Lista 10 Cônicas Jaime

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
Lista de Exerćıcios de Geometria Anaĺıtica
Prof. Jaime Velasco
LISTA 10 – Cônicas
Elipse
1. Determinar a equação reduzida da elipse sabendo que
(a) C = (0, 0), eixo maior horizontal, distância focal 6 e excentricidade e = 3/5;
(b) C = (0, 0), eixo maior vertical, eixo menor medindo 10 e excentricidade e =
12
13
;
(c) C = (0, 0), eixo maior horizontal, eixo menor medindo 6 e passa pelo ponto P = (−2
√
5, 2);
(d) C(0, 0), eixo menor horizontal, e =
1
2
e passa pelo ponto P =
(
9
2
, 3
)
;
(e) focos F1 = (3, 2) e F2 = (3, 8) e eixo maior medindo 8;
(f) seus vértices são A1 = (−2, 2), A2 = (4, 2), B1 = (1, 0) e B2 = (1, 4);
(g) dois vértices são (7, 2) e (1, 2) e seu eixo menor mede 2;
(h) C = (0, 0), eixo maior horizontal, distância focal 8 e P = (
√
15,−1) pertence à elipse.
2. Determinar a equação da elipse de centro C = (3, 1), com um dos extremos do eixo maior em A =
(3,−2) e excentricidade e = 1
3
.
3. Determinar a equação da elipse de centro em C = (−2, 1), sabendo que e = 3
5
e que seu eixo maior é
horizontal de comprimento 20.
4. Determinar a equação da elipse de centro C = (4, 1), com um foco F1 = (1, 1) e excentricidade e =
1
3
.
5. Determinar a equação da elipse de vértices A1 = (1, 8) e A2 = (1,−4) e excentricidade e =
2
3
.
6. Determinar a equação reduzida da elipse de focos F1 = (−1,−3) e F2 = (−1, 5) e excentricidade
e =
2
3
.
7. Determinar a equação da elipse de excentricidade
3
5
, cujos focos são pontos da reta y = 1 e sendo
B = (−2, 9) um dos extremos do seu eixo menor.
8. A uma elipse de excentricidade
1
3
, circunscreve-se um retângulo de lados paralelos aos eixos dessa elipse.
Calcular a área do retângulo, sabendo que seu peŕımetro é 8(3 + 2
√
2).
9. O centro de uma elipse é a origem. O eixo maior é vertical e mede o dobro do comprimento do eixo
menor. Sabendo que a elipse passa pelo ponto P =
(√
7
2
, 3
)
, determinar sua equação reduzida.
10. Uma elipse é tangente ao eixo x no ponto A = (3, 0) e ao eixo y no ponto B = (0,−4). Determinar
a equação reduzida dessa elipse, sabendo que seus eixos são paralelos aos eixos coordenados.
11. Para cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas dos vértices, focos, centro, comprimen-
tos dos eixos maior e menor, distância focal e excentricidade. Esboçar essas elipses.
(a)
x2
100
+
y2
36
= 1; (e) 16x2 + 25y2 + 32x− 100y − 284 = 0;
(b) 9x2 + 5y2 = 45; (f) 4x2 + 3y2 + 32x + 24y + 64 = 0;
(c) 4x2 + y2 = 1; (g) 4x2 + 9y2 − 48x + 72y + 144 = 0;
(d) 25x2 + 16y2 + 50x + 64y − 311 = 0; (h) 18x2 + 7y2 − 108x + 28y + 64 = 0.
RESPOSTAS
1.
(a)
x2
25
+
y2
16
= 1; (c)
x2
36
+
y2
9
= 1; (e)
(x− 3)2
7
+
(y − 5)2
16
= 1; (g)
(x− 4)2
9
+
(y − 2)2
1
= 1;
(b)
x2
25
+
y2
169
= 1; (d)
x2
27
+
y2
36
= 1; (f)
(x− 1)2
9
+
(y − 2)2
4
= 1; (h)
x2
20
+
y2
4
= 1.
2.
(x− 3)2
8
+
(y − 1)2
9
= 1 3.
(x + 2)2
100
+
(y − 1)2
64
= 1 4.
(x− 4)2
81
+
(y − 1)2
72
= 1
5.
(x− 1)2
20
+
(y − 2)2
36
= 1 6.
(x + 1)2
20
+
(y − 1)2
36
= 1 7.
