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Universidade do Estado do Rio de Janeiro - UERJ
Avaliação 2 - Cálculo Diferencial e Integral I (Turma 01)
12/01/2023
Nome:
Matŕıcula:
Questões Pontos Notas
1 3,0
2 1,5
3 1,5
4 5,0
Total 11,0
• Respostas sem justificativa não serão consideradas.
• Não é permitido o uso de equipamentos eletrônicos. O aluno que for flagrado utilizando tais
equipamentos receberá nota zero nesta avaliação.
• A prova pode ser feita à lápis.
• O aluno que estiver envolvido em esquema de cola receberá nota zero nesta avaliação.
• BOA PROVA!!!
1. Calcule a derivada das funções dadas a seguir.
(a) (0,75 ponto) f(x) =
(4x3 + 3x2 + 2x+ 1)5
x2 + 1
(b) (0,75 ponto) f(x) =
√
x+
√
x+
√
x
(c) (0,75 ponto) f(x) = ex(sen(x) + x)
(d) (0,75 ponto) f(x) = arctg2(x+ 1)
2. Avalie os limites dados a seguir.
(a) (0,8 ponto) lim
x→0
1− cos(x)
x2
(b) (1,2 ponto) lim
x→1+
3(x− 1) ln(x− 1)
3. A curva em R2 formada pelos pares ordenados que são solução da equação x3 + y3 = 6xy é
chamada de fólio de Descartes. Determine a equação da reta tangente ao fólio de Descartes no
ponto (3, 3).
4. Considere a função f(x) =
2x2
x2 − 1
.
(a) (0,2 ponto) Determine o domı́nio de f .
(b) (0,4 ponto) Verifique se existem intersecções do gráfico de f com os eixos x e y .
(c) (0,8 ponto) Encontre, se existirem, as asśıntotas horizontais e as asśıntotas verticais do gráfico
de f .
(d) (1,0 ponto) Calcule f ′(x) e determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f .
(e) (1,0 ponto) Calcule f ′′(x) e encontre os intervalos em que o gráfico de f tem concavidade
para cima e concavidade para baixo.
(f) (0,8 ponto) Verifique se f possui pontos de máximo, pontos de mı́nimo (locais ou globais) e
pontos de inflexão.
(g) (0,8 ponto) Com base nos itens anteriores e em outras informações que julgar necessárias,
faça um esboço do gráfico de f .
Gabarito
1.
(a) f ′(x) =
5(4x3 + 3x2 + 2x+ 1)4(12x2 + 6x+ 2)(x2 + 1)− 2x(4x3 + 3x2 + 2x+ 1)5
(x2 + 1)2
.
(b) f ′(x) =
1
2
√
x+
√
x+
√
x
(
1 +
1
2
√
x+
√
x
(
1 +
1
2
√
x
))
.
(c) f ′(x) = ex(sen(x) + x) + ex(cos(x) + 1).
(d) f ′(x) =
2 arctg(x+ 1)
(x+ 1)2 + 1
.
2.
(a) temos que
lim
x→0
1− cos(x)
x2
L’H
= lim
x→0
sen(x)
2x
=
1
2
· lim
x→0
sen(x)
x
=
1
2
pois lim
x→0
sen(x)
x
= 1.
(b) Temos que
lim
x→1+
3(x− 1) ln(x− 1) = 3 · lim
x→1+
ln(x− 1)
1
x−1
L’H
= 3 · lim
x→1+
1
x−1
− 1
(x−1)2
= −3 · lim
x→1+
(x− 1) = −3 · 0 = 0.
3. Ao derivar a equação x3 + y3 = 6xy implicitamente, temos 3x2 + 3y2y′ = 6y + 6xy′, ou seja,
(3y2 − 6x)y′ = 6y − 3x2. Logo, y′ = 6y − 3x
2
3y2 − 6x
. Para x = y = 3, temos y′ =
6 · 3− 3 · 32
3 · 32 − 6 · 3
= −1.
Portanto, a equação da reta tangente ao fólio de Descartes no ponto (3, 3) é dada por y−3 = −1(x−3).
4.
(a) Note que f está definida para todo x ∈ R tal que x2 − 1 ̸= 0, isto é, para x ̸= −1 e x ̸= 1. Logo,
D(f) = {x ∈ R : x ̸= −1 e x ̸= 1}.
(b)
Eixo x:
2x2
x2 − 1
= 0 se, e somente se, x = 0.
Eixo y: f(0) =
2 · 02
02 − 1
= 0.
Portanto, (0, 0) é o único ponto de intersecção do gráfico de f com os eixos coordenados.
(c)
Asśıntotas horizontais: lim
x→+∞
2x2
x2 − 1
= lim
x→+∞
2
1− 1
x2
= 2 e lim
x→−∞
2x2
x2 − 1
= lim
x→−∞
2
1− 1
x2
= 2. Portanto,
o gráfico de f tem apenas y = 2 como asśıntota horizontal.
Asśıntotas verticais: Note que
lim
x→1+
2x2
x2 − 1
= +∞, lim
x→1−
2x2
x2 − 1
= −∞, lim
x→−1+
2x2
x2 − 1
= −∞ e lim
x→−1−
2x2
x2 − 1
= +∞.
Portanto, x = −1 e x = 1 são asśıntotas verticais do gráfico de f .
(d) Temos que
f ′(x) =
4x(x2 − 1)− 2x22x
(x2 − 1)2
=
4x3 − 4x− 4x3
(x2 − 1)2
= − 4x
(x2 − 1)2
.
Logo, f ′(x) = 0 se, e somente se, x = 0. A tabela
nos diz que f é crescente nos intervalos (−∞,−1) e (−1, 0) e que f é decrescente nos intervalos (0, 1)
e (1,+∞).
(e) Temos que
f ′(x) = −4(x
2 − 1)2 − 4x · 2(x2 − 1)2x
(x2 − 1)4
= −4(x
2 − 1)− 16x2
(x2 − 1)3
=
12x2 + 4
(x2 − 1)3
.
A tabela
nos diz que f tem concavidade para cima nos intervalos (−∞,−1) e (1,+∞) e que f tem concavidade
para baixo no intervalo (−1, 1).
(f) Pelo teste da derivada primeira, segue que x = 0 é um ponto de máximo local de f . Como
lim
x→1+
2x2
x2 − 1
= +∞ e lim
x→1−
2x2
x2 − 1
= −∞, então f não tem pontos de máximo global nem pontos de
mı́nimo global. Por fim, como −1, 1 ̸∈ D(f), então f não tem pontos de inflexão.
(g)
A partir da tabela acima, podemos construir o seguinte gráfico: