Elemento com carga axial, Tensão Térmica e Concentração de Tensão

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Francielly Elizabeth de Castro Silva 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Nesta aula, desenvolveremos o método para determinar a tensão normal 
em elementos e estruturas carregados axialmente. Discutiremos como obter a 
deformação desses elementos e desenvolveremos um método para determinar 
as reações nos apoios quando essas não puderem ser determinadas somente 
aplicando as equações de equilíbrio. Também vamos estudar o efeito da 
mudança de temperatura nas tensões de um elemento estrutural e falaremos 
sobre concentração de tensão. 
TEMA 1 – PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT E DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE UM 
ELEMENTO SUBMETIDO A CARGA AXIAL	
Já deve ser de seu conhecimento o conceito de tensão e deformação e 
algumas propriedades dos materiais, como módulo de elasticidade, tensão de 
escoamento e coeficiente de Poisson, entre outros assuntos. Você também já 
deve ter visto que, dentro da região elástica, a tensão está relacionada à 
deformação pelo módulo de elasticidade, em que esta relação é definida como 
lei de Hooke. 
Considerando a lei de Hooke, desenvolveremos uma equação para 
determinar a deformação elástica de um elemento estrutural submetido a cargas 
normais. Considere a barra da Figura 1a. Essa barra está sujeita a duas forças 
concentradas em suas extremidades, 𝑃! e 𝑃", e a uma carga distribuída que varia 
com seu comprimento. Queremos determinar o deslocamento relativo 𝛿 de 
uma extremidade em relação à outra, devido aos carregamentos aplicados. 
Usando o método das seções, podemos tomar um elemento diferencial 
da barra, em uma posição qualquer 𝑥, com um comprimento 𝑑𝑥, área da seção 
transversal 𝐴(𝑥) e módulo de elasticidade 𝐸(𝑥), como mostra a Figura 1b. 
Figura 1 – (a) Barra elástica submetida a um conjunto de carregamento e (b) 
diagrama de corpo livre de um elemento diferencial da barra 
(a) (b) 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
 
 
3 
Observe que 𝑁(𝑥) corresponde a força resultante interna, proveniente da 
ação da carga distribuída que é função de 𝑥 e das forças concentradas. Portanto, 
o deslocamento de uma das extremidades deste elemento diferencial é 𝑑𝛿. A 
tensão e a deformação do elemento diferencial são descritas como: 
𝜎 =
𝑁(𝑥)
𝐴(𝑥) 					e					𝜀 =
𝑑𝛿
𝑑𝑥 
Se o material estiver trabalhando dentro da região elástica, podemos 
aplicar a lei de Hooke à equação anterior, em que, 𝜎 = 𝐸(𝑥)𝜀. Assim, temos: 
𝐸(𝑥)𝜀 =
𝑁(𝑥)
𝐴(𝑥) 					ou					𝐸
(𝑥)
𝑑𝛿
𝑑𝑥 =
𝑁(𝑥)
𝐴(𝑥) 
Isolando o deslocamento do elemento diferencial, ficamos com: 
𝑑𝛿 =
𝑁(𝑥)
𝐴(𝑥)𝐸(𝑥) 𝑑𝑥 
Para o comprimento total da barra, 𝐿, temos que integrar a equação acima 
para determinar o deslocamento total de uma extremidade da barra em relação 
a outra, ou seja: 
2𝑑𝛿 = 2
𝑁(𝑥)
𝐴(𝑥)𝐸(𝑥) 𝑑𝑥 
que resulta em 
𝛿 = 2
𝑁(𝑥)
𝐴(𝑥)𝐸(𝑥) 𝑑𝑥																																																									(1)
#
$
 
em que 𝛿 corresponde ao deslocamento de uma extremidade da barra em 
relação a outra extremidade, 𝐿 é o comprimento da barra, 𝑁(𝑥) corresponde à 
força normal interna resultante, 𝐴(𝑥) é a área da seção transversal da barra e 
𝐸(𝑥) corresponde ao módulo de elasticidade do material da barra. 
Muitos problemas da engenharia são modelados considerando uma barra 
de área de seção transversal, cargas externas e módulo de elasticidade 
constantes. Nesse caso, a equação 1 pode ser reescrita da seguinte forma: 
𝛿 =
𝑁𝐿
𝐴𝐸																																																																		(2) 
 
 
4 
Se a barra for modelada com regiões de diferentes tipos de materiais, 
diferentes cargas concentradas ou até mesmo diferentes áreas de seção 
transversal, podemos determinar o deslocamento de cada região 
individualmente e depois somá-los para obter o deslocamento total de uma 
extremidade até a outra. Essa ideia é definida pela seguinte equação: 
𝛿 =5
𝑁𝐿
𝐴𝐸																																																													(3) 
1.1 Convenção de sinais 
Para aplicar as equações 1 a 3 é necessário utilizar uma convenção de 
sinais consistente para a força normal interna e o deslocamento da barra. 
Consideramos que a força e o deslocamento são positivos quando provocam 
tração e alongamento da barra como mostra a Figura 2. Caso contrário, são 
considerados negativos no desenvolvimento do problema. 
Figura 2 – Convenção de sinais para o cálculo do deslocamento de uma barra 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
• Exemplo 1: poços de petróleo são encontrados a partir da perfuração do 
solo por uma ferramenta adequada (Figura a). O eixo de perfuração de 
aço A992 de um poço de petróleo penetra 3.600 m dentro do solo como 
mostra a Figura (b). Supondo que o tubo usado para perfurar o poço é 
suspenso livremente a partir da torre em A, determine a tensão normal 
média máxima em cada segmento do tubo e o alongamento da sua 
extremidade de D em relação à extremidade fixa em A. O eixo consiste 
em três diferentes tamanhos de tubo, AB, BC e CD, cada um com 
comprimento, peso por unidade de comprimento e área de seção 
transversal indicados. 
 
 
5 
(a) (b) 
Créditos: Evgeny_V Shutterstock. 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
• Solução: a primeira coisa que podemos fazer é obter a força externa em 
cada intervalo, proveniente do carregamento distribuído. Assim, temos: 
𝐹%& = 𝑤%&𝐿%& = 50.1500			 → 					 𝐹%& = 75000	𝑁 
𝐹&' = 𝑤&'𝐿&' = 40.1500				 → 					 𝐹&' = 60000	𝑁 
𝐹'( = 𝑤'(𝐿'( = 30.600				 → 					 𝐹'( = 18000	𝑁 
As forças externas calculadas podem ser representadas da seguinte 
forma na figura do problema: 
 
Com base nas forças externas, podemos determinar a força interna em 
cada trecho do tubo. Para isso, faremos uma seção na barra entre cada 
mudança de carga ou de área. Como são três regiões com três forças 
 
 
6 
externas aplicadas e três mudanças de seção transversal, faremos os 
seguintes cortes no tubo: 
 
As seções de cada trecho são representadas na seguinte figura: 
(a) (b) (c) 
Aplicando a equação de equilíbrio de força em y podemos determinar a 
força interna em cada trecho. Para o primeiro seguimento (a) temos: 
5𝐹) = 0;												𝑁'( − 𝐹'( = 0				 →					 𝑁'( = 𝐹'( 				→ 					𝑁'( = 18000	𝑁 
Para o segundo segmento (b) (veja o segundo DCL), temos: 
5𝐹) = 0;												𝑁&' − 𝐹&' − 𝐹'( = 0				 →					 𝑁&' = 𝐹&' + 𝐹'( = 60000 + 18000 
𝑁&' = 78000	𝑁 
E, para o último segmento (c) (veja o terceiro DCL), temos: 
5𝐹) = 0;												𝑁%& − 𝐹%& − 𝐹&' − 𝐹'( = 0				 →					 𝑁%& = 𝐹%& + 𝐹&' + 𝐹'( 
𝑁%& = 75000 + 60000 + 18000				 → 					𝑁%& = 153000	𝑁 
 
