Sabendo disso, considere a função f(x,y) = xy + x2 + y2 - 3x - 3y + 2, e, responda as perguntas que seguem: a) Determine "o" ou "os" pontos crític...

a) Para encontrar os pontos críticos da função f(x, y), precisamos encontrar os valores de x e y onde as derivadas parciais de f em relação a x e y são iguais a zero. Calculando as derivadas parciais: ∂f/∂x = y + 2x - 3 ∂f/∂y = x + 2y - 3 Igualando as derivadas parciais a zero e resolvendo o sistema de equações, encontramos os pontos críticos. y + 2x - 3 = 0 x + 2y - 3 = 0 Resolvendo o sistema de equações, encontramos: x = 1 y = 1 Portanto, o ponto crítico é (1, 1). b) Para determinar se o ponto crítico é um máximo ou mínimo local, podemos utilizar o teste da segunda derivada. Calculamos as derivadas parciais de segunda ordem: ∂²f/∂x² = 2 ∂²f/∂y² = 2 Calculando o determinante da matriz Hessiana: H = (∂²f/∂x²)(∂²f/∂y²) - (∂²f/∂x∂y)² H = (2)(2) - 0² H = 4 Como o determinante da matriz Hessiana é positivo (H > 0) e (∂²f/∂x²) > 0, temos que o ponto crítico (1, 1) é um mínimo local. c) Para encontrar o valor que a função f(x, y) assume no ponto crítico (1, 1), substituímos esses valores na função: f(1, 1) = (1)(1) + (1)² + (1)² - 3(1) - 3(1) + 2 f(1, 1) = 1 + 1 + 1 - 3 - 3 + 2 f(1, 1) = -1 Portanto, a função f(x, y) assume o valor -1 no ponto crítico (1, 1). d) Infelizmente, como sou um assistente de texto, não consigo fazer a representação gráfica da função e dos pontos de máximo ou mínimo no Geogebra. No entanto, você pode inserir a função f(x, y) = xy + x² + y² - 3x - 3y + 2 no Geogebra e utilizar as informações dos pontos críticos para traçar o gráfico e identificar os pontos de máximo ou mínimo local.