Geometria Analítica AO2

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AO2
Entrega 19 de jun de 2022 em 23:59 Pontos 6 Perguntas 10
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0 / 0,6 ptsPergunta 1
Leia o texto a seguir, que está Disponível em
http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/projetoc/precalculo
/sala/conteudo/capitulos/cap91s7.html
(http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/projetoc/precalculo
/sala/conteudo/capitulos/cap91s7.html) Acesso em 21/04/2021.
No plano, uma reta pode ser determinada sendo conhecidos
um de seus pontos e a sua inclinação (direção). A equação da
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reta pode então ser escrita utilizando-se a forma ponto-
inclinação.
Da mesma maneira, uma reta no espaço fica determinada
quando conhecemos um de seus pontos e a sua direção. O
problema nesse caso é como determinar a direção da reta.
Esse problema é facilmente resolvido usando-se o que
aprendemos sobre vetores: a direção de uma reta, em duas ou
três dimensões, pode ser descrita de uma forma muito
conveniente por um vetor, como faremos a seguir.
Considere uma reta L, um ponto Po (xo, yo, zo ) pertencente a
L e um vetor v , paralelo a L. Determinar a equação da reta L é
equivalente a determinar as coordenadas de um ponto
arbitrário P de coordenadas ( x , y , z ) em L. Para isso, vamos
considerar os vetores ro e r , como os vetores posição de Po 
e de P , respectivamente. Isto é, se O é a origem do sistema
de coordenadas tridimensionais considerado, ro = OPo e r =
OP. veja a imagem:
 ]
De acordo com o exposto acima, considere os pontos E(-2, 3,
1) e F( -3 , 7 , 5) e uma reta designada por t, analise as
afirmações abaixo:
I. A equação da reta t, onde os pontos E e F pertencem, pode
ser dada por (x, y, z) = λ(-1, 4 , 4), onde λ é o parâmetro dessa
reta.
II. O vetor diretor dessa reta é dado pelas coordenadas (-1, 4 ,
4)
III. O valor do parâmetro λ para que o ponto de coordenadas
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(-1, -1, -3) pertença a essa reta t é -1.
IV. Essa reta têm a mesma direção do vetor diretor.
Analisando as afirmações é correto o que se afirma em:
I, II, III e IVVocê respondeuVocê respondeu
Incorreta.
Pelos pontos dados, devemos encontrar o vetor diretor
dessa equação, fazendo:
EF = F – E = (-3, 7, 5) – (-2 , 3, 1) = (-1, 4, 4)
E, considerando o ponto E, teremos como equação
vetorial da reta t
(x, y, z) = (-2, 3, 1) + λ(-1, 4, 4) o que torna a afirmativa I
incorreta.
A afirmação II está correta, pois na equação acima (-1,
4, 4) são as coordenadas do vetor diretor)
A afirmação III está correta, por que substituindo λ = -1:
(x, y, z) = (-2, 3, 1) + (-1) . (-1, 4, 4) = (-2, 3, 1) + (1, -4,
-4)
(x, y, z) = (-1, -1, -3)
A afirmação IV está correta, pois por definição a reta
dada por dois de seus pontos e que determina um vetor
diretor, ambos estão na mesma direção.
II, III e IV, apenasResposta corretaResposta correta
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0,6 / 0,6 ptsPergunta 2
Leia o texto a seguir:
A partir de conhecimentos da álgebra e da geometria, a
geometria analítica busca entender relações entre diversos
elementos no plano cartesiano. Um dos problemas é a
distância entre um ponto e uma reta. Vamos ver como resolver
esse tipo de problema? Considere o ponto P(x0,y0), o qual não
pertence a reta “r”. A fórmula da distância do ponto e a reta é: 
É importante lembrar que essa é a menor distância entre o
ponto e a reta, ou seja, é a distância cujo caminho faz um
ângulo de 90º com a reta “r”, como mostra a figura a seguir.
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A partir das informações acima a menor distância entre o ponto
P e a reta r pode ser obtida em:
I. Se r tiver uma equação do tipo ax+by+c = 0 e o ponto P
coordenadas P(x0,y0).
II. A menor distância entre P e r com P, não pertencente a r é
obtida estabelecendo uma equação para a reta r e as
coordenadas do ponto P. Logo com r: 25x +60y + 125 = 0 e
P(0,0), a menor distância é aproximadamente 2.
III. A menor distância entre P e r com P, não pertencente a r é
obtida estabelecendo uma equação para a reta r e as
coordenadas do ponto P. Logo com r: 25x +60y + 125 = 0 e
P(1,2), a menor distância é 4,15.