 
7 
A tensão normal é 𝜎 = 𝐹/𝐴. Como a área está em mm²; para deixá-la no 
SI (m²) temos que multiplicá-la por 10*+, assim temos o seguinte resultado 
de tensão para cada segmento: 
𝜎%& =
𝑁%&
𝐴%&
=
153000
1600. 10*+ 						→ 					 𝜎%& = 95,625	𝑀𝑃𝑎 
𝜎&' =
𝑁&'
𝐴&'
=
78000
1125. 10*+ 						→ 					 𝜎&' = 69,333	𝑀𝑃𝑎 
𝜎'( =
𝑁'(
𝐴'(
=
18000
800. 10*+ 						→ 					 𝜎&' = 22,5	𝑀𝑃𝑎 
Para determinar o deslocamento da extremidade D em relação ao ponto 
A, temos que aplicar a equação 3, em que o módulo de é igual a 200 GPa 
e o comprimento de cada trecho é apresentado na figura inicial do 
problema, assim temos: 
𝛿 =5
𝑁𝐿
𝐴𝐸 = 𝛿% + 𝛿& + 𝛿' =
𝑁%&𝐿%&
𝐴%&𝐸
+
𝑁&'𝐿&'
𝐴&'𝐸
+
𝑁'(𝐿'(
𝐴'(𝐸
 
𝛿 =
153000.1500	
1600. 10*+. 200. 10, +
78000.1500	
1125. 10*+. 200. 10, +
18000.600	
800. 10*+. 200. 10, 
𝛿 = 0,7172 + 0,52 + 0,0675				 → 				𝛿 = 1,3045	𝑚 
TEMA 2 – ELEMENTO COM CARGA AXIAL ESTATICAMENTE INDETERMINADO	
Quando um elemento estrutural é fixo nas duas extremidades (duplo 
engaste), este não tem liberdade de movimento (Figura 3a). Um exemplo são as 
colunas de edifícios que são engastadas no chão e no teto da construção, como 
mostra a Figura 3b. 
Figura 3 – Elemento genérico estaticamente determinado (a) e colunas de 
construção (b) 
 
 
8 
(a) (b) 
Fonte:Hibbeler, 2018. 
Créditos: SeventyFour/Shutterstock. 
Analisando a Figura 3a, observe que o chão exerce uma reação contrária 
a força de 500 N, por isso é uma força com sentido para cima e o teto também 
exerce uma reação contrária a força de 500 N com sentido para cima. O 
diagrama de corpo livre desse elemento é mostrado na Figura 4. Aplicando a 
equação de equilíbrio de força em relação ao eixo vertical, ficamos com: 
5𝐹) = 0;									𝐹% − 500 + 𝐹& = 0 
Observe que somente com essa equação não conseguimos resolver o 
problema, pois ela contém duas incógnitas que são as forças de reação em cada 
extremidade do elemento. Esse tipo de problema é chamado estaticamente 
indeterminado, uma vez que somente a equação de equilíbrio não é suficiente 
para determinar ambas as reações da barra. 
Figura 4 – Diagrama de corpo livre de elemento genérico estaticamente indeterminado 
 
 
9 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
Precisamos de mais uma equação para resolver esse tipo de problema. 
Para estabelecer essa equação, é necessário considerar como os pontos da 
barra são deslocados. A equação que indica as condições de deslocamento do 
elemento é denominada equação de compatibilidade ou condição cinemática. 
No exemplo em tela, uma condição de compatibilidade adequada exige que o 
deslocamento das extremidades seja igual a zero, ou ainda, o deslocamento de 
uma extremidade em relação à outra deve ser igual a zero, pois ambas as 
extremidades estão fixas e são impedidas de se deslocar pelo chão em B e pelo 
teto em A, de modo que não ocorre nenhum movimento relativo entre elas. Por 
consequência, temos a seguinte equação: 
𝛿%/& = 0 
Podemos substituir a equação 2 no problema expresso pela equação 
acima, onde 𝛿 = 𝑁𝐿/𝐴𝐸. Para isso é necessário conhecer as forças internas no 
elemento. Podemos fazer isso seccionando a barra antes e após a força de 
500N. Temos os seguintes diagramas de corpo livre. 
Figura 5 – Diagrama de corpo livre da seção (a) antes da força de 500 N e (b) 
após a força de 500 N 
 
 
10 
(b) 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
Pela figura anterior, percebemos que entre o trecho AC a força interna é 
𝐹% e entre o trecho CB a força interna é 𝐹&. Note que a força 𝐹% está 
tracionando/alongando o elemento (sinal positivo) e a força 𝐹& está 
comprimento/contraindo o elemento (sinal negativo). Isso influencia no sinal do 
deslocamento que cada força provoca na barra, conforme Figura 2. Substituindo 
a equação 2 na equação de compatibilidade, temos: 
𝐹%𝐿%'
𝐴𝐸 −
𝐹&𝐿'&
𝐴𝐸 = 0 
Como a área e o módulo de elasticidade são os mesmos ao longo de toda 
a barra, podemos cortá-los da equação. Substituindo os comprimentos de cada 
trecho da barra 𝐿%' 	e 𝐿'&, ficamos com: 
𝐹%2 − 𝐹&3 = 0					 → 					 𝐹%2 = 𝐹&3					 → 					 𝐹% =
𝐹&3	
2 					→ 					 𝐹% = 1,5𝐹& 
Aplicando a equação de equilíbrio vista no começo deste tema, por meio 
da substituição 𝐹% por 1,5𝐹&, temos: 
5𝐹) = 0; 									1,5𝐹& − 500 + 𝐹& = 0				 → 					2,5𝐹& = 500					 → 					 𝐹& =
500
2,5 
𝐹& = 200	𝑁 
Voltando à equação anterior, em que 𝐹% = 1,5𝐹&, concluímos que: 
𝐹% = 1,5.200				 → 					 𝐹% = 300	𝑁 
Vamos fazer mais dois exemplos para consolidar esse conceito novo. 
• Exemplo 2: a haste de aço A-36 tem diâmetro de 10 mm e está presa à 
parede em A como mostra a Figura. Antes de ser carregada, há uma folga 
de 0,2 mm entre a haste e a parede em B’. Determine as forças de reação 
das paredes. Ignore o tamanho do colar em C e considere 𝐸 = 200	𝐺𝑃𝑎. 
 
 
11 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
• Solução: como vimos na solução da metodologia, podemos primeiro 
aplicar a equação de equilíbrio para descrever as forças envolvidas no 
problema. Para isso, precisamos inicialmente desenhar o diagrama de 
corpo livre, como mostra a figura a seguir: 
 
Aplicando a equação de equilíbrio de força ao diagrama de corpo livre 
acima, ficamos com: 
5𝐹 = 0;									−𝐹% + 20.10³ − 𝐹& = 0	 
Podemos isolar uma das duas variáveis. Escolhendo a força 𝐹% para isolar 
da equação anterior, ficamos com: 
𝐹% = 20.10³ − 𝐹& 
Como essa equação não é suficiente para resolver este problema, vamos 
precisar da equação de compatibilidade. Sabemos que existe uma folga 
de 0,2 mm, ou 0,2.10-3 m, entre a da extremidade direita da barra e a 
parede B’. Logo, a equação/condição de compatibilidade é definida como: 
𝛿%/& = 0,2. 10*. 
Precisamos desenhar o diagrama de corpo livre para obter as forças 
internas em cada segmento da barra. Para isso, vamos fazer um corte 
antes (Figura a) e após (Figura b) a força de 20 kN como mostra a figura: 
(a) (b) 
Observe que a força 𝐹% está tracionando o elemento (força positiva) e a 
força 𝐹& está comprimindo o elemento (força negativa). Substituindo a 
equação 2 na equação de compatibilidade, ficamos com: 
𝐹%𝐿%'
𝐴𝐸 −
𝐹&𝐿'&
𝐴𝐸 = 0,2. 10
*. 
Nesse exemplo, a área e o módulo de elasticidade são os mesmos ao 
longo de toda a barra, porém não podemos cortá-los da equação, pois o 
 
 
12 
deslocamento resultante é diferente de zero, e nesse caso corresponde a 
0,2. 10*. m. Temos que ter muita atenção neste tipo detalhe. Substituindo 
os comprimentos de cada trecho da barra 𝐿%' 	e 𝐿'&, ficamos com: 
𝐹%0,4
(𝜋. 0,005". 200. 10,) −
𝐹&0,8
(𝜋. 0,005". 200. 10,) = 0,2. 10
*. 
Como tínhamos isolado a força 𝐹% da equação de equilíbrio, ficando, 	
𝐹% = 20.10³ − 𝐹&, podemos substituir esse termo na equação acima, 
tornando-se: 
(20.10. − 𝐹&)0,4
(𝜋. 0,005". 200. 10,) −
𝐹&0,8
(𝜋. 0,005". 200. 10,) = 0,2. 10
*. 
A equação agora envolve apenas uma incógnita, 𝐹&. O processo agora é 
isolá-la da equação anterior para chegar ao seu resultado. Faremos isso 
a seguir, de forma bem detalhada. 
8.10. − 𝐹&0,4
(𝜋. 0,005". 200. 10,) −
𝐹&0,8
(𝜋. 0,005". 200. 10,) = 0,2. 10
*. 
8.10.
(𝜋. 0,005". 200. 10,) −
𝐹&0,4
(𝜋. 0,005". 200. 10,) −
𝐹&0,8
(𝜋. 0,005". 200. 10,) = 0,2. 10
*. 
8.10.
(𝜋. 0,005". 200. 10,) − 0,2. 10
*. =
𝐹&0,4
(𝜋. 0,005". 200. 10,) +
𝐹&0,8
(𝜋. 0,005". 200. 10,) 
8.10.
(𝜋. 0,005". 200. 10,) − 0,2. 10
*. = 𝐹& M
0,4
(𝜋. 0,005". 200. 10,) +
0,8
(𝜋. 0,005". 200. 10,)N 
8.10.
(𝜋. 0,005". 200. 10,) − 0,2. 10
*. = 𝐹&
1,2
(𝜋. 0,005". 200. 10,) 
𝐹& = O
8.10.
(𝜋. 0,005". 200. 10,) − 0,2. 10
*.P
(𝜋. 0,005". 200. 10,)
1,2 
𝐹& =
8.10.
1,2 −
0,2. 10*.. (𝜋. 0,005". 200. 10,)
1,2 			 
𝐹& = 6666,667 −
0,2. 10*.. 15,708. 10+
1,2 
𝐹& = 6666,667 − 2617,994 
𝐹& = 4048,67	𝑁 
Como 𝐹% = 20.10³ − 𝐹&, temos que: 
𝐹% = 20.10. − 4048,67 
𝐹% = 15951,33	𝑁 
• Exemplo 3: o poste de alumínio é reforçado com um núcleo de latão como 
mostra a figura. Considere que uma força 𝑃 = 45	𝑘𝑁 é aplicada sobre a 
 
 
13 
tampa rígida que comprime o poste, e determine a tensão normal média 
em cada material. Considere 𝐸/0 = 70	𝐺𝑃𝑎 e 𝐸0/1 = 105	𝐺𝑃𝑎. 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
• Solução: como são dois materiais considerados nesse exemplo, cada um 
contribuirá com uma força de reação. O seguinte diagrama de corpo livre 
representa as forças atuantes nesse problema: 
Aplicando a equação de equilíbrio de forças, temos: 
 
5𝐹 = 0;								−45.10³+𝐹/0+𝐹0/1 = 0	 
Como temos duas forças incógnitas, precisamos aplicar a equação da 
compatibilidade. Como a força de 45 kN está comprimindo o poste, o 
deslocamento que ela vai promover é no sentido do chão, porém o chão 
não permite esse deslocamento sobre ele, pois é considerado um 
elemento rígido. Logo, o poste irá se deformar/deslocar em determinada 
quantidade. Como a tampa sobre o poste também é rígida, 
obrigatoriamente o deslocamento da parte de alumínio será igual ao da 
parte de latão. Portanto, 
𝛿/0 = 𝛿0/1 
Aplicando a equação 2 na equação anterior, ficamos com: 
 
 
14 
𝐹/0 . 𝐿/0
𝐴/0𝐸/0
=
𝐹0/1 . 𝐿0/1
𝐴0/1𝐸0/1
 
Substituindo os valores de cada termo, ficamos com: 
𝐹/0 . 0,5
(𝜋(0,05" − 0,025")70. 10,) =
𝐹0/1 . 0,5
(𝜋. 0,025". 105. 10,) 
𝐹/0 =
𝐹0/1(𝜋(0,05" − 0,025")70.10,)
(𝜋. 0,025". 105. 10,) 					→ 						 𝐹/0 =
𝐹0/1(0,05" − 0,025")70
0,025". 105 
𝐹/0 =
0,13125
0,065625𝐹0/1 					→ 						 𝐹/0 = 2𝐹0/1 
Veja que ainda não temos resultado para nenhuma das forças nos 
materiais do poste, mas podemos aplicar o resultado anterior na equação 
de equilíbrio para obter a força do latão, por exemplo. Assim, temos: 
5𝐹 = 0;								−45.10. + 2𝐹0/1 + 𝐹0/1 = 0						 → 						−45.10. + 3𝐹0/1 = 0 
3𝐹0/1 = 45.10. 			→ 								 𝐹0/1 =
45.10³
3 							→ 								 𝐹0/1 = 15	𝑘𝑁 
Como 𝐹/0 = 2𝐹0/1, logo 
𝐹/0 = 2.15.10. 						→ 								 𝐹/0 = 30	𝑘𝑁 
Para determinar a tensão em cada material basta aplicar a equação 3: 
𝜎/0 =
𝐹/0
𝐴/0
=
30.10³
(𝜋(0,05" − 0,025")) =
30.10³
5,8905. 10*. 					→ 						 𝜎/0 = 5,093	𝑀𝑃𝑎 
𝜎0/1 =
𝐹0/1
𝐴0/1
=
15.10³
(𝜋. 0,025") =
15.10³
1,9635. 10*. 					→ 						 𝜎0/1 = 7,639	𝑀𝑃𝑎 
TEMA 3 – MÉTODO DE ANÁLISE DA FORÇA PARA ELEMENTOS CARREGADOS 
AXIALMENTE	
Neste tema, apresentaremos outro método para resolver problemas 
estaticamente indeterminados. Vamos escrever a equação de compatibilidade 
considerando a superposição das forças que agem no diagrama de corpo livre, 
conhecido como método de análise de flexibilidade ou de força. Para 
desenvolvê-lo, considere a barra mostrada na Figura 6a. Se escolhermos o apoio 
em B como redundante, podemos eliminá-lo temporariamente para deixá-la 
 
 
15 
estaticamente determinada (Figura 6ª). Ao utilizar o princípio da superposição 
temos que adicionar de volta a força redundante no ponto B (Figura 5b). 
Analisando as figuras a seguir, nota-se que se a força de 500 N provocar 
deslocamento da barra 𝛿2 de modo a alongá-la (Figura 5a) e a força de reação 
𝐹& promover deslocamento contrário 𝛿& de modo a contraí-la, quando as duas 
cargas forem superpostas o deslocamento do ponto B será zero, ou seja: 
𝛿2 − 𝛿& = 0 
Figura 6 – Deslocamento em B (a) quando a força resultante em B é redundante 
(removida) e (b) quando somente a força redundante em B é aplicada 
(b) 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
Observe que o sinal da equação anterior depende do tipo de 
deslocamento provocado pela força, ou seja, se a força promove alongamento 
da barra o sinal é positivo; se promove uma contração da barra o sinal é negativo. 
É exatamente a convenção que vimos na Figura 2. Com essa condição, temos 
que 𝛿2 = 𝛿&, que é a condição de compatibilidade do ponto B da barra. A 
equação anterior pode ser expressa em termos das cargas internas aplicando a 
equação 2 vista no tema 1. Portanto, podemos reescrevê-la da seguinte forma: 
500(𝑁)2(𝑚)
𝐴𝐸 =
𝐹&(2 + 3)(𝑚)
𝐴𝐸 				→ 				 𝐹& =
500.2
5 					→ 				 𝐹& = 200	𝑁			 
Observe que na primeira parte da equação foi considerado o comprimento 
de 2 m, pois é o comprimento que resiste a aplicação da força de 500 N, e para 
a segunda parte o comprimento de 5 m é o que resiste a aplicação da força 𝐹&. 
Voltando à equação de equilíbrio vista no início deste tema, temos o seguinte: 
5𝐹) = 0;									𝐹% − 500 + 𝐹& = 0				 →				 𝐹% = 500 − 200				 → 					 𝐹% = 300	𝑁 
 
 
16 
Vamos refazer o exemplo 2 aplicando essa metodologia para resolvê-lo. 
• Exemplo 4: considere o exemplo 2 e aplique o método de análise de 
flexibilidade para resolvê-lo. 
• Solução: esse exemplo é muito semelhante ao abordado para 
desenvolver a presente metodologia. A diferença básica é que como há 
um vão de 0,2 mm entre a barra e a parede em B’, o deslocamento não é 
zero como no estudo anterior. O diagrama de corpo livre com as forças 
de reação nas extremidades fica da seguinte forma: 
 
Aplicando a equação de equilíbrio de forças, temos: 
5𝐹 = 0;									−𝐹% + 20.10³ − 𝐹& = 0	 
Precisamos aplicar a equação de compatibilidade; para isso, utilizaremos 
o método de análise de flexibilidade. Vamos remover o engaste em B’ 
e verificar o deslocamento da barra: 
 
Sem a parede B’, a barra pode se alongar livremente em um valor 
chamado 𝛿2. No entanto, considerar o apoio B’ como redundante é só uma 
suposição para desenvolver a metodologia. Devemos colocá-lo ali de 
volta, com a força de reação 𝐹&. Portanto, temos o seguinte problema: 
 
Note que a força 𝐹& produz um deslocamento de modo a contrair a barra 
numa quantidade 𝛿&. Com essas considerações e sabendo que existe 
uma folga de 0,2 mm ou 0,2.10-3 m entre a barra e o ponto B’, temos a 
seguinte equação de compatibilidade: 
 
 
17 
𝛿2 − 𝛿& = 0,2. 10*. 
Perceba no penúltimo diagrama que a força de 20 kN está alongando o 
trecho AC com comprimento de 400 mm e que no último diagrama a força 
𝐹& comprime todo a barra, ou seja, todo o comprimento da barra que é de 
1200 mm. Aplicando a equação 2 na equação anterior, ficamos com: 
20.10.. 0,4
(𝜋. 0,005". 200. 10,) −
𝐹&1,2
(𝜋. 0,005". 200. 10,) = 0,2. 10
*.	 
	𝐹& = R
20.10.. 0,4
(𝜋. 0,005". 200. 10,) − 0,2. 10
*.S
(𝜋. 0,005". 200. 10,)
1,2 
𝐹& =
20.10.. 0,4
1,2 − 0,2. 10
*..
(𝜋. 0,005". 200. 10,)
1,2 	 
𝐹& = 6666,667 − 2617,994					 → 					 𝐹& = 4051,67	𝑁 
Substituindo este resultado na equação de equilíbrio, ficamos com: 
5𝐹 = 0;									−𝐹% + 20.10³ − 4051,67 = 0	 			→ 					 𝐹% = 20.10³ − 4051,67 
𝐹% = 15948,33	𝑁 
• Exemplo 5: o conjunto mostrado consiste em um tubo de alumínio AB 
com uma área de seção transversal de 400 mm². Uma haste de aço com 
diâmetro de 10 mm está presa a um colar rígido e passa pelo tubo. Se for 
aplicada carga de tração de 80 kN à haste, determine o deslocamento da 
extremidade C da haste. Considere 𝐸/ç4 = 200	𝐺𝑃𝑎 e 𝐸/0 = 70	𝐺𝑃𝑎. 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
• Solução: nesse exemplo, os elementos que sofrerão deformação são a 
haste e o tudo, os demais elementos como a arruela e o suporte em A, 
que fixa o sistema na parede, são considerados rígidos. Podemos separar 
esses dois elementos e desenhar o diagrama de corpo livre de cada um. 
Observe que a força de 80 kN está puxando a haste em direção ao tubo, 
 
 
18 
provocando compressão desse elemento. Portanto, seu diagrama de 
corpo livre fica da seguinte forma: 
 
Como a haste está sendo tracionada para direita, seu diagrama de corpo 
livre toma a seguinte forma: 
 
Note, nesse exemplo, que já conhecemos as forças internas em cada 
elemento. Diferentemente dos outros exemplos, esse não é nosso 
objetivo aqui; queremos descobrir o deslocamento do ponto C. Para isso, 
precisamos analisar o seguinte: como a força de 80 kN está puxando a 
haste para direita, teremos um deslocamento desta haste, 𝛿5, de forma a 
alongá-la, como mostra a seguinte figura: 
 
Podemos determinar tranquilamente o deslocamento da haste 𝛿5 
aplicando a equação 2, lembrando que o comprimento que vamos assumir 
é o de 600 mm ou 0,6 m, conforme desenho inicial do problema, um raio 
de 5 mm ou 0,005 m e um módulo de elasticidade de 200.109 Pa, 
conforme enunciado. Assim, temos: 
𝛿5 =
80.10.. 0,6
(𝜋. 0,005". 200. 10,) 					→ 					𝛿5 =
48.10.
15,708. 10+ 					→ 					𝛿5 = 3,056. 10
*.	𝑚 
Faremos o mesmo processo para o tubo. Observe que, à medida que a 
haste é puxada para a direita, ela tende a comprimir o tubo provocando o 
deslocamento dele, 𝛿1, também para direita: 
 
 
19 
 
A pergunta que fazemos é: será que o deslocamento do tubo é igual ao 
deslocamento da haste? Pela equação 2, para isso ser verdade, além da 
força aplicada ao tubo, a área, o comprimento e o material do tubo 
também teriam de ser os mesmos da haste. Mas esse não é o caso. 
Vamos calcular o deslocamento do tubo, sendo sua área 400 mm² ou 
400.10-6 m², seu comprimento 400 mm ou 0,4 m e seu módulo de 
elasticidade 70.109 Pa, conforme enunciado. Assim, temos: 
𝛿1 =
80.10.. 0,4
(400. 10*+. 70. 10,) 					→ 					𝛿1 =
32.10.
28. 10+ 					→ 					𝛿1 = 1,143. 10
*.	𝑚 
Nesse exemplo, calculamos o deslocamento de cada elemento de forma 
individual. Para conhecer o deslocamento total desse conjunto, 
precisamos simplesmente somar o deslocamento da haste com o do tubo. 
Talvez você estejase perguntando: mas o deslocamento do tubo não é 
negativo, pois contraiu o tubo? Precisamos observar o efeito provocado 
em ambas as peças, pois ambos os deslocamentos foram para direita; 
logo, o deslocamento total pode ser representado pela seguinte figura: 
 
Portanto, o deslocamento do ponto C (deslocamento total do conjunto) é: 
𝛿' = 𝛿5 + 𝛿1 					→ 					 𝛿' = 3,056. 10*. + 1,143. 10*. 
𝛿' = 4,2. 10*.	𝑚 
• Exemplo 6: a carga de 7,5 kN deve ser suportada pelos dois cabos 
verticais de aço para os quais 𝜎6 = 500	𝑀𝑃𝑎. Se os comprimentos 
originais dos cabos AB e AC forem 12.500 mm e 1.252,5 mm 
respectivamente, determine a força desenvolvida em cada cabo depois da 
suspensão da carga. Cada cabo tem área de seção transversal de 12,5 
mm². Considere 𝐸 = 200	𝐺𝑃𝑎. 
 
 
20 
 
Créditos: Colorshadow/Shutterstock. 
• Solução: se ambos os cabos fossem simétricos, com mesmo 
comprimento, diâmetro e mesmo material, já poderíamos dizer que a força 
seria compartilhada igualmente por ambos os cabos. Porém, nesse 
exemplo os comprimentos são diferentes; o cabo mais curto terá que se 
alongar certa quantidade para chegar no comprimento do cabo mais 
longo, para daí o cabo mais longo começar a compartilhar a força-peso 
sustentada, ou seja, se o cabo mais curto não esticar até o comprimento 
do cabo mais longo, ele estará sustentando toda a carga sozinho, e o cabo 
mais longo ficará frouxo. Mas isso não vai acontecer, já que a carga de 
7,5 kN é suficientemente grande para esticar o cabo além de 2,5 mm que 
é a diferença entre os comprimentos dos cabos. 
Não sabemos qual será o deslocamento que o peso de 7,5 kN provoca 
em cada cabo, mas sabemos que o deslocamento total dos dois cabos é 
igual ao deslocamento do cabo 𝐴𝐶 + 2,5	𝑚𝑚, como mostra a figura: 
 
 
 
21 
Pelo raciocínio desenvolvido anteriormente e pela figura representando 
nosso problema, podemos descrever a equação da compatibilidade como: 
𝛿%& = 𝛿%' + 2,5. 10*. 
Substituindo os termos da equação 2 na equação anterior. Conforme 
dados do enunciado no SI, temos que: 
𝐹%&1,25
(12,5. 10*+. 200. 10,) =
𝐹%' . 1,2525
(12,5. 10*+. 200. 10,) + 2,5. 10
*. 
Vamos isolar a força 𝐹%& da equação anterior, pois está mais fácil. 
𝐹%& = M
𝐹%' . 1,2525
(12,5. 10*+. 200. 10,) + 2,5. 10
*.N
(12,5. 10*+. 200. 10,)
1,25 
𝐹%& =
𝐹%' . 1,2525
1,25 +
2,5. 10*.. (12,5. 10*+. 200. 10,)
1,25 
𝐹%& = 1,002𝐹%' +
6250
1,25 
𝐹%& = 1,002𝐹%' + 5000 
Fazendo um diagrama de corpo livre do problema, temos: 
 
Aplicando a equação de equilíbrio de força na direção vertical, temos: 
5𝐹 = 0;									−7,5.10. + 𝐹%' + 𝐹%& = 0	 
Na penúltima equação, vimos que 𝐹%& = 1,002𝐹%' + 5000; substituindo 
esse resultado na equação anterior, temos: 
5𝐹 = 0;									−7,5.10. + 𝐹%' + 1,002𝐹%' + 5000 = 0	 
 
 
22 
2,002𝐹%' = 2,5.10. 				→ 						 𝐹%' =
2,5.10.
2,002 					→ 					 𝐹%' = 1248,75	𝑁 
Substituindo o resultado da força 𝐹%' em 𝐹%& = 1,002𝐹%' + 5000, temos: 
𝐹%& = 1,002.1248,75 + 5000					 → 						 𝐹%& = 6251,25	𝑁 
TEMA 4 – TENSÃO TÉRMICA	
Os materiais podem ser dilatados ou contraídos à medida que a 
temperatura é alterada. Se o elemento estrutural tiver liberdade para dilatação 
ou contração não precisaremos nos preocupar com isso no projeto; se ele estiver 
fixo em ambas as extremidades, como no caso de colunas, ou tiver limitação 
quanto ao movimento impedindo-o de dilatar, por exemplo, será gerada uma 
força no elemento estrutural ocasionando tensão térmica. A tensão térmica 
pode ser suficientemente grande a ponto de provocar trincas e até a ruptura do 
material. Por esse motivo, os trilhos de trem, que têm sua temperatura elevada 
por radiação solar e devido ao atrito das rodas, possuem fendas em 
determinados intervalos de trechos de trilhos (Figura 7). 
Figura 7 – Espaçamento entre os trilhos de trem para dilatação 
 
Créditos: designbydx/Shutterstock. 
Uma solução semelhante ocorre em viadutos, que contêm folgas que 
permitem a dilação do concreto, como mostra a Figura 8. 
Figura 8 – Folgas em pontes para dilatação do concreto 
 
 
23 
 
Créditos: Sarin Kunthong/Shutterstock. 
Outra solução em pontes é deixar um dos apoios como pino, a fim de dar 
liberdade de translação na direção horizontal, como mostra a Figura 9. 
Figura 9 – Roletes em uma das extremidades de pontes permitindo 
deslocamento devido à tensão térmica 
 
 
Créditos: Marco Voltolini/Shutterstock; Lubo Ivanko/Shutterstock. 
 
