Lista de Exercicios de Fixacao A2

Prévia do material em texto

Lista de Exercícios – Fixação do Conteúdo AULA 2 
 
1-) A figura apresenta o diagrama tensão-deformação para um aço-liga com 10 mm de diâmetro original e 45 mm 
de comprimento de referência. Se o corpo de prova for submetido a caga de tração até 400 MPa, determine o 
valor aproximado de recuperação elástica e do aumento no comprimento de referência após o descarregamento. 
 
Resolução: 
No presente diagrama Tensão x Deformação, temos duas curvas que representam o mesmo gráfico, mas que foi 
redesenhada de maneira diferente. No eixo horizontal do gráfico temos as deformações do material. A deformação 
em preto (1ª linha) corresponde ao gráfico superior e a deformação cinza (2ª linha) corresponde ao gráfico 
inferior. 
Primeiro devemos determinar o módulo de elasticidade. Para isso consideramos a região elástica do diagrama 
Tensão x deformação, ou seja, a região que possui a reta inclinada. Precisamos da tensão limite de 
proporcionalidade e sua respectiva deformação: 
 
Partindo da equação de Hooke que é válida na região elástica, temos: 
𝜎 = 𝐸𝜀 , isolando o módulo de elasticidade e substituindo pela tensão limite de proporcionalidade de 290 MPa e 
sua respectiva deformação de 0,001 mm/mm: 
𝐸 =
𝜎
𝜀
=
290.106
0,001
= 290. 106 𝑃𝑎 ou 𝐸 = 290 𝐺𝑃𝑎 
Só que o material está sendo submetido a uma tensão de 400 MPa. Essa tensão é maior que a tensão limite de 
proporcionalidade, assim, o material se deformará plasticamente. Para obtermos a quantidade que a barra volta 
(recuperação elástica), temos que calcular pela equação de Hooke a deformação elástica para a tensão de 400 
MPa. Assim, temos: 
𝜀 =
𝜎
𝐸
=
400.106
290.109
= 1,3793. 10−3 𝑚𝑚/𝑚𝑚 
Portanto, o deslocamento recuperado é dado por: 
𝛿 = 𝜀. 𝐿𝑖 = 1,3793. 10
−3. 45 = 0,06207 𝑚𝑚 
Portanto, sabemos que o material voltou (recuperou) 0,06207 mm. Agora precisamos determinar qual foi o 
deslocamento permanente após o descarregamento. Para isso, precisamos saber qual é a deformação no diagrama 
para uma tensão de 400 MPa: 
 
Com essa deformação que o material sofreu, com o carregamento de 400 MPa, calculamos o deslocamento 
provocado: 
𝛿 = 𝜀. 𝐿𝑖 = 0,035.45 = 1,575 𝑚𝑚 
Portanto, após a retirada da carga sabemos que a barra vai voltar 0,06207. Assim, o deslocamento final, 
permanente, após o descarregamento é: 
𝛿𝑝𝑒𝑟𝑎𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 = 1,575 − 0,06207 = 1,51293 𝑚𝑚 
 
 
 
 
2-) Um eixo cilíndrico de magnésio Am 1004-T61, com diâmetro original de 38 mm e comprimento de 85 mm, 
é colocado em uma máquina de compressão e comprimido até atingir o comprimento de 83,5 mm. Determine o 
novo diâmetro do bloco. 
 
Resolução: 
Podemos determinar a deformação longitudinal do bloco cilíndrico, já que foi dado no enunciado o comprimento 
final e o comprimento inicial dele: 
𝜀𝑙 =
𝐿𝑓−𝐿𝑖
𝐿𝑖
=
83,5−85
85
= −0,01764 𝑚𝑚/𝑚𝑚 
Através do material fornecido no enunciado (Am 1004-T61), podemos obter através da tabela o coeficiente de 
Poisson: 
 
Portanto, 𝜈 = 0,3. Com o coeficiente de Poisson, vamos determinar a deformação transversal do bloco, através 
da equação que relaciona a deformação transversal com a longitudinal pelo Poisson: 
𝜈 = −
𝜀𝑡
𝜀𝑙
, isolando 𝜀𝑡 e substituindo os valores, temos: 
𝜀𝑡 = −𝜈. 𝜀𝑙 = −0,3. (−0,01764 ) = 5,292. 10
−3 𝑚𝑚/𝑚𝑚 
Com a deformação transversal, podemos calcular o diâmetro final do bloco através da seguinte equação: 
𝜀𝑡 =
𝑑𝑓−𝑑𝑖
𝑑𝑖
 , isolando 𝑑𝑓 e substituindo os valores, temos: 
𝑑𝑓 = 𝜀𝑡. 𝑑𝑖 + 𝑑𝑖 = 5,292. 10
−3. 38 + 38 = 38,201 𝑚𝑚 
 
 
 
 
 
3-) O poste é suportado por um pino em C e por um arame de ancoragem AB de alumínio 2014-T6. Se o 
diâmetro do arame for de 10 mm, determine o quanto ele se deforma quando uma força horizontal de 20 kN 
agir sobre ele. (E = 73,1 GPa). 
 
