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Metodologia 
do Ensino de 
Matemática: 
Tratamento da 
Informação
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Luzinete de Oliveira Mendonça
Revisão Textual:
Profa. Ms. Selma Aparecida Cesarin
O que é Estatística e por que temos de nos interessar por ela? 
E o que a Combinatória e a Probabilidade tem a ver com isso?
• Tratamento da Informação: Combinatória, Probabilidade e Estatística
• Probabilidade: Do Contexto do Jogo para a Base de Diversas Ciências
• A Combinatória e a Estatística
• A Educação Estatística no Currículo de Matemática no Brasil
• A Combinatória no Currículo do Ensino Básico
• Combinatória no Ensino Médio
• A Probabilidade no Currículo do Ensino Básico
 · Compreender a Estatística como uma Ciência de Análise de Dados;
 · Identificar a especificidade do raciocínio estatístico e probabilístico;
 · Perceber a importância da probabilidade e da combinatória para 
a Estatística;
 · Observar a necessidade da Educação Estatística para o exercício 
da cidadania;
 · Compreender a literacia estatística como a habilidade de fazer a 
leitura de informações estatísticas de forma crítica;
 · Resolver situações que requerem conhecimento de Estatística, de 
Probabilidade e de Combinatória.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Olá aluno(a)!
Nesta Unidade, abordaremos alguns tópicos sobre a metodologia do ensino da 
Estatística, da Probabilidade e da Combinatória.
Iniciamos a Unidade refletindo sobre a presensa da Estatística na sociedade e 
sobre as características dos fenômenos aleatórios e os raciocínios que sua com-
preensão demanda.
No decorrer da Unidade, discutiremos a inserção dessas áreas no currículo da Edu-
cação Básica e apontaremos os conceitos e os objetivos sugeridos nos Parâmetros 
Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental e para o Ensino Médio, orien-
tações que influenciam a elaboração dos currículos em todo o território nacional.
Em meio às discussões teóricas serão sugeridas leituras e visitas a sites da web 
para ampliação de ideias ou aprofundamentos.
Participe do fórum de discussões, assista à videoaula e não se esqueça de conferir 
as datas de avaliação.
Bom estudo e sucesso!
ORIENTAÇÕES
O que é Estatística e por que temos de nos 
interessar por ela? E o que a Combinatória 
e a Probabilidade tem a ver com isso?
UNIDADE O que é Estatística e por que temos de nos interessar por ela? 
E o que a Combinatória e a Probabilidade tem a ver com isso?
Contextualização
Você tem um iPhone? Parabéns!
Você é mais inteligente que seu amigo que tem outra marca de Smartphone.
Conforme estudo recente, as pessoas mais inteligentes usam iPhones!
Verdade, erro ou manipulação da opinião pública?
O estudo faz suas conclusões baseado nos dados sobre as vendas desses aparelhos 
e na constatação de que nas regiões universitárias dos EUA os iPhones têm a 
preferências dos consumidores e que os compradores dos iPhones 5 e iPhones 6 
ganham acima de 75 mil dólares por ano.
 Fonte: http://goo.gl/ypu6Yu.
Uma discussão em português sobre esta pesquisa.
Disponível em: http://goo.gl/gwbSBT.Ex
pl
or
O que você acha da amostra pesquisada? E da conclusão do estudo? Será que 
essa é uma correlação espúria ou manipulação?
Veja porque é importante fazer uma leitura crítica sobre as informações com as 
quais você se depara!
No link que segue você pode ver uma discussão interessante sobre correlação 
espúria e uma atividade para ser desenvolvida na Educação Básica.
O desafio das correlações espúrias.
Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1084Ex
pl
or
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Tratamento da Informação: Combinatória, 
Probabilidade e Estatística
A sociedade contemporânea está imersa em informações de diversas naturezas 
e o fato de os dados tratados estatisticamente estarem presentes no dia a dia de 
todos os cidadãos levou a um amplo consenso em torno da ideia segundo a qual a 
literacia estatística deva ser uma prioridade da sociedade moderna para o exercício 
de uma cidadania com responsabilidade social.
Para Wallman (1993), apud (CARVALHO, 2003, p.43) Literacia Estatística é a capacidade para 
compreender e avaliar criticamente resultados estatísticos que permeiam a vida do dia a 
dia de qualquer cidadão bem como a capacidade de compreender as contribuições que o 
pensamento estatístico tem para as decisões públicas e privadas, profissionais e pessoais, 
sociais e políticas.
Ex
pl
or
Nesse contexto, a capacidade de compreensão e produção de argumentos quan-
titativos são fundamentais para a tomada de decisões em situações de incertezas.
Ressalta-se que os fenômenos presentes nesse cenário são muito mais aleatórios 
que determinísticos; o que exige de seus cidadãos competências cada vez mais 
complexas para compreendê-los.
Os fenômenos aleatórios não permitem fazer previsões diretas de seus resultados 
em função da incerteza que os caracterizam. Por isso, ao estudar esses fenômenos 
é preciso levar em conta essa incerteza e o contexto gerador dos dados. 
Um fenômeno aleatório é aquele que, se observado repetidamente sob as mesmas 
condições, produz resultados diferentes.Ex
pl
or
Em decorrência desse fato, pode-se obter diferentes respostas a uma mesma 
situação, de acordo com os métodos usados no processo de análise, as variáveis 
escolhidas e as amostras usadas, por exemplo.
A obtenção dos dados sobre fenômenos aleatórios pode ser feita pela observação 
direta, por consulta a registros anteriores, entrevistas, experimentos aleatórios etc. 
Experiência determinística. Experiência aleatória.
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UNIDADE O que é Estatística e por que temos de nos interessar por ela? 
E o que a Combinatória e a Probabilidade tem a ver com isso?
Tabela 1
Saber o que acontece quando um objeto redondo é solto do 
alto de uma superfície inclinada.
Saber a avaliação da população de uma cidade sobre a 
Administração Municipal.
As experiências determinísticas caracterizam-se por 
produzirem o mesmo resultado, desde que sejam repetidas 
sob as mesmas condições.
As experiências aleatórias caracterizam-se pela 
impossibilidade de prever o resultado que se obtém, ainda 
que as experiências sejam realizadas nas mesmas condições.
Fonte das imagens: iStock / Getty Images
Os dados obtidos a partir dessas experiências são tratados estatisticamente na 
busca de respostas para a questão que levou à necessidade de fazer a experiência 
para a obtenção dos dados.
As discussões anteriores nos remetem a considerar que a Educação Estatística 
deve promover condições para que os estudantes explorem situações diversifica-
das que envolvam o desenvolvimento da literacia, do raciocínio e do pensamento 
estatístico, elementos que se complementam na formação de sujeitos compe- 
tentes estatisticamente:
Enquanto literacia pode ser vista como estrita compreensão e interpretação 
da informação estatística apresentada, por exemplo, nos meios de 
comunicação social, o raciocínio pode ser visto como restrito ao trabalho 
através de ferramentas e conceitos que aprendemos durante um curso 
de Estatística. Já o pensador estatístico é capaz de avançar para além do 
que é ensinado em um curso, e questiona espontaneamente durante a 
investigação das questões e sobre os dados envolvidos em um contexto 
específico (LOPES, 2008, p.71).
Nessa perspectiva, o raciocínio estatístico está relacionado aos procedimentos 
específicos da investigação estatística, processo que é amparado pelo pensamento 
estatístico, o qual tem natureza holística, compreendendo o processo como um 
todo, sem deixar de cuidar de cada parte que o compõe e da incerteza inerente aos 
fenômenos aleatórios, o que envolve os conceitos e raciocínio da Combinatória e 
da Probabilidade.
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Desse modo, ainda que a Estatística utilize conceitos matemáticos em seu 
processo, a análise de situações que envolvem fenômenos aleatórios exige formas de 
raciocínios e tratamentos diferentes daqueles usados em situações determinísticas, 
as quais encontram no raciocínio lógico uma ferramenta fundamental que conduz 
a respostas únicas.
Tal ponderaçãopossibilita considerar um equívoco a promoção de uma 
visão determinística da realidade; no entanto, ela é predominante na Educação 
Matemática de modo geral.
A Estatística é, então, uma ciência de análise de dados, que se vale de conceitos 
matemáticos, em especial da Combinatória e da Probabilidade. Seus métodos levam 
em conta o caráter aleatório dos fenômenos com os quais lida, para quantificar a 
incerteza, valendo-se da Probabilidade.
A investigação estatística nessa perspectiva é amparada pelo raciocínio e 
pensamento estatísticos. Julgo ser pertinente aprofundar essa discussão.
Wild e Pfannkuch (1999) destacam alguns elementos, que são considerados 
essenciais para o desenvolvimento do raciocínio estatístico:
• O reconhecimento da necessidade dos dados: consiste na percepção de 
que a base da investigação estatística é a hipótese de que muitas situações da 
vida real só podem ser compreendidas a partir da análise de dados, e que estes 
devem ser coletados de forma adequada, compreendendo que as experiências 
pessoais e a intuição às vezes são insuficientes para a tomada de decisão. 
Para possibilitar o desenvolvimento desse tipo de raciocínio é preciso promover 
situações nas quais o aluno seja autônomo em um processo de investigação sobre 
situações reais, de modo que seja provocado a tomar decisões com base em dados, 
o que exige uma intervenção problematizadora e dialógica do professor;
• A transnumeração: indica a compreensão de que a troca de uma representação 
por outra pode gerar a percepção do comportamento dos dados, ou seja, um 
grupo de dados pode ter uma tendência ou regularidade melhor evidenciada 
com um determinado tipo de gráfico do que em uma tabela, e outro grupo pode 
ter nesta um recurso suficientemente esclarecedor de seu comportamento.
A linguagem gráfica é fundamental para a organização e análise de dados e, 
nesse processo, a mudança de representação é um recurso importante para a 
observação da adequação do modelo aos dados; o que pode ser favorecido pelo 
uso da tecnologia;
• A percepção da variabilidade: compreende o entendimento de que para 
fazer julgamentos a partir de dados é necessário que se tenha compreensão da 
variabilidade que existe e se transmite nos dados, além da compreensão de que 
essa variabilidade gera incerteza. Essa apreensão permite adotar estratégias 
em cada passo da investigação.
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UNIDADE O que é Estatística e por que temos de nos interessar por ela? 
E o que a Combinatória e a Probabilidade tem a ver com isso?
A variação é um comportamento inerente aos fenômenos aleatórios. Esse 
conhecimento deve ser explorado mesmo em níveis básicos da Educação. Estudantes 
do ensino fundamental podem desenvolver uma noção intuitiva de variação para 
resolver um problema, por exemplo, com o entendimento de que os dados podem 
variar dependendo da amostra observada. Além disso, a observação da dispersão 
dos dados dá indícios de variabilidade e pode ser explorada nesse nível de ensino 
por meio do gráfico ramo e folhas. No Ensino Médio, essa ideia é sistematizada 
com o estudo da variância e desvio padrão, conceitos que medem a variabilidade 
de um conjunto de dados;
• O raciocínio com modelos: esse elemento indica a consideração de que o ato 
de pensar requer o uso de modelos, sendo assim, os modelos conceituais são 
inerentes ao processo cognitivo.
No que se refere à Estatística, uma representação de dados pode ser expressa na 
forma de um gráfico, uma tabela, uma reta de regressão ou um resumo. Essas formas 
de representação se constituem em modelos representativos da realidade analisada.
Nesse sentido, Batanero (2001) considera:
[...]. a construção de modelos, sua comparação com a realidade, seu 
aperfeiçoamento progressivo envolve cada fase da resolução de problemas 
estatísticos, não só na análise de dados em situações práticas, como também 
em trabalho de desenvolvimento teórico (BATANERO, 2001, p.1).
Desse ponto de vista, os modelos são linguagens por meio das quais os 
significados dos dados podem ser visualizados;
• A integração da Estatística com o contexto: indica que os dados que serão 
observados sob a perspectiva dos conceitos estatísticos pertencem a um contex-
to e conhecê-lo é fundamental para a compreensão dos significados impressos 
nos dados. É o pensar sobre esses dados relacionando-os com o contexto que 
o gerou que possibilitará fazer juízos, perceber implicações e fazer conjecturas.
A proposta de Wild e Pfannkush (1999) para o desenvolvimento do raciocínio es-
tatístico abrange os diversos aspectos relativos à natureza dos fenômenos aleatórios e 
a um processo de investigação que põe em evidência suas especificidades. Esse pro-
cesso pressupõe um sujeito ativo, engajado na resolução de problemas autênticos.
Em Mendonça (2008) são apresentados diversos projetos, os quais foram 
desenvolvidos por alunos de duas turmas do 3º ano do Ensino Médio em que esses 
elementos foram levados em conta.
Como é possível deduzir, o desenvolvimento do raciocínio estatístico demanda 
vivência em uma vasta variedade de situações em que esses elementos sejam 
explorados. Desse ponto de vista, o trabalho com projetos com temas da realidade dos 
alunos se constitui uma forma particularmente favorável para promover condições 
para os alunos se envolverem ativamente em um processo de investigação em que 
os diversos elementos propostos por Wild e Pfannkush (1999) sejam contemplados.
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Entretanto, é frutífero promover condições para o desenvolvimento do raciocínio 
estatístico com a exploração de problemas com menor tempo de duração, a partir 
da problematização da realidade, entretanto, de natureza aberta, o que abre a 
possibilidade de os alunos empreenderem uma investigação.
Probabilidade: Do Contexto do Jogo para a 
Base de Diversas Ciências
O surgimento da probabilidade se deve à busca de compreensões acerca de 
questões ligadas aos jogos de azar. É desse contexto que surge a primeira definição 
de probabilidade.
Definição Clássica de Probabilidade
Essa definição é feita a priori, em situações em que é possível saber os 
acontecimentos possíveis e aqueles que são favoráveis a um determinado observador 
antes da ocorrência do evento.
Enunciada por Pierre Simon Laplace (1749-1827), a definição clássica de 
Probabilidade ficou conhecida como Lei de Laplace e compreende:
A probabilidade de um acontecimento “A” é igual ao quociente entre o número 
de casos favoráveis ao acontecimento e o número total de casos possíveis.
