e iterações sucessivas até
convergência, com a precisão (tolerância ao erro) definida pelo usuário.
Métodos Iterativos de Gauss-Seidel
𝑥1 =
1
𝐴11
𝑟1 − (𝐴12𝑥2 + 𝐴13𝑥3 + 𝐴14𝑥4) 𝑥2 =
1
𝐴22
𝑟2 − (𝐴21𝑥1 + 𝐴23𝑥3 + 𝐴24𝑥4)
𝑥3 =
1
𝐴33
𝑟3 − (𝐴31𝑥1 + 𝐴32𝑥2 + 𝐴34𝑥4) 𝑥4 =
1
𝐴44
𝑟4 − (𝐴41𝑥1 + 𝐴42𝑥2 + 𝐴43𝑥3)
Por exemplo, em um sistema 4 x 4
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Métodos Iterativos de Gauss-Seidel
(Critério de Convergência)
Para um sistema M x M, o Método Convergirá quando, para um dado vetor de
tolerâncias ao erro (e) e i = 1 até i = M, a diferença entre o valor da incógnita xi
nas iterações n+1 e n for menor ou igual a ei.
Para i = 1 ... i = M:
|𝑥𝑖,𝑛+1 − 𝑥𝑖,𝑛| ≤ 𝜀𝑖
Sugestão: É recomendável que ei seja, pelo menos,
uma ordem de grandeza menor do que a precisão
de medição da incógnita com a qual se relaciona.
Exemplo 1: CA = 1,2380 ± 5*10
-5 gmol/L → e = 1*10-5.
Exemplo 2: T1 = 75,00 ± 0,005
oC → e = 0,001.
Teste de
Convergência
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Métodos Iterativos de Gauss-Seidel
(Estimativa Inicial do Vetor de Incógnitas)
A estimativa inicial do vetor de incógnitas (xo) deve ser feita de forma lógica e
coerente com cada um dos problemas analisados. Quanto mais distantes dos
valores verdadeiros das incógnitas for a estimativa inicial, mais iterações serão
necessárias para o método convergir.
Sugestão: Pense como Engenheiro ou Engenheira, para fazer a estimativa inicial!
Faça propostas que correspondam ao que se pode esperar do sistema em análise.
Exemplo 1: Para o caso do problema dos 4 CSTR que estamos a estudar nesta
disciplina: CA1o = 1,000 gmol/L; CA2o = 0,800 gmol/L; CA3o = 0,500 gmol/L e
CA4o = 0,200 gmol/L, serão estimativas bem razoáveis.
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Utiliza TODOS os elementos do vetor de incógnitas da iteração n
(valores antigos), para calcular o valor do elemento xi,n+1 do vetor de
incógnitas na iteração n+1 (Tem convergência muito lenta!).
Métodos de Gauss-Seidel Original
𝑥1,𝑛+1 =
1
𝐴11
𝑟1 − (𝐴12𝑥2,𝑛 + 𝐴13𝑥3,𝑛 + 𝐴14𝑥4,𝑛)
𝑥2,𝑛+1 =
1
𝐴22
𝑟2 − (𝐴21𝑥1,𝑛 + 𝐴23𝑥3,𝑛 + 𝐴24𝑥4,𝑛)
𝑥3,𝑛+1 =
1
𝐴33
𝑟3 − (𝐴31𝑥1,𝑛 + 𝐴32𝑥2,𝑛 + 𝐴34𝑥4,𝑛)
𝑥4,𝑛+1 =
1
𝐴44
𝑟4 − (𝐴41𝑥1,𝑛 + 𝐴42𝑥2,𝑛 + 𝐴43𝑥3,𝑛)