I, II e III.Correto!Correto!
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A afirmação I é verdadeira. A equação ax+by+c = 0 e o
ponto P, são genéricos e que a partir dessa definição,
pode-se estabelecer qualquer equação da reta r e um
ponto P de coordenadas (x,y) para determinar a menor
distância entre r e P.
A afirmação II é verdadeira, pois uma possibilidade é o
aluno elaborar uma equação da reta r: 25x +60y + 125 =
0 e fornecer as coordenadas do ponto P (0,0). A partir
da definição
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0 / 0,6 ptsPergunta 3
Considere a afirmação abaixo:
Um dos temas mais importantes estudado na Geometria
Analítica é a seção das Cônicas.
Considere as asserções abaixo:
I. Dois pontos distintos são chamados de focos da elipse, F e
F pertencentes ao plano β, sendo 2c a distância focal. Define-
se elipse dessa forma, o lugar geométrico dos pontos do plano
β, tal que a soma das distâncias de um desses pontos até F e
outro até F é maior que a distância 2c e exatamente igual a
medida do eixo maior.
 Porque
II. A excentricidade de qualquer elipse é obtida da razão pelo
semi – eixo focal e o semi-eixo maior.
A respeito das asserções acima, assinale a alternativa correta.
1 
2 
1 
2 
As asserções I e II são proposições verdadeiras.Resposta corretaResposta correta
Você respondeuVocê respondeu
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A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma
proposição verdadeira.
0,6 / 0,6 ptsPergunta 4
Considere a situação abaixo:
Uma circunferência não centrada na origem do plano
cartesiano possui coordenadas C(18,-24) cujo raio r é 20 cm.
Essa circunferência tem equação:
(x -18)² + (y + 24)² = 400Correto!Correto!
A circunferência possui centro C(a,b) e raio = r². Logo,
sua equação é definida por: (x - a)² + (y - b)² = r².
Substituindo as informações fornecidas no enunciado,
temos:
(x - 18)² + (y + 24)² = 20².
(x - 18)² + (y + 24)² = 400.
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0,6 / 0,6 ptsPergunta 5
A distância entre dois pontos quaisquer pode ser
determinada por meio do par ordenado (x,y). Sendo os
pontos P e Q e suas coordenadas (4,6) e (10, 24)
respectivamente.
Avalie as informações a seguir:
I. A distância entre os pontos P e Q é aproximadamente 5.
II. A distância entre os pontos P e Q é 20,40.
III. A distância entre os pontos P e Q é de aproximadamente
19.
É correto o que se afirma em:
III, apenas.Correto!Correto!
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0,6 / 0,6 ptsPergunta 6
Leia o texto a seguir:
Veja essas considerações sobre a Elipse:
1ª) A Terra descreve uma trajetória elíptica em torno do sol,
que é um dos focos dessa trajetória. A lua em torno da terra e
os demais satélitesem relação a seus respectivos planetas
também apresentam esse comportamento.
2ª) O cometa de Halley segue uma órbita elíptica, tendo o Sol
como um dos focos.
3ª) As elipses são chamadas cônicas porque ficam
configuradas pelo corte feito em um cone circular reto por um
plano oblíquo em relação à sua base.
Disponível em<https://www.somatematica.com.br/emedio
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/conicas/conicas1.php (https://www.somatematica.com.br
/emedio/conicas/conicas1.php) > Acesso em 10/04/2021.
Veja uma representação espacial da elipse:
Em relação ao formato das elipses podemos dizer que a sua
excentricidade é
dada pela razão entre o semieixo focal e o semieixo maior
Correto!Correto!
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A excentricidade é uma medida que determina o
achatamento ou alongamento da elipse e sua medida
está no intervalo dada por 0 < e < 1.
Para que seja medida esse achatamento ou
alongamento deve-se fazer a razão entre a medida do
semieixo “c” focal pela medida do semieixo maior “a”,
pois se a excentricidade tende para zero a elipse tende
para uma circunferência, o que significa que os focos
tendem a se concentrar no centro fazendo com que as
medidas dos semieixos menor e maior se igualem
tendendo ao diâmetro da circunferência.