Ou seja:
P A =( ) númerodecasos favoráveis aoacontecimento A
número total decaasos possíveis
Um exemplo de situação com essa característica é o seguinte: Dada uma 
urna com 3 fichas azuis, 5 brancas e 4 pretas, se eu retiro uma ficha ao acaso, a 
probabilidade de ela ser azul é dada por: P (azul) = 
3
12
, simplificando, P(Azul) = 
1
4
A definição clássica de probabilidade apresenta duas restrições.Ela, pois, só se 
aplica em situações em que:
• os eventos são equiprováveis (têm a mesma chance de ocorrer);
• o espaço amostral é finito e pode ser definido a priori.
Entretanto, em muitas situações, o espaço amostral não é conhecido. Nesse 
caso, é necessário recorrer à experiência. Para esse tipo de situação, aplica-se a 
definição frequentista de Probabilidade, a qual considera que:
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UNIDADE O que é Estatística e por que temos de nos interessar por ela? 
E o que a Combinatória e a Probabilidade tem a ver com isso?
Para um grande número de experiências, tendo cada uma um resultado aleatório 
(mantidas as mesmas condições), a frequência relativa de cada um desses resultados 
tende a estabilizar, convergindo para um certo número, o qual se constitui a 
probabilidade desse resultado.
Nesse caso, a probabilidade é definida a posteriori (após o experimento) e o que 
se tem é uma aproximação da probabilidade de ocorrência do evento. A frequência 
de um determinado evento A, nesse caso, é dada por:
P A =
númerodeocorrência doevento A
número total de repetições
( )
Um exemplo desse tipode situação é o lançamento de uma moeda.
Figura 3
Fonte: iStock / Getty Images
A partir da efetivação de uma experiência de lançamento de uma moeda, um núme-
ro grande de vezes (acima de 1000), experiência que resultará na convergência para 
o número 
1
2
 ou próximo dele, assumimos que ao lançarmos uma moeda qualquer 
10 vezes, a probabilidade de sair cara, P(cara) = 
5
10
, simplificando, P (cara) = 
1
2
.
E na vida cotidiana? Como essa definição de probabilidade pode ser útil? 
Observemos a seguinte situação:
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O seu telefone toca. Qual a chance de ser engano?
Para responder a essa pergunta, é preciso recorrer 
a situações anteriores em que ocorreram ligações dessa 
natureza. Dependendo da frequência em que ocorrem 
enganos nas ligações recebidas nesse telefone, a 
resposta pode estar mais perto de zero (não será 
engano) ou de um (será engano).
Na tomada de decisão sobre atender ou não o 
telefone, é natural que as experiências anteriores sejam 
levadas em conta, ainda que se tenha algum grau de 
incerteza (mesmo que no dia anterior, 9 das 10 ou até 
todas – 10 das 10 – as ligações recebidas tivessem 
sido engano, não é possível afirmar que essa ligação 
também será).
Figura 4
Fonte: Fonte: iStock / Getty Images
Como se observa, o entendimento da probabilidade exige a compreensão da 
incerteza que ela representa. A essa forma de raciocinar denomina-se raciocínio 
probabilístico.
Das duas definições apresentadas, é possível determinar que a probabilidade é 
uma quantidade contínua que vai de 0 até 1 (VAN DE VALE, 2009).
Esquematicamente, tem-se:
01 
Acontecimento impossível acontecimento certo
Na linguagem matemática, supondo um acontecimento A qualquer, tem-se:
0<P(A)>1
Se A e B são dois eventos quaisquer, pode-se considerar dois novos eventos:
a) A  B: Intersecção de A e B, quando A e B ocorrem simultaneamente.
A  B só ocorre se os dois eventos forem dependentes
A B
A∩B
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UNIDADE O que é Estatística e por que temos de nos interessar por ela? 
E o que a Combinatória e a Probabilidade tem a ver com isso?
b) A U B: reunião de A e B, quando pelo menos um dos dois eventos ocorrem;
A B
Para o cálculo da probabilidade de A U B, duas situações são possíveis:
I. Quando os dois conjuntos são disjuntos (independentes),
A
3/5 1/5
B
Faz-se:P (A U B) = P (A) + P (B)
P A UB =
3
5
+
1
5
=P AUB =
4
5
( ) ( )
II. Quando os dois conjuntos são mutuamente exclusivos (dependentes).
Nesse caso, é preciso levar em conta a sobreposição dos elementos que 
compõem a interseção.
7/12 3/12 2/12
Faz-se:
P A UB =P A +P B - P A I C
P A UB =
7
12
+
2
12
-
3
12
P A UB =
6
12
=
1
2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
Sendo A um evento qualquer pertencente a um espaço amostral S, o seu evento 
complementar e dado por Ac.
14
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Graficamente, tem-se:
S Ac
A
Onde: S = A + Ac
A breve demonstração de algumas propriedades e procedimentos de cálculo 
da Probabilidade dão uma ideia da lógica inerente a esse conceito, que pode ser 
estudada no decorrer dos ciclos da Educação Básica.
Situações em que é preciso tomar decisões sob incerteza são comuns no dia a 
dia das pessoas e instituições que precisam decidir diariamente sobre oportunidades 
de compras, investimentos, produção etc., em um cenário incerto.
Em função disso, observa-se um crescente incentivo ao desenvolvimento do 
raciocínio probabilístico, tanto na Educação de modo geral, quanto nas diversas 
áreas do conhecimento, como no âmbito dos estudos de inteligência artificial 
(LOPES, 1998; SOARES; SOARES; FIORI, 2002).
Nessa perspectiva, tem-se na Probabilidade uma possibilidade de medir a 
incerteza, com uma margem de erro tão pequena quanto se queira, a partir das 
técnicas desenvolvidas nesse campo.
A margem de erro refere-se a uma estimativa de erro máximo aceitável em uma pesquisa 
por amostragemEx
pl
or
A probabilidade é uma ferramenta de fundamental importância para a Estatística, 
já que é a partir de seu surgimento que essa passa de um método de contagem na 
Antiguidade para o status de Ciência de análise de dados que é hoje.
Isso ocorre em função de a probabilidade possibilitar o tratamento estatístico em 
amostras, em substituição à população com uma perda aceitável das informações 
presentes na população.
Mas afinal, o que a Probabilidade tem a ver com a Estatística?
Sobre esse aspecto Franklin et al. (2005) propõem a seguinte comparação:
• Problema 1: Suponha que uma moeda é “honesta”.
Pergunta: Se jogar a moeda cinco vezes, quantas caras vamos ter?
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UNIDADE O que é Estatística e por que temos de nos interessar por ela? 
E o que a Combinatória e a Probabilidade tem a ver com isso?
• Problema 2: Você pega uma moeda.
Pergunta: Essa é uma moeda honesta?
O problema 1 é um problema de probabilidade matemática.
O Problema 2 é um problema de estatística que pode utilizar o modelo de 
probabilidade matemática determinado no Problema 1 como uma ferramenta para 
buscar uma solução (FRANKLIN et al., 2005, p.8).
Como é possível observar, a resolução do primeiro problema demanda o 
uso do modelo matemático de probabilidade (ao lançar uma moeda, o evento 
“cara” tem 50% de chance de ocorrer), enquanto no segundo, a probabilidade 
será usada como uma ferramenta da Estatística. Nesse caso, em cada problema 
tem-se não só abordagens diferentes, mas também diferentes tipos de raciocínios 
(FRANKLIN et al. ,2005).
A Combinatória e a Estatística
A Combinatória é uma área da Matemática que trata das situações em que seja 
necessário saber quantos eventos (combinações) são possíveis no agrupamento de 
elementos de um conjunto ou entre dois conjuntos, seja enumerando-os diretamente 
ou por meio de técnicas.
A resolução desse tipo de problema exige uma forma sistemática de raciocinar, 
que envolve a combinação dos elementos desses conjuntos.
O Raciocínio combinatório pode ser entendido como:
[...] um modo de pensar presente na análise de situações nas quais, dados 
determinados conjuntos, deve-se agrupar os elementos dos mesmos, de 
modo a atender critérios específicos (de escolha e/ou ordenação dos 
elementos) e determinar-se – direta ou indiretamente – o número total de 
agrupamentos possíveis (BORBA, 2010, p.3).
Essa forma de raciocínio está presente em situações cotidianas e de variadas áreas 
do conhecimento como Biologia, Química, Estatística, Ciências da Computação 
etc., daí a relevância de sua abordagem desde os anos iniciais de escolaridade.
O raciocínio combinatório, conforme Borba (2010) é um dos componentes do 
pensamento formal, por isso tem caráter fundamentalmente hipotético-dedutivo, 
que é a base do pensamento científico.
De modo informal é possível concluir que essa abordagem busca a verdade eliminando tudo 
o que é falso.Ex
pl
or
16
17
A autora pondera, ainda, a relevância do papel da instrução escolar no 
desenvolvimento do raciocínio combinatório das pessoas, particularmente com a 
“interação entre maturação cognitiva e experiências sociais – tantos as ocorridas 
fora da escola quanto as que se vivenciam em contextos escolares”.
No entanto, Borba (2010) alerta sobre a forma como a Combinatória tem sido 
abordada no contexto escolar.
A Combinatória está presente na Estatística de forma direta, quando é preciso 
enumerar possibilidades para a tomada de decisão sobra a escolha de uma delas, 
por exemplo, ou de forma indireta, por meio da Probabilidade, a enumeração 
de todos os casos possíveis (na definição clássica) e o número total de repetições 
(na definição frequentista), o que se constituiu no espaço amostral, o qual mostrará 
as possibilidades de ocorrência de um acontecimento. Esse resultado dará subsídios 
para a tomada de decisão no processo de investigação estatística.
As discussões apresentadas mostram que a compreensão da Estatística, enquanto 
Ciência de análise de dados requer um conhecimento amplo, o qual engloba a 
compreensão de uma linguagem específica dessa Ciência e da Lógica dos métodos 
e modelos matemáticosusados – em especial aqueles derivados da Combinatória 
e da Probabilidade.
Esse processo é particularmente complexo em função da necessidade de levarem 
em conta a incerteza característica das situações e fenômenos aleatórios. A análise 
do grau de incerteza, mostrada pela variabilidade presente nos dados, é que vai 
dar subsídio para a tomada de decisão. Além disso, a Estatística pode ser usada 
para favorecer pessoas ou instituições. Essa manipulação pode ser feita de diversas 
formas. Algumas são difíceis de serem descobertas ao observar os resultados:
• quando o instituto realiza mais entrevistas do que foi informado no registro 
da pesquisa e se faz uma seleção para alcançar o resultado pretendido e os 
demais são eliminados;
• quando o questionário usado na coleta de dados conduz a um resultado desejado.
Com Gráficos Bonitos, Imprensa Golpeia a Verdade e o Brasil
Disponível em: http://goo.gl/pQg8m3.Ex
pl
or
Além disso, existem truques usados especificamente nas pesquisas eleitorais, como:
• manipulação das pesquisas por meio da mudança dos percentuais dos candidatos 
dentro da margem de erro. Consiste em tirar pontos de um candidato e colocar 
para o outro, dentro da margem de erro.
Outras formas de manipulação envolvem a distorção de resultados, como:
• Graduação inadequada de eixos do gráfico;
• Os resultados apresentam uma coisa e a redação da discussão dos resultados 
dizem outra (SOUZA, 2009).
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UNIDADE O que é Estatística e por que temos de nos interessar por ela? 
E o que a Combinatória e a Probabilidade tem a ver com isso?
Apesar da ampliação considerável de pesquisas da Educação Estatística 
discutirem as particularidades dos conceitos da Estatística, da Combinatória e da 
Probabilidade, ainda se observa, na grande parte das salas de aula, um ensino 
pautado em procedimentos de cálculos com a resolução de exercícios fictícios que 
pouco contribuem para a formação de cidadãos competentes estatisticamente.
A Educação Estatística no Currículo de 
Matemática no Brasil
Um currículo indica os conceitos a serem abordados na escola e o objetivo de 
sua abordagem em cada etapa da formação dos alunos e, em alguma medida, dá 
orientações gerais para que esses objetivos sejam alcançados.
No Brasil, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) e os Parâmetros 
Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM) são referências para a 
elaboração dos currículos em todo o território nacional.
Os PCNs apresentam a Estatística, a Combinatória e a Probabilidade no eixo 
“Tratamento da Informação” no Ensino Fundamental I (ciclos I e II) – do 1º ao 
5º ano (BRASIL, 1997) e Ensino Fundamental II (ciclos III e IV) – do 6º ao 9º 
ano (BRASIL, 1998). A importância atribuída pelos documentos a esse bloco de 
conteúdos está relacionada à sua necessidade para o exercício da cidadania na 
contemporaneidade.
Desse modo, já nos dois primeiros ciclos, os PCN propõem a inserção das 
ideias de probabilidade (incerteza, acaso), de combinatória (princípio multiplicativo) 
e da estatística (coleta, organização, apresentação e análise de dados) de forma 
a promover condições para a construção de conhecimentos sobre a linguagem 
próprias da Estatística como as representações gráficas.
Tratamento da Informação: gráficos e estatísticas
Disponível em: https://goo.gl/nQn422.Ex
pl
or
O documento ressalta, no entanto, a relevância desse contexto para desenvolver 
o espírito científico dos alunos: “Os assuntos referentes ao Tratamento da 
Informação serão trabalhados neste ciclo de modo a estimularem os alunos a fazer 
perguntas, a estabelecer relações, a construir justificativas e a desenvolver o espírito 
de investigação” (BRASIL, 1997, p.49).
Desse modo, no que diz respeito à Estatística, já nos dois primeiros ciclos (Ensino 
Fundamental I), os PCNs indicam o objetivo de que os alunos venham a fazer: “a 
Interpretação e elaboração de listas, tabelas simples, de dupla entrada e gráficos de 
18
19
barra para comunicar a informação obtida” (BRASIL, 1997, p.54). Observa-se a 
atribuição de importância à participação no processo de coleta e organização de 
dados e na comunicação da interpretação de registros gráficos.