(x + 2)2
100
+
(y − 1)2
64
= 1
8. A = 96
√
2 9.
x2
4
+
y2
16
= 1 10.
(x− 3)2
9
+
(y + 4)2
16
= 1
11. (a) C = (0, 0), A1 = (10, 0), A2 = (−10, 0), B1 = (0, 6), B2 = (0,−6), F1 = (8, 0), F2 = (−8, 0), eixo maior:
20, eixo menor: 12, distância focal: 16, e =
4
5
(b) C = (0, 0), A1 = (0, 3), A2 = (0,−3), B1 = (
√
5, 0), B2 = (−
√
5, 0), F1(0, 2), F2(0,−2), eixo maior: 6,
eixo menor: 2
√
5, distância focal: 4, e =
2
3
(c) C = (0, 0), A1 = (0, 1), A2 = (0,−1), B1 =
(
1
2
, 0
)
, B2 =
(
−1
2
, 0
)
, F1 =
(
0,
√
3
2
)
, F2
(
0,−
√
3
2
)
, eixo
maior: 2, eixo menor: 1, distância focal:
√
3, e =
√
3
2
(d) C = (−1,−2), A1 = (−1, 3), A2 = (−1,−7), B1 = (3,−2), B2 = (−5,−2), F1 = (−1, 1), F2 = (−1,−5),
eixo maior: 10, eixo menor: 8, distância focal: 6, e =
3
5
(e) C = (−1, 2), A1 = (4, 2), A2 = (−6, 2), B1 = (−1, 6), B2 = (−1,−2), F1 = (2, 2), F2(−4, 2), eixo maior:
10, eixo menor: 8, distância focal: 6, e =
3
5
(f) C = (−4,−4), A1 = (−4, 0), A2 = (−4,−8), B1 = (−4+
√
12,−4), B2 = (−4−
√
12,−4), F1 = (−4,−2),
F2 = (−4,−6), eixo maior: 8, eixo menor: 2
√
12, distância focal: 4, e =
1
2
(g) C = (6,−4), A1 = (12,−4), A2 = (0,−4), B1 = (6,−8), B2 = (6, 0), F1 = (6 +
√
20,−4), F2 =
(6−
√
20,−4), eixo maior: 12, eixo menor: 8, distância focal: 2
√
20, e =
√
5
3
(h) C = (3,−2), A1 = (3,−2 +
√
18), A2 = (3,−2 −
√
18), B1 = (3 +
√
7,−2), B2 = (3 −
√
7,−2), F1 =
(3,−2 +
√
11), F2 = (3,−2−
√
11), eixo maior: 2
√
18, eixo menor: 2
√
7, distância focal: 2
√
11, e =
√
11√
18
Elipses da questão 11
(a)
A1A2 F1F2
B1
B2
(b)
A1
A2
F1
F2
B1B2
(c)
A1
A2
F1
F2
B1 B2
(d)
A1
A2
F1
F2
B1B2
(e)
B1
B2
F2 F1
A1A2
(f)
A1
A2
F1
F2
B1
B2
(g)
B2
B1
F2 F1
A1
A2
(h)
A1
A2
F1
F2
B1
B2
Hipérbole
12. Determinar a equação reduzida da hipérbole:
(a) de focos F1 = (0, 5) e F2 = (0,−5) e vértices A1 = (0, 3) e A2 = (0,−3);
(b) C = (0, 0), focos no eixo x e eixos real e imaginário medindo 10 e 8, respectivamente;
(c) C = (0, 0), passa pelo ponto P = (−5, 3) e é equilátera com eixo real horizontal;
(d) C = (0, 0), eixo real vertical medindo 8 e passa pelo ponto P = (6, 5);
(e) C = (0, 0) eixo real horizontal, distância focal 6 e excentricidade e =
3
2
;
(f) eixo real contido no eixo y, distância focal 52 e asśıntotas m : 5y = 12x e n : 5y = −12x;
(g) de focos F1 = (3, 4) e F2 = (3, 2) e excentricidade e = 2;
(h) de focos F1 = (−1,−5) e F2 = (5,−5), sendo que a hipérbole é equilátera;
(i) de vértices A1 = (−3,−4) e A2 = (−3, 4), sendo que a hipérbole é equilátera;
(j) C = (4, 0), eixo real contido no eixo x, distância focal 10 e eixo imaginário medindo 8;
(k) eixo real paralelo ao eixo x, centro C = (−1,−3), comprimento do eixo imaginário 4
√
5 e e =
3
2
;
(l) C = (2,−3), eixo real vertical e passa pelos pontos P = (3,−1) e Q = (−1, 0);
13. O centro de uma hipérbole é a origem e seu eixo real está contido no eixo y. Determinas sua equação
reduzida, sabendo que seus vértices são A1 = (0, 2) e A2 = (0,−2) e que suas asśıntotas são m : 4y = x
e n : 4y = −x.