 Portanto, é a razão entre o semieixo focal e o semieixo
maior dada por e = c/a
0,6 / 0,6 ptsPergunta 7
Norma de um vetor é outro nome dado ao módulo de um
vetor. Para compreender o conceito de módulo ou norma de
um vetor, é importante compreender primeiro o conceito de
módulo de um número real, pois ambos se referem ao mesmo
procedimento, mas com cálculos diferentes. Existe uma
correspondência entre os números reais e a reta numérica
chamada de biunívoca. Isso quer dizer que cada ponto da reta
numérica representa um número real e cada número real
representa um ponto da reta numérica. Além disso, essa reta
é ordenada, ou seja, os números são organizados nela de
forma crescente e da direita para a esquerda. Essas duas
características da reta numérica permitem que as distâncias
entre números reais sejam calculadas. Portanto, o módulo
entre dois números reais x e y fica definido como o valor
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absoluto da diferença entre x e y e é denotado por |x –
y|. Dessa forma, o módulo representa a distância entre dois
números reais na reta numérica.
O Módulo entre os números reais – 2 e + 4. Observe que a
definição acima é para o módulo entre dois números reais.
Quando se trata do módulo de um número real, refere-se à
distância entre esse número e 0 (zero), que é a origem da reta
numérica. Portanto, |x| é a distância entre o ponto x e o ponto 0
em uma reta numérica.
Módulo do número real +10 Tomando o plano como exemplo,
geralmente, vetores são representados partindo do ponto O =
(0,0) e terminando no ponto A = (x,y). Se esse for o caso do
vetor v, pode-se escrever que o vetor v = (x,y). Nesse
caso, para calcular o módulo do vetor v, também chamado
de norma, basta calcular seu comprimento, obtido pela
distância entre os pontos A e O.
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I e II, apenas.Correto!Correto!
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0,6 / 0,6 ptsPergunta 8
Considere a afirmação abaixo:
Dados dois pontos A (6,0,12) e B (0, 8,8) respectivamente,
chegamos nas equações paramétricas da reta no espaço R³. 
Qual dos sistemas abaixo representa as equações
paramétricas da reta?
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Correto!Correto!
A alternativa está correta A equação da reta que passa
por dois pontos pertencentes ao espaço R³ é obtida
fazendo a diferença ou a subtração vetorial entre os
pontos. Assim, temos que:
d(B – A) = (0,8,8) – (6,0,12) = (-6,8,-4)
Lembrando que as equações paramétricas são:
0,6 / 0,6 ptsPergunta 9
Leia o texto abaixo:
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Imagine que você esteja em uma aula falando sobre a reta no
espaço tridimensional R³. E num determinado momento, o
assunto é obter a equação da reta que passa por um ponto Q
pertencente ao espaço R³ e um vetor v também pertencente ao
espaço R³. Como você explicaria para uma turma que cursa
matemática, obter a equação vetorial da reta t por meio de Q e
v?
I, II e III.Correto!Correto!
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0,6 / 0,6 ptsPergunta 10
Vamos considerar a equação da cônica dada pela forma 9x –
16y = 144.
Analisando essa equação assinale a alternativa correta.
2
2
Correto!Correto!
A+
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Trata-se de uma Hipérbole com os focos sobre o eixo x de
coordenadas F1(-5, 0) e F2(5, 0) e vértice de coordenadas
V1(-4, 0) e V2( 4, 0)
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Correta.
Trazendo a equação para a forma reduzida. Para isso
dividimos essa equação pelo termo independente 144 e
obtemos:
Essa forma reduzida leva-nos a se tratar da forma
canônica 
E se tratar de uma equação de hipérbole, onde
podemos destacar:
 è 2a representa a distância entre os vértices que resulta
em 2a = 8
 è 2b representa a distância no eixo imaginário que
resulta em 2b = 6
Para obtermos a medida das distâncias entre os focos,
e consequentemente, as usa coordenadas, fazemos:
c = a + b = 4 + 3 è c = 25 è c = ± 5
Podemos notar ainda que a forma reduzida não está
indicando as coordenadas do centro, o que nos sugere
ser x = y = 0 è C(0 , 0)
Os focos são dados pelas coordenadas F1(- c , 0) e F2
(c , 0) sendo, então:
F1(-5, 0) e F2(5 , 0).
As coordenadas dos vértices são V1(-a, 0) e V2(a, 0).
Portanto: V1(-4, 0) e V2(4, 0)
Isso nos leva a crer que os focos estão sobre o eixo x,
pois as coordenadas do centro são (0 , 0) e que o valor
de a é o denominador de x .
Portanto, é uma hipérbole de com os focos sobre
eixo x, com F1(-5, 0) e F2(5, 0) e vértices V1(-4 , 0) e
V2(4, 0).
2 2 2 2 2 2
0 0 
2 2
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Pontuação do teste: 4,8 de 6
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