Aula_07_Estabilidade de sistemas

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Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
Professora: Poliana Pastorele da Silva Quirino
Análise de Sistemas Lineares
Entendendo a malha...
❖O Comportamento da Malha Fechada:
𝑌 𝑠 =
𝐺𝑝 𝑠 𝐺𝑓 𝑠 𝐺𝑐 𝑠
1+𝐺𝑝 𝑠 𝐺𝑓 𝑠 𝐺𝑐 𝑠 𝐺𝑚 𝑠
𝑌𝑠𝑝(𝑠)+ 
𝐺𝑑(𝑠)
1+𝐺𝑝 𝑠 𝐺𝑓 𝑠 𝐺𝑐 𝑠 𝐺𝑚(𝑠)
D(s)
Gc(s)
Gd(s)
Gm(s)
Gf(s) Gp(s)
controlador elemento final 
de controle
processo
equipamento de medida
e(s) c(s) m(s)
ym(s)
d(s)
ysp(s)
+
-
+
+ y(s)
Análise de Estabilidade
❖A presença de medidores, controladores e elementos finais de
controle mudam as características dinâmicas de um processo.
❖ Processos não oscilatórios → podem oscilar
❖ Processos oscilatórios → podem ficar instáveis
Projeto do sistema de controle  Estabilidade
Análise da Estabilidade
❖Conceito Geral:
❖Estabilidade BIBO (Bounded Input-Bounded
Output):
❖ Um sistema linear (sem restrições) é dito ser estável se,
para todo sinal de amplitude limitada aplicado em sua
entrada, o sinal de saída é também limitado (Ex: degrau,
pulso, mas não a rampa).
❖ Caso contrário, é instável, ou seja, a amplitude do sinal de
saída tenderá a crescer indefinidamente com o passar do
tempo.”
Análise de Estabilidade
Para que uma malha de controle ou uma malha aberta seja estável, 
todos os pólos da função de transferência devem ser números reais 
negativos ou complexos com parte real negativa.
)s(P
)s(Q
)s(G =❖Função de Transferência
❖Zeros: raízes do polinômio Q(s), numerador
❖Pólos: raízes do polinômio P(s), denominador
❖A partir dos pólos podemos determinar as características qualitativas
da resposta do sistema a uma entrada em particular sem cálculos
adicionais.
Estabilização de um processo instável com 
controle P
❖Malha aberta:
❖Malha fechada:
)s(d
1s
5
)s(m
1s
10
)s(y
−
+
−
=
1
1 10 0; 
10
−  c cK KSe  Sistema estável
)K101(s
5
)s(ysp
)K101(s
K10
)s(y
cc
c
−−
+
−−
= d(s)
Equação característica
❖Resposta em malha fechada de um sistema de controle
feedback
❖Só depende dos elementos da malha;
❖Válida para mudança em qualquer das entradas (ysp(s) ou
d(s));
❖Fatorando,
)s(d
)s(Gm)s(Gc)s(Gf)s(Gp1
)s(Gd
)s(ysp
)s(Gm)s(Gc)s(Gf)s(Gp1
)s(Gc)s(Gf)s(Gp
)s(y
+
+
+
=
Equação característica
0GpGfGcGm1 =+
)pns).....(2ps)(1ps(GpGfGcGm1 −−−=+
Um sistema de controle feedback é estável se todas as raízes da sua 
equação característica têm parte real negativa.
Equação característica
❖ Regiões de estabilidade no plano complexo das raízes da
equação característica
Critério de Estabilidade de Routh
❖ Método para investigação da estabilidade de um sistema linear
❖ Avalia se há e quantas são as raízes positivas
❖ Não é necessário resolver o polinômio (não precisa calcular as raízes)
❖ Escrendo a equação característica na forma polinomial,
❖ Primeiro teste:
❖ Se qualquer dos coeficientes a1, a2, ..., an-1, an é negativo, existe pelo
menos uma raiz da equação característica que tem parte real positiva
e o sistema correspondente é instável.
0asa...sasaGpGfGcGm1 n1n
1n
1
n
0 =++++=+ −
− a0 deve ser positivo
)s(d
)s(Gm)s(Gc)s(Gf)s(Gp1
)s(Gd
)s(ysp
)s(Gm)s(Gc)s(Gf)s(Gp1
)s(Gc)s(Gf)s(Gp
)s(y
+
+
+
=
Critério de Estabilidade de Routh
❖ Segundo teste:
❖ Se todos os coeficientes são positivos  matriz de Routh
Todos positivos,
Sistema estável
Algum elemento é negativo?
❖ Número de mudanças de sinal = número de raízes 
à direita do eixo imaginário
❖ Ao menos uma raiz à direita do eixo imaginário
 sistema é instável
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
❖ 1º passo: D(s) = 𝑠4+2𝑠3 + 3𝑠2 + 4𝑠 + 5
❖ 2º passo: todos coeficientes de D(s) são positivos, portanto nada se
pode concluir;
❖ 3º passo: construir arranjo de Routh-Hurwitz
❖ Exemplo 1: Seja Estude 
sua estabilidade pelo critério de R-H.
𝐺 𝑠 =
2𝑠 + 1
𝑠4 + 2𝑠3 + 3𝑠2 + 4𝑠 + 5
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
❖Exemplo 2: Determine se o sistema é estável ou
instável:
𝐺 𝑠 =
𝑠2 + 𝑠 − 1
𝑠3 + 3𝑠2 − 𝑠 + 5
❖ 1º passo: D(s) = 𝑠3+3𝑠2 − 𝑠 + 5
❖ 2º passo: existe um coeficiente negativo na presença de outro positivo, logo
o sistema é instável e não precisa ir ao passo seguinte (arranjo de Routh-
Hurwitz).
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
❖Exemplo 3: Estude a estabilidade do sistema.
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
❖Exemplo 4: Estude a estabilidade do sistema.
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
❖CASOS ESPECIAIS
❖Casos em que há zeros na primeira coluna.
❖ Pode-se considerar dois casos:
❖ 1. Há um zero na primeira coluna, porém alguns elementos na
linha que ocorre o zero são não nulos
❖ 2. Há um zero na primeira coluna e todos os elementos na linha
que ocorre o zero também são nulos
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
❖Caso 1 - Zero na primeira coluna, porém alguns
elementos na linha que ocorre o zero são não nulos
❖ substituiu-se o primeiro elemento da linha, que é zero, por um
parâmetro épsilon, (ε), que poderá ser negativo ou positivo
❖ Faz-se então este valor tender a zero para valores positivos ou
negativos, após o que o sinais dos elementos na primeira coluna
podem ser determinados.
❖Exemplo:
❖ Estude a estabilidade de:
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
Comece definindo a tabela de
Routh abaixo da linha onde
aparece um zero apenas na
primeira coluna (a linha de s3).
Em seguida, substitua por um
número pequeno ε, e complete
a tabela.
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
❖ Sendo ε>0, a tabela a seguir indicará uma mudança de sinal da linha s3 para a
linha s2, e haverá uma outra mudança de sinal da linha s2 para a linha s1.
Assim, o sistema é instável e possui dois pólos no semiplano da direita.
❖ De modo alternativo, se ε<0, de acordo com a última coluna da tabela abaixo:
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
❖ Exercício: Estude a estabilidade de:
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
❖Exercício: Estude a estabilidade do sistema a
seguir:
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
❖Caso 2 - Linha com todos os elementos nulos
❖ Este problema é superado usando um polinômio auxiliar, P(s), que é a
equação da linha que precede a linha de zeros (a ordem do polinômio
auxiliar é sempre par)
❖ Deriva-se então o polinômio auxiliar em relação a s.
❖Exemplo 1 :
❖ D(s) =
❖Exemplo 2:
𝑠5+2𝑠4 + 24𝑠3 + 48𝑠2 + 25𝑠 + 50
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
❖Exemplo 5: Determine o intervalo de k, ganho do
controlador, para o qual o sistema realimentado seja
estável.
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
❖A F.T.M.F. é dada por:
1ºpasso: D(s)=s3+5s2+(k-6)s +k
2ºpasso: Para que todos os coeficientes sejam positivos:
❖ Note que não é possível obter os pólos de H(s) usando a calculadora.
❖ Usemos o método de Routh-Hurwitz:
❖ k- 6 >0 ⇒ k > 6 e k >0
❖ Logo: k > 6 satisfaz (I)
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
❖ Para que os elementos da 1ª coluna sejam todos positivos, é necessário
que:
3º passo:
(II)
e
(III)
❖ Logo, para k>7,5 o sistema será estável.
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
❖Exercício: Encontre a faixa de K tal que o sistema
abaixo seja estável:
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
❖Exercício: Determinar a faixa de valores de K para
a qual o sistema a seguir é estável:
Critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
❖Exercício: Investigue a estabilidade desse sistema: