SIMULADO_2-Calculo de Multiplas Variaveis-2023.1

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12/06/2023, 13:14 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_avaliacao_parcial_resultado.asp?cod_hist_prova=311085134&cod_prova=6421954394&f_cod_disc=… 1/9
 
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Simulados
Teste seu conhecimento acumulado
Disc.: CÁLCULO DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS   
Aluno(a): LUIZ HENRIQUE DA SILVA SORIANO 202004142917
Acertos: 5,0 de 10,0 05/06/2023
Acerto: 1,0  / 1,0
 Qual é o valor de   para que a função   seja contínua em t = 0? 
 
Respondido em 05/06/2023 10:57:41
Explicação:
A resposta certa é 
Acerto: 0,0  / 1,0
A área de�nida pela equação   , para o intervalo 0 <   <   , com   > 0, vale   . Qual é o valor
de   ?
  
 
  
 
 
Respondido em 05/06/2023 10:56:31
→G (0) →G (t) = ⟨ ,   ,   ⟩e
t
t+1
√t+1 −1
t
2 sen t
t
⟨1,   ,  2⟩1
2
⟨1,  2,  1 ⟩
⟨2,   − ,  1 ⟩1
2
⟨1,  0,  0 ⟩
⟨0,   ,  2⟩1
2
⟨1,   ,  2⟩1
2
ρ  = cos 3θ θ κ κ π
16
κ
π
4
π
8
π
2
π
16
π
32
 Questão1
a
 Questão2
a
https://simulado.estacio.br/alunos/inicio.asp
javascript:voltar();
12/06/2023, 13:14 Estácio: Alunos
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Explicação:
A resposta correta é 
Acerto: 0,0  / 1,0
Com a regra da cadeia, podemos determinar como pequenas mudanças nas variáveis independentes afetam a
função composta. Sejam as funções , e , calcule
.
 4.
2.
 1.
3.
0.
Respondido em 05/06/2023 11:06:14
Explicação:
Sabemos que:
Aplicando a regra da cadeia:
Calculando as derivadas:
Voltando:
Para o , temos:
π
4
f(x, y) = exy, g(t) = cos t h(t) = sen t F(t) = f(g(t),h(t))
F ′(0)
f(x, y) = exy
g(t) = x(t) = cos t
h(t) = y(t) = sen t
F(t) = f(x(t), y(t))
= ⋅ + ⋅
dF
dt
∂f
∂x
dx
dt
∂f
∂y
dy
dt
= exy ⋅ y = yexy
= exy ⋅ x = xexy
= − sen t
= cos t
∂f
∂x
∂T
∂y
dx
dt
dy
dt
= ⋅ + ⋅ = yexy ⋅ (− sen t) + xexy ⋅ cos t = exy(−y sen t + x cos t)
= exy(−y sen t + x cos t)
dF
dt
∂f
∂x
dx
dt
∂f
∂y
dy
dt
dF
dt
t = 0
x(t) = cos t = cos 0 = 1
y(t) = sen t = sen 0 = 0
 Questão3
a
12/06/2023, 13:14 Estácio: Alunos
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Calculando a derivada:
Logo,
Acerto: 0,0  / 1,0
A regra da cadeia é amplamente aplicada em áreas como física, engenharia, economia e ciências naturais, onde
muitos fenômenos são descritos por funções de várias variáveis. Uma placa de metal tem sua temperatura dada
por , onde e são medidos em centímetros e um objeto está no ponto .
A trajetória do objeto em cada instante (segundos) é dada por , dessa forma, determine a taxa
de variação de temperatura em relação ao tempo no ponto .
 48°C/seg.
-48°C/seg.
 -80°C/seg.
-28°C/seg.
80°C/seg.
Respondido em 05/06/2023 11:06:15
Explicação:
As coordenadas do objeto dependem do tempo:
Assim:
Aplicando a regra da cadeia:
Calculando as derivadas:
A posição do objeto é dada por:
Voltando:
(0) = F ′(0) = e1⋅0(−1 sen 0 + 1 cos 0) = 1(0 + 1) = 1
dF
dt
F ′(0) = 1
T (x, y) = 36 − 2x2 − 4y2 x y P = (2, 1)
t r(t) = (t, )t
2
4
Q = (4, 4)
x = x(t); y = y(t)
T = T (x(t), y(t))
= ⋅ + ⋅
dT
dt
∂T
∂x
∂x
∂t
∂T
∂y
∂y
∂t
= −4x, = −8y
∂T
∂x
∂T
∂y
r(t) = (x(t), y(t)) = (t, )
⎧
⎨⎩
x(t) = t
y(t) =
→
⎧
⎨⎩
= 1
=
t2
4
t2
4
dx
dt
dy
dt
t
2
 Questão4
a
12/06/2023, 13:14 Estácio: Alunos
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Como e :
Foi pedido a taxa no tempo , logo:
Logo,
Acerto: 0,0  / 1,0
As integrais duplas também são usadas para calcular o centro de massa de objetos sólidos com formas
complicadas. O centro de massa é um ponto que representa o equilíbrio de um objeto em relação a um sistema
de coordenadas. Calcule as coordenadas  e  do centro de massa de um conjunto B, sendo um quadrado