No III e IV ciclos (Ensino Fundamental II), os PCNs consideram:
A finalidade é fazer com que o aluno venha a construir procedimentos 
para coletar, organizar, comunicar dados, utilizando tabelas, gráficos e 
representações que aparecem frequentemente em seu dia-a-dia. Além 
disso, calcular algumas medidas estatísticas como media, mediana e 
moda com o objetivo de fornecer novos elementos para interpretar dados 
estatísticos (BRASIL, 1998, p.52, grifo meu).
Nessa consideração, a proposta de uma abordagem da Estatística é ampliada 
com a inclusão do estudo das medidas de tendência central, considerando que esses 
conceitos podem contribuir para a redução da análise de dados.
Saiba mais sobre estudo das medidas de tendência central.
Disponível em: http://goo.gl/ECuWJ7.Ex
pl
or
A Estatística no Ensino Médio, nos PCN+ está contemplada no tema gerador 
“Análise de dados” e Probabilidade, o qual envolve a Estatística, a Combinatória 
e a Probabilidade, assim como no Ensino Fundamental. A expectativa desse 
documento sobre esse tema se amplia consideravelmente em relação ao Ensino 
Fundamental, pois:
Espera-se do aluno nessa fase da escolaridade que ultrapasse a leitura de 
informações e reflita mais criticamente sobre seus significados. Assim, 
o tema proposto deve ir além da simples descrição e representação de 
dados, atingindo a investigação sobre esses dados e a tomada de decisões 
(BRASIL, 2002, p.126).
Essa perspectiva pressupõe atitude ativa e autônoma dos estudantes em uma 
dinâmica investigativa em que os conceitos da Estatística e a Probabilidade sejam 
aplicados em questões das diversas áreas do conhecimento, de modo a aprofundar 
o estudo dos conceitos dessas áreas.
Espera-se que esse processo passe pela descrição e análise de dados e pelas 
representações gráficas, além das medidas de tendência central (médias, moda e 
mediana) e de dispersão, a variância e o desvio padrão.
A proposta dos PCN+, assim como dos PCNs, é de que a Estatística seja 
explorada a partir de seu caráter interdisciplinar, característica que favorece o 
trabalho com projetos e o trabalho em grupo.
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UNIDADE O que é Estatística e por que temos de nos interessar por ela? 
E o que a Combinatória e a Probabilidade tem a ver com isso?
Essas abordagens são importantes meios de promover a comunicação, aspecto 
posto em relevo para a formação geral dos estudantes. Outro aspecto destacado 
nesses documentos é a contribuição da Estatística para a formação científica dos 
alunos (BRASIL, 2002).
A Combinatória no Currículo do 
Ensino Básico
Nos dois primeiros ciclos (Ensino Fundamental I), o estudo da contagem está cen-
trado no campo das estruturas multiplicativas (produto cartesiano) e da ideia de com-
binação de elementos de dois conjuntos com poucos elementos de forma simples.
Estatística e Combinatória no ciclo de alfabetização
Disponível em: https://goo.gl/NvOh3WEx
pl
or
Já nos ciclos finais Ensino Fundamental II, espera-se que os estudantes tenham conta-
to com situações mais complexas nas quais possam ampliar o conceito de combinatória.
Nesse nível, conforme os PCNs
O objetivo é levar o aluno a lidar com situações que envolvam diferentes 
tipos de agrupamentos que possibilitem o desenvolvimento do raciocínio 
combinatório e a compreensão do princípio multiplicativo para sua 
aplicação no cálculo de probabilidades (BRASIL, 1998, p.52).
Nesse nível de ensino, o estudo da contagem se aprofunda com os “problemas de 
contagem”, nos quais o princípio multiplicativo seja usado como ferramenta principal.
O documento considera a importância do uso desse princípio no cálculo das 
probabilidades, mas põe em relevo a contribuição do raciocínio combinatório 
para tratar situações que demandem o agrupamento de dados sem, entretanto, 
adentrar à diferenciação entre combinação (a ordem dos elementosnão gera 
novas possibilidades), arranjo (a ordem dos elementos gera novas possibilidades) 
e permutação (a ordem dos elementos gera novas possibilidades - sem repetição).
Combinatória no Ensino Médio
Nesse nível de ensino, o foco da contagem está no agrupamento de grande 
quantidade de dados ou eventos com o objetivo de simplificar cálculos, assim como 
na identificação de regularidades e a identificação de dados e relações envolvidas 
em uma situação-problema que demande o raciocínio combinatório.