 
24 
Tubulações de gás aquecido também sofrem problemas com a dilatação 
térmica. Uma forma de evitar a falha desses sistemas é a inserção de um trecho 
em U que permite a dilatação do material sem que haja forças promovendo 
tensão térmica. Esse tipo de solução pode ser visualizado na Figura 10. 
Figura 10 – Tubulação de gás aquecido em U 
 
Créditos: Nutthapat Matphongtavorn/Shutterstock. 
Quando a temperatura aumenta, em geral, o material expande; quando 
diminui, o material contrai. A relação entre a mudança da temperatura e a 
expansão ou contração do material é linear para materiais homogêneos e 
isotrópicos e essa relação é definida como: 
𝛿7 = 𝛼∆𝑇𝐿																																																														(4) 
em que 𝛿7 corresponde à variação do comprimento do elemento, 𝛼 é o 
coeficiente de dilatação térmica do material, em 1/ °C ou 1/° K no SI, ∆𝑇 é a 
variação da temperatura do elemento e 𝐿 é o comprimento inicial do elemento. 
Se a temperatura variar com o comprimento do elemento, ou seja, ∆𝑇 = ∆𝑇(𝑥), 
a equação anterior toma a seguinte forma: 
𝛿7 = 2 𝛼∆𝑇𝑑𝑥																																																										(5)
#
$
 
Perceba que se a estrutura analisada for estaticamente determinada, a 
variação do comprimento devido à dilatação térmica pode ser calculada pela 
equação 4 ou 5. No entanto, se a estrutura for estaticamente indeterminada, esse 
 
 
25 
deslocamento pode ser restringido pelos apoios produzindo tensão térmica, 
como já mencionado. O cálculo da tensão térmica pode ser feito por meio dos 
métodos descritos anteriormente. 
• Exemplo 7: a coluna de aço A-36 está contraída para caber exatamente 
entre os dois apoios fixo quando a temperatura é de 30 °C, como mostra 
a figura. Se a temperatura aumentar até 60 °C, determine a tensão térmica 
normal desenvolvida na coluna. 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
• Solução: temos um problema do tipo estaticamente indeterminado, em 
que os apoios em A e B exercerão forças de compressão sobre a coluna 
devido à expansão do aço proveniente da variação da temperatura. O 
seguinte diagrama de corpo livre representa as forças envolvidas nesse 
exemplo: 
 
 
 
26 
Observe que a força no apoio em A é igual à do apoio B, pois a coluna é 
simétrica, sem variação da área, do comprimento e do material, portanto, 
𝐹% = 𝐹& = 𝐹. Para calcular a força proveniente das reações dos apoios 
podemos aplicar o método de análise de flexibilidade visto no tema 
anterior, sendo necessário remover um dos apoios redundantes e analisar 
o deslocamento provocado pela dilatação térmica. 
Eliminando o apoio em A, temos que a viga poderia deslocar-se livremente 
numa quantidade 𝛿7. Contudo, sabemos que isso é só uma hipótese, pois 
como existe o teto em A esse deslocamento não é factível; logo, o teto 
promove um deslocamento 𝛿8 de mesma magnitude, só que com sentido 
oposto como mostra a figura. Assim, temos que o deslocamento 𝛿%/& = 0. 
 
Considerando essa análise e a figura anterior, podemos concluir que: 
𝛿%/& = 𝛿7 − 𝛿8 = 0 
𝛿7 = 𝛿8 
Substituindo a equação 4 em 𝛿7 e a equação 2 em 𝛿8, ficamos com: 
𝛼∆𝑇𝐿 =
𝐹𝐿
𝐴𝐸 
Para o aço A-36 𝛼 = 12. 10*+/°𝐶 e 𝐸 = 200. 10,	𝑃𝑎. A área da seção 
transversal da coluna pode ser facilmente determinada e seu 
comprimento é de 1 m. A variação da temperatura é ∆𝑇 = 𝑇9 − 𝑇:, em que 
𝑇9 corresponde à temperatura final e 𝑇: à temperatura inicial. Substituindo 
esses termosna equação anterior, temos: 
12. 10*+. (60 − 30). 1 =
𝐹1
(0,01.0,01.200. 10,) 
 
 
27 
𝐹 = 12. 10*+. 30. (0,01.0,01.200. 10,) 				→ 					𝐹 = 3,6. 10*;. 20. 10+ 
𝐹 = 7200	𝑁 
Para descobrir a tensão térmica provocada por essa força, basta aplicar 
a equação 3, ou seja: 
𝜎 =
𝐹
𝐴 =
7200
(0,01.0,01) 					→ 					𝜎 = 72	𝑀𝑃𝑎 
• Exemplo 8: um tubo de alumínio 2014-T6 com área de seção transversal 
de 600 mm² é utilizado como luva para um parafuso de aço A-36 com área 
de seção transversal de 400 mm², como mostra a figura. Quando a 
temperatura é de 15 °C, a porca mantém o conjunto em uma posição 
precisa, de tal modo que a força axial no parafuso é desprezível. Se a 
força aumentar para 80 °C, determine a força no parafuso e na luva. 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
• Solução: esse exemplo é semelhante ao anterior, pois não tem nenhuma 
força externa agindo no elemento, ou seja, as forças geradas no parafuso 
e na luva são provenientes somente da dilatação térmica dos materiais. 
Só que aqui dois materiais diferentes são considerados, como áreas de 
seção transversal diferentes. Essa situação é semelhante ao exemplo 5, 
porém lá havia uma força externa no valor de 80 kN e aqui a força externa 
é proveniente da dilatação dos materiais. 
O coeficiente de dilatação térmica da luva é 𝛼0 = 23. 10*+/°𝐶 e do aço é 
12. 10*+/°𝐶; logo, a luva se dilata mais do que o parafuso, pois seu 
coeficiente de dilatação térmica é maior. Com isso, o deslocamento da 
luva é restringido pelas porcas presas ao parafuso, assim, o parafuso 
exercerá uma força sobre a luva impedindo essa dilatação. 
 
 
28 
Observação: se ambos fossem feitos do mesmo material, eles se 
dilatariam na mesma proporção e não haveria forças reagindo a esse 
deslocamento. Portanto, a luva sofre uma força de compressão enquanto 
o parafuso pode dilatar livremente. O seguinte diagrama de corpo livre é 
desenhado a fim de compreender as forças atuantes no problema: 
 
Para manter o equilíbrio, temos que −𝐹< + 𝐹0 = 0, logo, 𝐹< = 𝐹0. Portanto, 
os deslocamentos dessas partes acompanharão o efeito das forças. 
Com relação ao deslocamento devido à variação de temperatura, ambos 
materiais tendem a expandir (dilatar), ou seja, promovem deslocamentos 
positivos (tração). O seguinte diagrama representa os deslocamentos 
devido à dilatação da luva e do parafuso e devido à força que alonga o 
parafuso e a que comprime a luva: 
 
Note que o único efeito de compressão é o provocado pela força sobre a 
luva e que o deslocamento do conjunto completo é nulo, sendo que as 
forças 𝐹< e 𝐹0 compensarão esses alongamentos na forma de tensão 
térmica. Analisando os efeitos de cada deslocamento (tração ou 
compressão), temos a seguinte equação de compatibilidade: 
𝛿 = 𝛿0 − 𝛿< = 0 
𝛿0 = 𝛿< 
 
 
29 
(𝛿0)7−(𝛿0)8 = Y𝛿<Z7 + Y𝛿<Z8 
Substituindo a equação 4 em 𝛿7 e a equação 2 em 𝛿8, ficamos com: 
𝛼0∆𝑇𝐿 −
𝐹0𝐿
𝐴0𝐸0
= 𝛼<∆𝑇𝐿 +
𝐹<𝐿
𝐴<𝐸<
 
Para o parafuso de aço A-36 temos 𝐸< = 200. 10,	𝑃𝑎 e para a luva de 
alumínio, 2014-T6 𝐸0 = 73,1. 10,	𝑃𝑎. A área da seção transversal do 
parafuso é 400 mm² e da luva é 600 mm². O comprimento de ambos os 
elementos é igual, podendo ser eliminado da equação. A variação da 
temperatura é ∆𝑇 = 𝑇9 − 𝑇: = 80 − 15 = 65		°𝐶. Substituindo esses termos 
na equação anterior, temos: 
23. 10*+. 65. 𝐿 −
𝐹0𝐿
600. 10*+. 73,1. 10, = 12. 10
*+. 65. 𝐿 +
𝐹<𝐿
400. 10*+. 200. 10, 
1,495. 10*. −
𝐹0
43,86. 10+ = 7,8. 10
*; +
𝐹<
80. 10+ 
Como 𝐹< = 𝐹0, podemos substituir esse resultado na equação anterior, 
ficando: 
1,495. 10*. −
𝐹0
43,86. 10+ = 7,8. 10
*; +
𝐹0
80. 10+ 
1,495. 10*. − 2,2784. 10*=𝐹0 = 7,8. 10*; + 1,25. 10*=𝐹0 
Isolando 𝐹0 ficamos com: 
1,495. 10*. − 7,8. 10*; = 2,2784. 10*=𝐹0 + 1,25. 10*=𝐹0 
7,15. 10*; = 3,53. 10*=𝐹0 
𝐹0 =
7,15. 10*;
3,53. 10*= 					→ 						 𝐹0 = 20,56	𝑘𝑁 
Como 𝐹< = 𝐹0, logo, 𝐹< = 20,56	𝑘𝑁 
Para determinar a tensão térmica basta aplicar a equação 3; assim, 
ficamos com: 
 
 
30 
𝜎< =
𝐹<
𝐴<
=
20,56.10³
400. 10*+ 					→ 					 𝜎< = 50,64	𝑀𝑃𝑎 
𝜎0 =
𝐹0
𝐴0
=
20,56.10³
600. 10*+ 					→ 					 𝜎< = 33,76	𝑀𝑃𝑎 
TEMA 5 – CONCENTRAÇÕES DE TENSÃO	
Quando projetamos um elemento estrutural com alguma descontinuidade 
geométrica, como mudança de seção transversal, furos, chavetas, entalhes, 
canto vivo etc., essas variações da geometria provocam redistribuição do campo 
de tensões e deformações nas suas proximidades. A Figura 11 (a) mostra o 
campo de tensões de um cubo de suspensão de carro e a Figura 11 (b) mostra 
um eixo com descontinuidades como chaveta a mudança de seção. 
Figura 11 –Campo de tensões de um cubo de suspensão (a) e de um eixo (b) 
(a) (b) 
Créditos: Leandro Theodoro/Shutterstock; Mathew Alexander/Shutterstock. 
Devido à elevada tensão nessas descontinuidades, muitas falhas ocorrem 
próximas a esses concentradores. Esse fenômeno é denominado concentração 
de tensão. Até aqui considerávamos a tensão normal com um valor médio 
(Figuras 12a e 12c), porém, devido às mudanças de geometria a tensão atinge 
valor máximo que deve ser considerado no projeto (Figuras 12b e 12d). 
Figura 12 –Tensão normal média (a), tensão normal máxima em um furo (b), 
tensão normal média (c) e tensão normal máxima em uma mudança de seção 
transversal (d) 
 
 
31 
(a) (b) 
(c) (d) 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
Na prática da engenharia, as distribuições de tensão reais mostradas nas 
Figuras 12b e 12d não precisam ser determinadas. Entretanto, a tensão máxima 
na seção deve ser determinada. Valores específicos de tensão normal máxima 
foram estabelecidos para várias dimensões de barras e seus resultados são 
apresentados graficamente com a utilização de um fator de concentração de 
tensão, 𝐾, definido pela razão entre a tensão máxima e a tensão média que 
agem sobre a seção transversal, isto é, 
𝐾 =
𝜎>á@
𝜎>éB
																																																															(6) 
em que 𝜎>éB = 𝐹 𝐴⁄ , sendo 𝐹 a força normal aplicada e 𝐴 a área da seção 
transversal em que ocorre a concentração de tensão. 
O fator de concentração de tensão é obtido com base num carregamento 
estático que promova tensões menores que a tensão limite de proporcionalidade. 
A Figura 13a mostra as curvas para obter o fator de concentração em projetos 
que envolvam mudança de seção transversal, e a Figura 13 (b) em projetos que 
envolvam peças perfuradas. Da Figura 13 (a) 𝑤 e ℎ correspondem, 
respectivamente, à largura da seção transversal maior e menor, 𝑟 ao raio de 
arredondamento e 𝑡 à espessura da peça. E da Figura 13 (b) 𝑤 corresponde à 
largura da seção transversal, 𝑟 ao raio do furo e 𝑡 à espessura da peça. 
Figura 13 – Fator de concentração de tensão para peças com (a) mudança de 
seção transversal e (b) com furo 
 
 
32 
(a) (b) 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
Observe na Figura 13 (a) que para raios muito pequenos de 
arredondamento de canto, 𝐾 tende a um valor infinito; logo, a tensão máxima de 
cisalhamento também tende a um valor infinito. Por isso é muito importante fazer 
arredondamento de cantos nas peças. Já na Figura 13 (b), para furo com 
diâmetro tendendo a zero, como se fosse uma imperfeição do material, ou uma 
microtrinca, o valor de 𝐾 tende a zero, e a tensão máxima nesse ponto 
corresponde a três vezes a tensão média. 
• Exemplo 9: determine a tensão normal máxima desenvolvida na barra 
quando sujeita a uma carga 𝑃 = 8	𝑘𝑁. 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
• Solução: como essa peça apresenta os dois tipos de concentração de 
tensão, temos que determinar a tensão máxima provocada pela mudança 
de seção e pelo furo. Para o primeiro caso temos que largura da peça no 
trecho maior é 𝑤 = 40	𝑚𝑚 e no trecho menor ℎ = 20	𝑚𝑚. O raio de 
arredondamento entre a mudança de seção é 𝑟 = 10𝑚𝑚 e a espessura 
da peça é 𝑡 = 5	𝑚𝑚. 
 