Por exemplo, 
em um sistema 4 x 4
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Métodos de Gauss-Seidel Original
Generalizando, para um sistema M x M
Para i = 1 ... i = M:
𝑥𝑖,𝑛+1 =
1
𝐴𝑖𝑖
𝑟𝑖 − ෍
𝑗=1 & 𝑗≠𝑖
𝑗=𝑀
𝐴𝑖𝑗𝑥𝑗,𝑛
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Resolvendo o Sistema com 4 reatores CSTR
−13,00 1,00 2,00 1,00
3,00 −17,00 1,00 2,00
1,00 4,00 −16,00 1,00
1,00 2,00 3,00 −19,33
𝐶𝐴1𝑅𝑃
𝐶𝐴2𝑅𝑃
𝐶𝐴3𝑅𝑃
𝐶𝐴4𝑅𝑃
=
−10,00
−10,00
0
0
n CA1 CA2 CA3 CA4
0 1,0000 0,8000 0,5000 0,2000
1 0,9231 0,8176 0,2750 0,2121
2 0,8907 0,7923 0,2754 0,1750
3 0,8860 0,7822 0,2647 0,1708
4 0,8833 0,7802 0,2616 0,1678
5 0,8824 0,7792 0,2608 0,1670
6 0,8821 0,7789 0,2604 0,1667
7 0,8820 0,7788 0,2603 0,1666
8 0,8820 0,7788 0,2602 0,1666
9 0,8820 0,7788 0,2602 0,1666
𝑪𝑨𝒐 =
1,0000
0,8000
0,5000
0,2000
𝜺 =
10−5
10−5
10−5
10−5
𝐶𝐴1,𝑛+1 =
1
𝐴11
𝑟1 − (𝐴12𝐶𝐴2,𝑛 + 𝐴13𝐶𝐴3,𝑛 + 𝐴14𝐶𝐴4,𝑛)
𝐶𝐴2,𝑛+1 =
1
𝐴22
𝑟2 − (𝐴21𝐶𝐴1,𝑛 + 𝐴23𝐶𝐴3,𝑛 + 𝐴24𝐶𝐴4,𝑛)
𝐶𝐴3,𝑛+1 =
1
𝐴33
𝑟3 − (𝐴31𝐶𝐴1,𝑛 + 𝐴32𝐶𝐴2,𝑛 + 𝐴34𝐶𝐴4,𝑛)
𝐶𝐴4,𝑛+1 =
1
𝐴44
𝑟4 − (𝐴41𝐶𝐴1,𝑛 + 𝐴42𝐶𝐴2,𝑛 + 𝐴43𝐶𝐴3,𝑛)
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IT751 – Métodos Computacionais I – Teórica 
Professor: Maurício Mancini
Resolvendo o Sistema com 4 reatores CSTR
−13,00 1,00 2,00 1,00
3,00 −17,00 1,00 2,00
1,00 4,00 −16,00 1,00
1,00 2,00 3,00 −19,33
𝐶𝐴1𝑅𝑃
𝐶𝐴2𝑅𝑃
𝐶𝐴3𝑅𝑃
𝐶𝐴4𝑅𝑃
=
−10,00
−10,00
0
0
n CA1 CA2 CA3 CA4
0 1,0000 0,8000 0,5000 0,2000
1 0,9231 0,8176 0,2750 0,2121
2 0,8907 0,7923 0,2754 0,1750
3 0,8860 0,7822 0,2647 0,1708
4 0,8833 0,7802 0,2616 0,1678
5 0,8824 0,7792 0,2608 0,1670
6 0,8821 0,7789 0,2604 0,1667
7 0,8820 0,7788 0,2603 0,1666
8 0,8820 0,7788 0,2602 0,1666
9 0,8820 0,7788 0,2602 0,1666
𝑪𝑨𝒐 =
1,0000
0,8000
0,5000
0,2000
𝜺 =
10−5
10−5
10−5
10−5
𝐶𝐴1,𝑛+1 =
1
𝐴11
𝑟1 − (𝐴12𝐶𝐴2,𝑛 + 𝐴13𝐶𝐴3,𝑛 + 𝐴14𝐶𝐴4,𝑛)
𝐶𝐴2,𝑛+1 =
1
𝐴22
𝑟2 − (𝐴21𝐶𝐴1,𝑛 + 𝐴23𝐶𝐴3,𝑛 + 𝐴24𝐶𝐴4,𝑛)
𝐶𝐴3,𝑛+1 =
1
𝐴33
𝑟3 − (𝐴31𝐶𝐴1,𝑛 + 𝐴32𝐶𝐴2,𝑛 + 𝐴34𝐶𝐴4,𝑛)
𝐶𝐴4,𝑛+1 =
1
𝐴44
𝑟4 − (𝐴41𝐶𝐴1,𝑛 + 𝐴42𝐶𝐴2,𝑛 + 𝐴43𝐶𝐴3,𝑛)
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Professor: Maurício Mancini
Utiliza SEMPRE os elementos mais recentes do vetor de incógnitas,
para calcular os valores do elemento xi,n+1 do vetor de incógnitas na
iteração n+1 (Tem convergência mais rápida que o método
anterior!).
Métodos de Gauss-Seidel Acelerado
𝑥1,𝑛+1 =
1
𝐴11
𝑟1 − (𝐴12𝑥2,𝑛 + 𝐴13𝑥3,𝑛 + 𝐴14𝑥4,𝑛)
𝑥2,𝑛+1 =
1
𝐴22
𝑟2 − (𝐴21𝑥1,𝑛+1 + 𝐴23𝑥3,𝑛 + 𝐴24𝑥4,𝑛)
𝑥3,𝑛+1 =
1
𝐴33
𝑟3 − (𝐴31𝑥1,𝑛+1 + 𝐴32𝑥2,𝑛+1 + 𝐴34𝑥4,𝑛)
𝑥4,𝑛+1 =
1
𝐴44
𝑟4 − (𝐴41𝑥1,𝑛+1 + 𝐴42𝑥2,𝑛+1 + 𝐴43𝑥3,𝑛+1)
Por exemplo, 
em um sistema 4 x 4
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Métodos de Gauss-Seidel Acelerado
Generalizando, para um sistema M x M
Para i = 1 ... i = M:
𝑥𝑖,𝑛+1 =
1
𝐴𝑖𝑖
𝑟𝑖 − ෍
𝑗=1
𝑗<𝑖
𝐴𝑖𝑗𝑥𝑗,𝑛+1 − ෍
𝑘=𝑖+1𝑘=𝑀
𝐴𝑖𝑘𝑥𝑘,𝑛
OBS11: O primeiro somatório será igual a zero para i = 1 e o segundo
somatório será igual a zero para i = M.
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IT751 – Métodos Computacionais I – Teórica 
Professor: Maurício Mancini
n CA1 CA2 CA3 CA4
0 1,0000 0,8000 0,5000 0,2000
1 0,9231 0,8041 0,2712 0,1730
2 0,8861 0,7809 0,2614 0,1672
3 0,8824 0,7790 0,2603 0,1666
4 0,8820 0,7788 0,2602 0,1666
5 0,8820 0,7788 0,2602 0,1666
6 0,8821 0,7789 0,2604 0,1667
7 0,8820 0,7788 0,2603 0,1666
8 0,8820 0,7788 0,2602 0,1666
9 0,8820 0,7788 0,2602 0,1666
Resolvendo o Sistema com 4 reatores CSTR
−13,00 1,00 2,00 1,00
3,00 −17,00 1,00 2,00
1,00 4,00 −16,00 1,00
1,00 2,00 3,00 −19,33
𝐶𝐴1𝑅𝑃
𝐶𝐴2𝑅𝑃
𝐶𝐴3𝑅𝑃
𝐶𝐴4𝑅𝑃
=
−10,00
−10,00
0
0
𝑪𝑨𝒐 =
1,0000
0,8000
0,5000
0,2000
𝜺 =
10−5
10−5
10−5
10−5
𝐶𝐴1,𝑛+1 =
1
𝐴11
𝑟1 − (𝐴12𝐶𝐴2,𝑛 + 𝐴13𝐶𝐴3,𝑛 + 𝐴14𝐶𝐴4,𝑛)
𝐶𝐴2,𝑛+1 =
1
𝐴22
𝑟2 − (𝐴21𝐶𝐴1,𝑛+1 + 𝐴23𝐶𝐴3,𝑛 + 𝐴24𝐶𝐴4,𝑛)
𝐶𝐴3,𝑛+1 =
1
𝐴33
𝑟3 − (𝐴31𝐶𝐴1,𝑛+1 + 𝐴32𝐶𝐴2,𝑛+1 + 𝐴34𝐶𝐴4,𝑛)
𝐶𝐴4,𝑛+1 =
1
𝐴44
𝑟4 − (𝐴41𝐶𝐴1,𝑛+1 + 𝐴42𝐶𝐴2,𝑛+1 + 𝐴43𝐶𝐴3,𝑛+1)
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Professor: Maurício Mancini
n CA1 CA2 CA3 CA4
0 1,0000 0,8000 0,5000 0,2000
1 0,9231 0,8041 0,2712 0,1730
2 0,8861 0,7809 0,2614 0,1672
3 0,8824 0,7790 0,2603 0,1666
4 0,8820 0,7788 0,2602 0,1666
5 0,8820 0,7788 0,2602 0,1666
6 0,8821 0,7789 0,2604 0,1667
7 0,8820 0,7788 0,2603 0,1666
8 0,8820 0,7788 0,2602 0,1666
9 0,8820 0,7788 0,2602 0,1666
Resolvendo o Sistema com 4 reatores CSTR
−13,00 1,00 2,00 1,00
3,00 −17,00 1,00 2,00
1,00 4,00 −16,00 1,00
1,00 2,00 3,00 −19,33
𝐶𝐴1𝑅𝑃
𝐶𝐴2𝑅𝑃
𝐶𝐴3𝑅𝑃
𝐶𝐴4𝑅𝑃
=
−10,00
−10,00
0
0
𝑪𝑨𝒐 =
1,0000
0,8000
0,5000
0,2000
𝜺 =
10−5
10−5
10−5
10−5
𝐶𝐴1,𝑛+1 =
1
𝐴11
𝑟1 − (𝐴12𝐶𝐴2,𝑛 + 𝐴13𝐶𝐴3,𝑛 + 𝐴14𝐶𝐴4,𝑛)
𝐶𝐴2,𝑛+1 =
1
𝐴22
𝑟2 − (𝐴21𝐶𝐴1,𝑛+1 + 𝐴23𝐶𝐴3,𝑛 + 𝐴24𝐶𝐴4,𝑛)
𝐶𝐴3,𝑛+1 =
1
𝐴33
𝑟3 − (𝐴31𝐶𝐴1,𝑛+1 + 𝐴32𝐶𝐴2,𝑛+1 + 𝐴34𝐶𝐴4,𝑛)
𝐶𝐴4,𝑛+1 =
1
𝐴44
𝑟4 − (𝐴41𝐶𝐴1,𝑛+1 + 𝐴42𝐶𝐴2,𝑛+1 + 𝐴43𝐶𝐴3,𝑛+1)
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EXERCITE-SE: Resolva os exercícios propostos até aqui usando os dois
métodos apresentados neste vídeo!
−6 3 2
4 −6 1
2 3 −5
𝑇1
𝑇2
𝑇3
=
𝑄1
𝐹𝜌𝐶𝑝
− 𝑇𝑓
𝑄2
𝐹𝜌𝐶𝑝
− 𝑇𝑓
𝑄3
𝐹𝜌𝐶𝑝
Resfriamento em 3 Tanques
Aquecimento em 2 Tanques
−5 3
5 −6
𝑇1
𝑇2
=
−
𝑄1
𝐹𝜌𝐶𝑝
− 2𝑇𝑓
−
𝑄2
𝐹𝜌𝐶𝑝
− 𝑇𝑓
Outros exercícios envolvendo
sistemas de equações algébricas
lineares apresentados nas
Avaliações Continuadas anteriores.
É hora de aplicar o Método Gauss-Seidel
Original e o Método de Gauss-Seidel
Acelerado e comparar os resultados!
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