Resolução: 
Primeiro devemos desenhar o DCL da estrutura: 
 
Como podemos ver através do DCL, temos 3 forças desconhecidas: 𝐹𝑎𝑏 , 𝐶𝑥 e 𝐶𝑦. 
No nó C temos duas forças que não conhecemos, então vamos fazer o somatório de momentos nesse ponto, pois 
essas duas forças não geram momento em C, justamente porque momento é força vezes distância e nesse ponto 
a distância é zero em relação as forças 𝐶𝑥 e 𝐶𝑦. 
∑ 𝑀𝑐 = 0 → 𝐹𝑎𝑏 . 𝑠𝑒𝑛(30°). (2 + 1) − 20.2 = 0 
Isolando 𝐹𝑎𝑏, podemos calculá-lo: 
𝐹𝑎𝑏 =
20.2
𝑠𝑒𝑛(30°).3
= 26,667 𝑘𝑁 
Com esta força, podemos descobrir qual é a tensão no cabo AB, por: 
 
𝜎𝑎𝑏 =
𝐹𝑎𝑏
𝐴𝑎𝑏
, substituindo os valores, temos: 
𝜎𝑎𝑏 =
26,667.103
𝜋.0,005²
= 339,53.106𝑃𝑎 ou 339,53 𝑀𝑃𝑎 
onde 0,005 é o raio em metros. Lembrando que na maioria das vezes temos que passar as unidade para o sistema 
internacional. 
Esta tensão é menor que a tensão de escoamento desse material (alumínio 2014-T6). Para verificar isso, basta 
ir na tabela do exercício anterior, buscar pelo material e pela tensão de escoamento à tração, que corresponde a 
𝜎𝑒 = 414 𝑀𝑃𝑎. 
Isso é muito bom, pois assim sabemos que o material está trabalhando na região elástica e assim podemos 
calcular através da Lei de Hooke a deformação do cabo, que é o que o enunciado está pedindo, por: 
𝜎 = 𝐸. 𝜀, isolando 𝜀, temos: 
𝜀 =
𝜎
𝐸
=
339,53.106
71,3.109
= 4,762.10−3 𝑚𝑚/𝑚𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
 
4-) A haste plástica é feita de Kevlar, com um módulo de elasticidade E = 150 GPa e com diâmetro de 20 mm. 
Supondo que lhe seja aplicada uma carga axial de 100 kN e que a haste está trabalhando na região elástica, 
determine as mudanças em seu comprimento e em seu diâmetro. Considere 𝜈 = 0,34. 
 
Resolução: 
Temos a força aplicada na haste e também o diâmetro. Com essas informações conseguimos calcular a tensão 
na haste por: 
𝜎 =
𝐹
𝐴
=
100.103
𝜋.0,01²
= 318,31 𝑀𝑃𝑎 
Como foi dito no enunciado que a haste está trabalhando na região elástica, podemos aplicar a equação de Hooke 
e determinar a deformação da haste: 
𝜎 = 𝐸. 𝜀 , isolando 𝜀 e substituindo os valores na equação, temos: 
𝜀𝑙 =
𝜎
𝐸
=
318,31.106
150.109
= 2,122.10−3 𝑚𝑚/𝑚𝑚 
Para determinar a mudança em seu comprimento, ou seja, o deslocamento da peça, basta aplicar a seguinte 
equação: 
𝛿𝑙 = 𝜀𝑙. 𝐿𝑖 = 2,122.10
−3. 150 = 0,3183 𝑚𝑚 
Para determinar a mudança em seu diâmetro é necessário primeiro calcular a deformação transversal. Para isto, 
podemos utilizar a equação do coeficiente de Poisson, dada por: 
𝜈 = −
𝜀𝑡
𝜀𝑙
, isolando 𝜀𝑡 e substituindo os valores, temos: 
𝜀𝑡 = −𝜈. 𝜀𝑙 = −0,34. (2,122.10
−3 ) = −7,215. 10−4 𝑚𝑚/𝑚𝑚 
Com a deformação transversal, podemos calcular a mudança no diâmetro, por: 
𝛿𝑡 = 𝜀𝑡 . 𝑑𝑖 = −7,215. 10
−4. 20 = −0,01443 𝑚𝑚 
O sinal negativo indica que a seção transversal (o diâmetro) está contraindo, o que é fácil de imaginar já que a 
força aplicada é de tração e tende a alongar longitudinalmente a haste e a contrair transversalmente. 
 
 
 
 
5-) A viga rígida está apoiada por um pino em A e pelos arames BD e CE. Se a deformação normal admissível 
máxima em cada arame for 𝜀𝑚á𝑥 = 0,0045 𝑚𝑚/𝑚𝑚, qual será o deslocamento vertical máximo provocado 
pela carga P nos arames. 
 
Resolução: 
Sabemos que a deformação no cabo é de 0,0045 mm/mm. Portanto, está é a deformação no cabo CE, pois se 
fosse no cabo BD a do cabo CE seria superior a 0,0045 mm/mm. Podemos determinar o deslocamento do cabo 
CE por: 
𝜀𝑚á𝑥 =
𝐿𝑓−𝐿𝑖
𝐿𝑖
=
𝛿𝐶𝐸
𝐿𝑖
, isolando 𝛿𝐶𝐸 e substituindo os valores da deformação máxima e do comprimento do cabo 
CE, temos: 
𝛿𝐶𝐸 = 𝜀𝑚á𝑥. 𝐿𝑖 = 0,0045.3 = 0,0135 𝑚𝑚 
Tomando os deslocamentos dos cabos e da viga, mostrados no seguinte desenho, podemos determina o 
deslocamento máximo 𝛿𝑚á𝑥 provocado pela força P, por semelhança de triângulos: 
 
𝛿𝑚á𝑥
(2+1+1)
=
𝛿𝐶𝐸
(2+1)
, isolando 𝛿𝑚á𝑥 e substituindo o valor de 𝛿𝐶𝐸, temos: 
𝛿𝑚á𝑥 =
𝛿𝐶𝐸.4
3
=
0,0135 .4
3
= 0,018 𝑚 ou 𝛿𝑚á𝑥 = 18 𝑚𝑚