14. Determinar a equação da hipérbole cujas asśıntotas são m : 2x − y − 1 = 0 e n : 2x + y − 3 = 0,
sabendo que seu eixo real é horizontal e que ela passa pelo ponto P = (4, 6).
15. Determinar a equação da hipérbole cujas asśıntotas são m : 3x− 4y + 16 = 0 e n : 3x + 4y − 16 = 0,
sabendo que seu eixo real é vertical e que ela passa pelo ponto P = (
16
3
, 9).
16. Determinar a equação reduzida da hipérbole, cujo eixo real tem por extremos os focos da elipse
16x2 + 25y2 = 625 e cuja excentricidade é o inverso da excentricidade da elipse dada.
17. Os focos de uma hipérbole coincidem com os focos da elipse 9x2 + 25y2 = 225. Determinar a equação
reduzida dessa hipérbole, sabendo que sua excentricidade vale 2.
18. Determinar a equação reduzida de uma elipse, cujos vértices coincidem com os focos da hipérbole
64x2 − 36y2 = 2304 e cujos focos são os vértices dessa hipérbole.
19. Para cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas dos vértices, focos, centro, comprimen-
tos dos eixos real e imaginário, distância focal, excentricidade e equações das asśıntotas. Esboçar essas
hipérboles (com as asśıntotas).
(a)
x2
100
− y
2
64
= 1; (f) x2 − 4y2 + 6x + 24y − 31 = 0;
(b) 9x2 − 16y2 = 144; (g) 16x2 − 9y2 − 64x− 18y + 199 = 0;
(c) 4x2 − 5y2 + 20 = 0; (h) 9x2 − 4y2 − 54x + 8y + 113 = 0;
(d) x2 − y2 = 1; (i) 9x2 − 4y2 + 18x− 24y − 63 = 0;
(e) x2 − y2 + 6x + 25 = 0; (j) 5x2 − 4y2 + 10x− 24y − 111 = 0.
RESPOSTAS
12.
(a)
y2
9
− x
2
16
= 1; (e)
x2
4
− y
2
5
= 1; (i)
y2
16
− (x + 3)
2
16
= 1;
(b)
x2
25
− y
2
16
= 1; (f)
y2
576
− x
2
100
= 1; (j)
(x− 4)2
9
− y
2
16
= 1;
(c)
x2
16
− y
2
16
= 1; (g)
(y − 3)2
1
4
− (x− 3)
2
3
4
= 1; (k)
(x + 1)2
16
− (y + 3)
2
20
=1;
(d)
y2
16
− x
2
64
= 1; (h)
(x− 2)2
9
2
− (y + 5)
2
9
2
= 1; (l)
(y + 3)2
27
8
− (x− 2)
2
27
5
= 1.
13.
y2
4
− x
2
64
= 1 14.
(x− 1)2
11
4
− (y − 1)
2
11
= 1 15.
(y − 4)2
9
− x
2
16
= 1
16.
x2
225
16
− y
2
25
= 1 17.
x2
4
− y
2
12
= 1 18.
x2
100
+
y2
64
= 1
19. (a) C = (0, 0), A1 = (10, 0), A2 = (−10, 0), F1 = (2
√
41, 0), F2 = (−2
√
41, 0), B1 = (0, 8), B2 =
(0,−8), eixo real: 20, eixo imag.: 16, distância focal: 4
√
41, e =
√
41
5
, eq. das ass.: y = ±4
5
x
(b) C = (0, 0), A1 = (4, 0), A2 = (−4, 0), F1 = (5, 0), F2 = (−5, 0), B1 = (0, 3), B2 = (0,−3), eixo
real: 8, eixo imag.: 6, distância focal: 10, e =
5
4
, eq. das ass.: y = ±3
4
x
(c) C = (0, 0), A1 = (0, 2), A2 = (0,−2), F1 = (0, 3), F2 = (0,−3), B1 = (
√
5, 0), B2 = (−
√
5, 0), eixo
real: 4, eixo imag.: 2
√
5, distância focal: 6, e =
3
2
, eq. das ass.: y = ± 2√
5
x
(d) C = (0, 0), A1 = (1, 0), A2 = (−1, 0), F1 = (
√
2, 0), F2 = (−
√
2, 0), B1 = (0, 1), B2 = (0,−1), eixo
real: 2, eixo imag.: 2, distância focal: 2
√
2, e =
√
2, eq. das ass.: y = ±x
(e) C = (−3, 0), A1 = (−3, 4), A2 = (−3,−4), F1 = (−3, 4
√
2), F2 = (−3,−4
√
2), B1 = (1, 0),
B2 = (−7, 0), eixo real: 8, eixo imag.: 8, distância focal: 8
√
2, e =
√
2, eq. das ass.: y = ±(x + 3)
(f) C = (−3, 3), A1 = (−1, 3), A2 = (−5, 3), F1 = (−3+
√
5, 3), F2 = (−3−
√
5, 3), B1 = (−3, 4), B2 =
(−3, 2), eixo real: 4, eixo imag.: 2, distância focal: 2
√
5, e =
√
5
2
, eq. das ass.: (y − 3) = ±1
2
(x + 3)
(g) C = (2,−1), A1 = (2, 3), A2 = (2,−5), F1 = (2, 4), F2 = (2,−6), B1 = (5,−1), B2 = (−1,−1),
eixo real: 8, eixo imag.: 6, distância focal: 10, e =
5
4
, eq. das ass.: (y + 1) = ±4
3
(x− 2)
(h) C = (3, 1), A1 = (3, 4), A2 = (3,−2), F1 = (3, 1+
√
13), F2 = (3, 1−
√
13), B1 = (5, 1), B2 = (1, 1),
eixo real: 6, eixo imag.: 4, distância focal: 2
√
13, e =
√
13
3
, eq. das ass.: (y − 1) = ±3
2
(x− 3)
(i) C = (−1,−3), A1 = (1,−3), A2 = (−3,−3), F1 = (−1 +
√
13,−3), F2 = (−1 −
√
13,−3), B1 =
(−1, 0), B2 = (−1,−6), eixo real: 4, eixo imag.: 6, distância focal: 2
√
13, e =
√
13
2
, eq. das ass.:
(y + 3) = ±3
2
(x + 1)
(j) C = (−1,−3), A1 = (3,−3), A2 = (−5,−3), F1 = (5,−3), F2(−7,−3), B1 = (−1,−3 +
√
20),
B2 = (−1,−3 −
√
20), eixo real: 8, eixo imag.: 2
√
20, distância focal: 12, e =
3
2
, eq. das ass.:
(y + 3) = ±
√
5
2
(x + 1)
Hipérboles da questão 19
(a)
A1A2 F1F2
B1
B2
(b)
A1A2 F1F2
B1
B2
(c)
A1
A2
F1
F2
B1B2
(d)
A1A2 F1F2
B1
B2
(e)
A1
A2
F1
F2
B1B2
(f)
A1A2 F1F2
B1
B2
(g)
A1
A2
F1
F2
B1B2
(h)
A1
A2
F1
F2
B1
B2
(i)
A1A2
F1F2
B1
B2
(j)
A1A2
F1F2
B1
B2
Parábola
20. Determinar a equação reduzida da parábola:
(a) de vértice V = (6,−2), que passa pelo ponto P = (8, 2) e cujo eixo é a reta y = −2;
(b) de foco F = (3, 3) e diretriz y = 1;
(c) de vértice V = (0, 3) e diretriz x = −5;
(d) de foco F = (3, 3) e diretriz y = 5;
(e) de vértice V = (3,−6), com eixo vertical e que passa pelo ponto P = (−3,−10);
(f) de foco F = (4, 3) e diretriz y = −1;
(g) de eixo vertical, vértice V = (−3
2
, 2) e passa pelo ponto P = (−1,−1);
(h) de vértice V = (4,−1), eixo y = −1 e passa pelo ponto P = (3,−3);
(i) de foco F = (3,−1) e diretriz 2x− 1 = 0;
(j) de vértice V = (−4, 3) e foco F = (−4, 1);
(k) de vértice V = (1, 3), passa pelo ponto P = (−1,−1) e de eixo horizontal;
(l) de vértice V = (3,−2), eixo y + 2 = 0 e passa pelo ponto P = (2, 2);
(m) de foco F = (−7, 3) e diretriz x + 3 = 0;
(n) de foco F = (5, 2) e diretriz x = 7.
21. Determinar a equação da parábola que possui eixo horizontal e que passa pelos pontos A = (−5, 5),
B = (3,−3) e C = (3, 1).
22. Determinar os pontos de interseção da hipérbole x2 − 4y2 + 20 = 0 com a parábola y2 − 3x = 0.
23. Determinar as coordenadas dos pontos pertencentes a parábola y2 − 8x = 0 tais que suas distâncias à
diretriz seja igual a 4.
24. Determinar a equação da parábola de eixo vertical e que passa pelos pontos A = (0, 0), B = (2, 2) e
C = (−4, 20).
25. Seja uma elipse de centro na origem, com distância focal 8 e com eixo maior paralelo ao eixo x medindo
12. Considere uma parábola que tem por diretriz a reta que contém o eixo menor da elipse e por foco,
o foco da elipse que está a direita do centro dela. Determinar a equação reduzida dessa parábola.
26. Para cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas do vértice, foco, equações do eixo e da
diretriz e dizer para onde está a concavidade da parábola. Esboçar essas parábolas (com a diretriz).
(a) y2 − 6x = 0; (f) x2 − 6x + 9y + 63 = 0;
(b) x2 − 5y = 0; (g) y2 − 8y − 8x + 40 = 0;
(c) y2 + 4x = 0; (h) y2 + 8x + 6y − 7 = 0;
(d) y2 − 4x + 8 = 0; (i) x2 + 8x + 8y − 8 = 0;
(e) x2 − 6y − 2 = 0; (j) y2 + 4x + 2y − 15 = 0.
RESPOSTAS
20.
(a) (y + 2)2 = 8(x− 6) (f) (x− 4)2 = 8(y − 1) (k) (y − 3)2 = −8(x− 1)
(b) (x− 3)2 = 4(y − 2) (g) (x + 3
2
)2 = − 1
12
(y − 2) (l) (y + 2)2 = −16(x− 3)
(c) (y − 3)2 = 20x (h) (y + 1)2 = −4(x− 4) (m) (y − 3)2 = −8(x + 5)
(d) (x− 3)2 = −4(y − 4) (i) (y + 1)2 = 5
(
x− 7
4
)
(n) (y − 2)2 = −4(x− 6)
(e) (x− 3)2 = −9(y + 6) (j) (x + 4)2 = −8(y − 3)
21. (y + 1)2 = −4(x− 4) 22. (10,±
√
30) ou (2,±
√
6) 23. (2, 4) ou (2,−4)
24.
(
x− 1
2
)2
= y +
1
4
25. y2 = 8(x− 2)
26. (a) V = (0, 0), F =
(
3
2
, 0
)
, diretriz: 2x + 3 = 0, eixo: y = 0, CVD
(b) V = (0, 0), F =
(
0,
5
4
)
, diretriz: 4y + 5 = 0, eixo: x = 0, CVC
(c) V = (0, 0), F = (−1, 0), diretriz: x = 1, eixo: y = 0, CVE
(d) V = (2, 0), F = (3, 0), diretriz: x = 1, eixo: y = 0, CVD
(e) V =
(
0,−1
3
)
, F =
(
0,
7
6
)
, diretriz: 6y + 11 = 0, eixo: x = 0, CVC
(f) V = (3,−6), F =
(
3,−33
4
)
, diretriz: 4y + 15 = 0, eixo: x = 3, CVB
(g) V = (3, 4), F = (5, 4), diretriz: x = 1, eixo: y = 4, CVD
(h) V = (2,−3), F = (0,−3), diretriz: x = 4, eixo: y = −3, CVE
(i) V = (−4, 3), F = (−4, 1), diretriz: y = 5, eixo: x = −4, CVB
(j) V = (4,−1), F = (3,−1), diretriz: x = 5, eixo: y = −1, CVE
Parábolas da questão 26
(a)
V
F e
d
(b)
V
F
e
d
(c)
VF e
d
(d)
V F e
d
(e)
V
F
e
d
(f)
V
F
e
d
(g)
V
F
e
d
(h)
VF
e
d
(i)
V
F
e
d
(j)
VF e
d