delimitado por  e , se a densidade da região é dada por .
   .
   .
  .
  .
  .
Respondido em 05/06/2023 11:06:16
Explicação:
Para calcular o centro de massa da região, é necessário encontrar as coordenadas  e  do ponto   que
representam o equilíbrio do objeto em relação ao sistema de coordenadas. As coordenadas são dadas por:
Onde o elemento de massa é dado por:
No nosso caso,  é dado no enunciado como um quadrado, tal que: 
Calculando a coordenada  :
= ⋅ + ⋅ = −4x ⋅ 1 + −8y ⋅
dT
dt
∂T
∂x
∂x
∂t
∂T
∂y
∂y
∂t
t
2
x(t) = t y(t) = t
2
4
= 4t ⋅ 1 + −8 ⋅ = −4t − t3
dT
dt
t2
4
t
2
t = 4
= −4t − t3 = −4 ⋅ 4 − 43 = −80∘C/seg
dT
dt
= −80∘C/seg
dT
dt
x y
0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1 δ(x, y) = y
( , )2
3
1
2
( , )1
2
2
3
( , )1
3
2
3
( , )3
2
2
3
( , )1
2
1
3
x y (xC, yC)
xC =
yC =
∬
B
xdm
∬
B
dm
∬
B
ydm
∬
B
dm
dm = δ(x, y)dxdy
0 ≤ x ≤ 1$e$0 ≤ y ≤ 1
x
 Questão5
a
12/06/2023, 13:14 Estácio: Alunos
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e
Calculando a coordenada   :
E
Logo, .
Acerto: 0,0  / 1,0
A integração dupla é usada em problemas de otimização, como o cálculo de áreas e volumes mínimos e máximos.
Calcule as coordenadas  e   do centro de massa de um conjunto , sendo B o conjunto de todos  tais
que   e a densidade é constante e igual a .
   .
  .
   .
  .
  .
Respondido em 05/06/2023 11:06:17
Explicação:
Para calcular o centro de massa da região, é necessário encontrar as coordenadas  e  do ponto   que
representam o equilíbrio do objeto em relação ao sistema de coordenadas. As coordenadas são dadas por:
Onde o elemento de massa é dado por:
Nesse caso, a área corresponde a:
∬
B
xdm = ∫ 10 [∫
1
0 xydx] dy = ∫
1
0 y [ ]
∣
∣
1
0
dy = ∫ 10 dy = [ ]
∣
∣
∣
1
0
=x
2
2
y
2
y2
4
1
4
∬
B
dm = ∫
1
0
[∫
1
0
ydx] dy = ∫
1
0
y[x]
∣
∣
∣
1
0
dy = ∫
1
0
ydy = [ ]
∣
∣∣
∣
1
0
=
xC = = =
y2
2
1
2
∬
B
xdm
∬
B
dm
1/4
1/2
1
2
y
∬
B
ydm = ∫ 10 [∫
1
0 y
2dx] dy = ∫ 10 y
2[x]∣∣
1
0
dy = ∫ 10 y
2dy = [ ]
∣
∣
∣
1
0
=
y3
3
1
3
∬
B
dm = ∫
1
0
[∫
1
0
ydx] dy = ∫
1
0
y[x]
∣
∣
∣
1
0
dy = ∫
1
0
ydy = [ ]
∣
∣
∣
∣
1
0
=
yC = = =
y2
2
1
2
∬
B
ydm
∬
B
dm
1/3
1/2
2
3
( , )1
2
2
3
x y B (x, y)
x3 ≤ y ≤ x 1
( , )8
21
8
21
( , )8
21
8
15
( , )8
15
8
21
( , )7
15
8
21
( , )8
15
8
15
x y (xC, yC)
xC =
∬B xdm
∬B dm
dm = δ(x, y)dxdy
 Questão6
a
12/06/2023, 13:14 Estácio: Alunos
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No nosso caso, vamos pegar apena a região com  , pois é a única que atende a restrição  e 
.
A massa de   é dada por:
Calculando a coordenada :
e
Calculando a coordenada :
e
Logo, 
Acerto: 1,0  / 1,0
Seja o sólido limitado pelos planos  e pelo paraboloide . Sabe-se que sua
densidade volumétrica de massa é dada pela equação . Marque a alternativa que
apresenta a integral tripla que determina o momento de inércia em relação ao eixo z. 
0 ≤ x ≤ 1 x3 ≤ y ≤ x
δ(x, y) = 1
B
∬
B
dm = ∫ 10 [∫
x
x3
(1)dy] dx = ∫ 10 [y]
∣∣
x
x3
dx = ∫ 10 [x − x
3] dx = [ − ]∣∣
1
0
= [ − ] =x
2
2
x4
4
1
2
1
4
1
4
x
∬
B
xdm = ∫
1
0
[∫
x
x3
(x)dy] dx = ∫
1
0
x[y]
∣
∣
∣
x
x3
dx = ∫
1
0
x [x − x3] dx = ∫
1
0
[x2 − x4] dx
∬
B
xdm = [ − ]
∣
∣
∣
1
0
= [ − ] =
x3
3
x5
5
1
3
1
5
2
15
xC = = =
∬
B
xdm
∬
B
dm
2/15
1/4
8
15
y
∬
B
ydm = ∫
1
0
[∫
x
x3
(y)dy] dx = ∫
1
0
[ ]
∣
∣
∣
∣
x
x3
dy = ∫
1
0
[x2 − x6] dx = [ − ]
∣
∣
∣
1
0
= [ − ] =
∬
B
ydm = [ − ] =
y2
2
1
2
1
2
x3
3
x7
7
1
2
1
3
1
7
2
21
1
2
1
3
1
7
2
21
yC = = =
∬
B
ydm
∬B dm
2/21
1/4
8
21
( , )8
15
8
21
z  = 9 z  = 25 − x2 − y2
δ (x, y, z)  = x2y2
 Questão7
a
12/06/2023, 13:14 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_avaliacao_parcial_resultado.asp?cod_hist_prova=311085134&cod_prova=6421954394&f_cod_disc=…7/9
 