 
33 
Pelo gráfico da Figura 13 (a), devemos determinar a razão C
5
= !$
"$
= 0,5que corresponde ao eixo x do gráfico e a razão D
5
= ;$
"$
= 2, que 
corresponde à curva que vamos selecionar para obter o 𝐾. Plotando esses 
valores no gráfico, temos: 
 
Do gráfico temos que 𝐾 = 1,4 para concentração de tensão devido à 
variação da seção transversal, portanto, a tensão máxima é 
𝜎>á@ = 𝐾𝜎>éB = 𝐾
𝐹
𝐴 = 𝐾
𝑃
ℎ𝑡 					→ 					 𝜎>á@ = 1,4
8.10³
0,02.0,005 
𝜎>á@ = 112	𝑀𝑃𝑎 
Para o segundo caso (furo), temos que largura da peça no trecho do furo 
é 𝑤 = 40	𝑚𝑚, o raio do furo é 𝑟 = 10𝑚𝑚 e a espessura da peça possui o 
mesmo valor do caso anterior, ou seja, 𝑡 = 5	𝑚𝑚. Pelo gráfico da Figura 
13b temos que determinar a razão "C
D
= "$
;$
= 0,5, que corresponde ao eixo 
x do gráfico. Plotando esse valor no gráfico, temos: 
 
 
34 
 
Do gráfico, temos que 𝐾 = 2,1 para concentração de tensão devido ao 
furo. Portanto, a tensão máxima é 
𝜎>á@ = 𝐾𝜎>éB = 𝐾
𝐹
𝐴 = 𝐾
𝑃
(𝑤 − 2𝑟)𝑡 					→ 					 𝜎>á@ = 2,1
8.10³
[(0,04 − 2.0,01). 0,005] 
𝜎>á@ = 168	𝑀𝑃𝑎 
Concluímos que a tensão máxima nesta peça é de 168 MPa e ocorre no 
furo de raio igual a 10 mm. 
5.1 Tensão residual 
Considere um elemento feito com material elástico perfeitamente plástico 
como o diagrama mostrado na Figura 14. Se uma força axial produz tensão 𝜎6 e 
deformação correspondente 𝜀', então quando a carga for removida o material 
retornará elasticamente certa quantidade (recuperação elástica) que segue a 
linha CD com a mesma inclinação da reta que descreve a região, linha OA. 
Nesse caso, o elemento apresentará deformação permanente 𝜀EF. 
Figura 14 – Diagrama tensão versus deformação de um material elastoplástico 
 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
 
 
35 
Se o elemento estiver em condição estaticamente indeterminada, a 
remoção da força externa fará com que as reações de apoio respondam à 
recuperação elástica CD. Como as reações impedirão a recuperação elástica do 
material, elas introduzirão tensões residuais. 
• Exemplo 10: dois cabos de aço são utilizados para elevar a carga de 15 
kN (Figura a). O cabo AB tem comprimento de 5 m e o AC de 5,0075 m. 
Se cada cabo tiver área de seção transversal de 30 mm² e o aço puder 
ser considerado elástico perfeitamente plástico, como mostra a Figura b, 
determine a força em cada cabo e seu alongamento. 
(a) (b) 
Fonte: Hibbeler, 2018. 
• Solução: esse exemplo dá a entender que podemos aplicar a mesma 
metodologia aplicada no exemplo 6. Realmente, isso é possível e o 
resultado para as forças é: 𝐹%& = 12134,5	𝑁 e 𝐹%' = 2865,5	𝑁 (fica de lição 
de casa). No entanto, ao calcular a tensão, temos que para a força no 
cabo AB 
𝜎%& =
12134,5	
30. 10*+ 					→ 						 𝜎%& = 404,48	𝑀𝑃𝑎 
Essa tensão ultrapassa a tensão máxima no diagrama que é de 350 MPa, 
ou seja, isso vale para um material elástico com endurecimento plástico, 
e não para um material elástico perfeitamente plástico. 
Observe que nesse exemplo temos que considerar a tensão de 
escoamento de 350 MPa como a tensão que promoverá a deformação 
 
 
36 
plástica do material, conforme diagrama. Como o cabo AB é o que sofrerá 
deformações plástica, a força nele é calculada por: 
𝜎6 =
𝐹%&
𝐴 				→ 				 𝐹%& = 𝜎6𝐴 = 350. 10
+. 30. 10*+ 			→ 				 𝐹%& = 10,5	𝑘𝑁 
O seguinte diagrama de corpo livre representa as forças envolvidas no 
problema: 
 
Aplicando a equação de equilíbrio de forças sobre o diagrama de corpo 
livre anterior, ficamos com: 
!𝐹 = 0;													𝐹!" + 𝐹!# − 15.10$ = 0 
Substituindo 𝐹%& = 10,5	𝑘𝑁 na equação anterior chegamos em: 
10,5.10$ + 𝐹!# − 15.10$ = 0			 → 				 𝐹!# = 15.10$ − 10,5.10$ 
𝐹!# = 4,5	𝑘𝑁 
A tensão no cabo AC é dada por: 
𝜎%' =
𝐹%'
𝐴 =
4,5.10³
30. 10*+ 				→ 					 𝜎%' = 150	𝑀𝑃𝑎. 
No limiar da região elástica, para a tensão de 350 MPa a deformação é 
0,0017 mm/mm. No entanto, para essa mesma tensão a deformação 
atinge valores maiores por se tratar de um material elástico perfeitamente 
plástico. O deslocamento do cabo AB é a diferença entre o comprimento 
de ambos os cabos mais o deslocamento do cabo AC como mostra a 
seguinte figura, pois para o cabo AC começar a se deformar é necessário 
que o cabo AB chegue ao mesmo comprimento que ele para que ambos 
partilhem a carga de 15 kN. 
 
 
37 
 
Para determinar o deslocamento do cabo AC podemos aplicar a lei de 
Hooke para obter a deformação e depois aplicar a equação 8, que 
relaciona a deformação com o comprimento inicial e final do cabo. Para 
aplicar a lei de Hooke temos que obter o módulo de elasticidade desse 
material. Isso pode ser feito aplicando a lei de Hooke sobre os dados do 
diagrama de tensão x deformação do material, assim temos: 
𝜎0< = 𝐸𝜀0< 				→ 					𝐸 =
𝜎0<
𝜀0<
=
350. 10+
0,0017 				→ 					𝐸 = 205,88	𝐺𝑃𝑎 
Aplicando a lei de Hooke podemos calcular a deformação no cabo AC por: 
𝜎!# = 𝐸𝜀!# 					→ 						 𝜀!# =
𝜎!#
𝐸
=
150. 10%
205,88. 10&
					→ 						 𝜀!# = 7,286. 10'(	𝑚𝑚/𝑚𝑚 
Portanto, o deslocamento 𝛿%' pode ser obtido aplicando: 
𝜀%' =
𝐿%'9 − 𝐿%':
𝐿%':
=
𝛿%'
𝐿%':
					→ 					 𝛿%' = 𝜀%'𝐿%': = 7,286. 10
*;. 5,0075 
𝛿%' = 3,648. 10*.	𝑚 
Sabendo que 𝛿%& = 0,0075 + 𝛿%', podemos substituir o valor de 𝛿%'. 
Portanto, 
𝛿%& = 0,0075 + 3,648. 10*. 				→ 						 𝛿%& = 0,01115	𝑚 
 
 
38 
FINALIZANDO 
Nesta aula, vimos como obter a força em membros estruturais em que 
apenas aplicação de equilíbrio não é suficiente. Para isso, aprendemos a 
trabalhar com a equação da compatibilidade, que está relacionada à propriedade 
do material e a geometria do elemento dentro da região elástica. Vimos como 
lidar com estruturas estaticamente indeterminadas, bem como com problemas 
envolvendo dilatação térmica e concentração de tensão. Por fim, falamos sobre 
tensão residual aplicada a problemas em que o material apresenta 
comportamento elástico perfeitamente plástico 
No capítulo 4 do livro-base (Resistência dos Materiais, de autor Hibbeler) 
você encontrará mais exemplos resolvidos sobre os assuntos vistos nesta aula. 
Não deixe de conferir esses exemplos e, se possível, faça alguns exercícios do 
livro para praticar. 
Nós nos encontramos na próxima aula. Bons estudos! 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7ª edição. Pearson, 2010. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 12ª edição. Pearson, 2018.