Exercício de Algebra Linear (69)

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Solução: Suponhamos que exista um isomorfismo f : 3� −→ 5�. Então
f (3) = 5n para algum n ∈ �. Como f (0) = 0 e f é injetora, temos que n , 0.
Usando o fato de que f é um homomorfismo de anéis, temos:
• f (9) = f (3 + 3 + 3) = f (3) + f (3) + f (3) = 5n + 5n + 5n = 15n
• f (9) = f (3 · 3) = f (3) · f (3) = (5n)(5n) = 25n2
o que implica em 15n = 25n2⇒ 3 · 5n = 5n · 5n. Como 5� é um anel de integridade
e 5n , 0, podemos cancelar o 5n nos dois membros da última igualdade de onde
obtemos: 3 = 5n. Essa última igualdade é um absurdo porque o segundo membro é
um múltiplo de 5 e o primeiro membro não é. Portanto, não pode existir isomorfismo
de 3� em 5�.
10) Calcule f (
√
11) sabendo que f : �[
√
11] −→ �[
√
11] é um isomorfismo de
anéis e �[
√
11] = {a + b
√
11 | a, b ∈ �}.
Solução: Se f for isomorfismo de anéis, então f (1) = 1 o que implica
• f (2) = f (1 + 1) = f (1) + f (1) = 1 + 1 = 2,
• f (3) = f (1 + 2) = f (1) + f (2) = 1 + 2 = 3,
• f (4) = f (2 + 2) = f (2) + f (2) = 2 + 2 = 4,
• f (7) = f (3 + 4) = f (3) + f (4) = 3 + 4 = 7,
• f (11) = f (4 + 7) = f (4) + f (7) = 4 + 7 = 11
e daı́ obtemos 11 = f (11) = f (
√
11 ·
√
11) = f (
√
11) · f (
√
11)⇒ [ f (
√
11)]2 = 11,
de onde concluı́mos que f (
√
11) = ±
√
11.
11) Considere o anel A = � e o ideal I = 6� (adição e multiplicação usuais). Cons-
trua as tábuas de adição e multiplicação do anel-quociente A/I.
Solução: Temos que:
• 0 + I = I = {· · · ,−18,−12,−6, 0, 6, 12, 18, · · · }
• 1 + I = {· · · ,−17,−11,−5, 1, 7, 13, 19, · · · }
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