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21
Nesse contexto, o PCNEM alerta para o foco no desenvolvimento do raciocínio 
combinatório em detrimento da aplicação de fórmulas: “As fórmulas devem ser 
consequência do raciocínio combinatório desenvolvido frente à resolução de 
problemas diversos e devem ter a função de simplificar cálculos quando a quantidade 
de dados é muito grande” (BRASIL, 2006, p.126).
Esse processo deve levar os alunos a estabelecer regras e propriedades em 
situações reais, simplificando os procedimentos de cálculo.
Essa ponderação refere-se a um ensino que leve os estudantes à percepção 
das fórmulas relativas à permutação, arranjo e combinação a partir do princípio 
multiplicativo.
Análise combinatória: combinação, permutação e arranjo
Disponível em: https://goo.gl/5ooPyZ.Ex
pl
or
A Probabilidade no Currículo do 
Ensino Básico
Só a partir da publicação dos PCNs é que a probabilidade passa a fazer parte de 
grande parte dos currículos das séries iniciais do Ensino Fundamental.
Nos ciclos I e II, o documento sugere que o foco seja a “Exploração da ideia 
de probabilidade em situações-problema simples, identificando sucessos possíveis, 
sucessos seguros e as situações de ‘sorte’” (BRASIL, 1997, p.61, grifos dos autores).
A vivência com a resolução de situações dessa natureza passa pelo desenvolvimento 
do raciocínio probabilístico, que requer habilidade de compreensão da incerteza.
O Ensino da Estatística e da Probabilidade na Educação Básica e a Formação dos Professores
Disponível em: http://goo.gl/00sT5C.Ex
pl
or
Inicia-se nessa fase também a inserção de termos específicos da probabilidade 
de forma a ampliar o vocabulário dos alunos a cada ano. Além disso, eles devem 
participar de experiências autênticas de geração e análise de ocorrência de eventos 
aleatórios do universo infantil em que tenham que avaliar a ocorrência de um 
evento aleatório (com certeza, talvez, impossível).
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UNIDADE O que é Estatística e por que temos de nos interessar por ela? 
E o que a Combinatória e a Probabilidade tem a ver com isso?
 Essas vivências são relevantes para preparar os estudantes para os estudos 
futuros de Probabilidade, pois já no Ensino Fundamental II o documento apresenta 
como objetivo:
A principal finalidade é a de que o aluno compreenda que muitos dos 
acontecimentos do cotidiano são de natureza aleatória e que se podem 
identificar possíveis resultados desses acontecimentos e até estimar o grau 
da possibilidade acerca do resultado de um deles. As noções de acaso 
e incerteza, que se manifestam intuitivamente, podem ser exploradas 
na escola, em situações em que o aluno realiza experimentos e observa 
eventos (em espaços equiprováveis) (BRASIL, 1998, p.52).
Como é possível observar, essa perspectiva pressupõe a participação ativa 
dos estudantes na geração de dados em experiências autênticas. Essa condição 
é relevante em função de ela ampliar as condições para o desenvolvimento de 
uma forma específica de raciocinar, levando em conta a incerteza inerente aos 
fenômenos aleatórios.
Essa mesma recomendação permanece no Ensino Médio quando o cálculo 
de probabilidades é visto como uma forma de prever resultados de situações ou 
fenômenos naturais, científicos, tecnológicos e sociais, às quais envolvem a incerteza.
Além disso:
Os alunos necessitam também dominar a linguagem de eventos, 
levantar hipóteses de equiprobabilidade, associar a estatística dos 
resultados observados e as frequências dos eventos correspond-
entes, e utilizar a estatística de tais frequências para estimar a prob-
abilidade de um evento dado (BRASIL, 2006, p.80).
Nessa afirmação, observa-se a recomendação para a abordagem da definição 
frequentista de probabilidade e a relevância de um sujeito ativo em um processo de 
investigação em que ele tenha de buscar compreensões com base de dados.
Desse modo, apesar de a Estatística, a Combinatória e a Probabilidade serem 
tratadas individualmente nos Parâmetros Curriculares brasileiros, há a indicação de 
integração da Combinatória com a Probabilidade em todo o Ensino Básico.
Essa evidência pode ser observada na consideração do uso da contagem de “casos 
possíveis” na construção do espaço amostral, que será a base para a determinação 
da possiblidade de sucesso (probabilidade).
Há também a sugestão do PCN de alertar para a integração da Probabilidade 
com a Estatística.
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Como mentir com a Estatística
DARREL, H. Como mentir com a Estatística. Edições Financeiras. Editora: Edioro, 
1968. Tradução por: Alda B. S. Campbell.
Nesse livro Darrell Huff mostra como estatísticas, gráficos e pesquisas podem ser 
manipuladas para a criação de verdades completamente infundadas.
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UNIDADE O que é Estatística e por que temos de nos interessar por ela? 
E o que a Combinatória e a Probabilidade tem a ver com isso?
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