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MA12 - Unidade 19
Espaço Amostral Infinito
Paulo Cezar Pinto Carvalho
PROFMAT - SBM
4 de Abril de 2014
O espaço amostral pode ser infinito
A e B lançam sucessivamente um par de dados até que um deles
obtenha soma de pontos 7 e vença o jogo. Se A é o primeiro a
jogar, qual é a probabilidade de ser o vencedor?
A probabilidade de obter soma 7 é 636 =
1
6 e a de não ser soma 7 é
1 − 16 =
5
6 ·.
Para A ganhar, ou A ganha na primeira mão, ou na segunda, ou na
terceira, etc.
A probabilidade de A ganhar na primeira mão é 16 .
A probabilidade de A ganhar na segunda mão é ( 56 )
2 · 16 .
(nem A nem B podem obter soma 7 na primeira mão e A deve
obter soma 7 na segunda mão).
A probabilidade de A ganhar na terceira mão é ( 56 )
4 · 16 , e
assim por diante.
A probabilidade de A ganhar é
1
6 + (
5
6 )
2 · 16 + (
5
6 )
4 · 16 + · · · =
1
6
1−( 56 )2
= 611 .
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O espaço amostral pode ser infinito
Selecionam-se ao acaso dois pontos em um segmento de tamanho
1, dividindo-o em três partes. Determine a probabilidade de que se
possa formar um triângulo com essas três partes.
Para que exista um triângulo de lados x , y − x e 1 − y devemos ter
x < y − x + 1 − y
y − x < x + 1 − y
1 − y < x + y − x .
Isto é equivalente a
x < 0, 5
y < x + 0, 5
y > 0, 5.
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Continuação
Escolher x e y pertencentes a [0, 1], com x 6 y , equivale a escolher
um ponto (x , y) no triângulo T da figura abaixo.
O triângulo existirá se e somente se o ponto (x , y) satisfaz x < 0, 5,
y < x + 0, 5 e y > 0, 5, o que corresponde à parte sombreada do
triângulo T .
A probabilidade de A = “as três partes formam um triângulo” é
proporcional à área da parte sombreada. Logo,
P(A) = P(A)P(S) =
área sombreada
área de T =
1
4 ·
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