Respondido em 05/06/2023 11:00:46
Explicação:
A resposta correta é: 
Acerto: 1,0  / 1,0
Determine o valor da integral , onde V está contido na região de�nida por 
.  
 
Respondido em 05/06/2023 11:02:49
Explicação:
A resposta correta é: 
Acerto: 1,0  / 1,0
Uma ferramenta matemática muito importante é a integral de linha, pois permite trabalhar com um campo
vetorial, quando se depende de várias variáveis. Considere o campo vetorial 
  em , onde C é o quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1),
percorrido no sentido anti-horário. O valor de é:
5/2
1/2
 3/2
4
∫
0
√16−x2
∫
0
25−x2−y2
∫
0
 (x2 + y2)x2y2dzdydx
4
∫
−4
√16−x2
∫
−√16−x2
25−x2−y2
∫
9
 (x2 + y2)x2y2dzdydx
4
∫
0
√16−x2
∫
−√16−x2
25−x2−y2
∫
0
 (x2 + y2)x2y2dzdydx
5
∫
−5
√16−x2
∫
−√16−x2
25−x2−y2
∫
9
 (x2 + y2)x2y2dxdydz
4
∫
−4
√16−x2
∫
−√16−x2
25−x2−y2
∫
9
 x2y2dxdydz
4
∫
−4
√16−x2
∫
−√16−x2
25−x2−y2
∫
9
 (x2 + y2)x2y2dzdydx
∭
V
 64z dxdydz
{(r,φ, θ) ∈ R3/ 1 ≤ r ≤ 2,  0 ≤ θ ≤  e 0 ≤ φ ≤ }π
4
π
4
30π
15π
25π
20π
10π
15π
F(x, y) = (5 − xy − y2,x2 − 2xy) R2
∫
C
F . dr
 Questão8
a
 Questão9
a
12/06/2023, 13:14 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_avaliacao_parcial_resultado.asp?cod_hist_prova=311085134&cod_prova=6421954394&f_cod_disc=… 8/9
1/3
2/3
Respondido em 05/06/2023 11:01:06
Explicação:
Acerto: 1,0  / 1,0
Uma ferramenta matemática muito importante é a integral de linha, pois permite trabalhar com um campo
escalar, quando se depende de várias variáveis. Considerando o caminho de�nido por 
. O comprimento L(g) do caminho g é:
 
g : [0, 1] → R2
g(t) = (etcos(2πt), etsen(2πt))
√1 + 4π2(e + 2)
√1 + 4π2(e − )1
2
√1 + 4π2(e − 2)
√1 + 4π2(e + 1)
√1 + 4π2(e − 1)
 Questão10
a
12/06/2023, 13:14 Estácio: Alunos
https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_avaliacao_parcial_resultado.asp?cod_hist_prova=311085134&cod_prova=6421954394&f_cod_disc=… 9/9
Respondido em 05/06/2023 11:01:26
Explicação: