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MTM1067 - Geometria Diferencial Profa. Claudia C Pansonato
Curvas— Lista de Exerc´ıcios III
1. Verifique que as aplicac¸o˜es
a) α(t) = (t, t2, t3), t ∈ R
b) α(t) = (t, t2 + 2, t3 + 3), t ∈ R
sa˜o curvas regulares.
2. Verifique que a aplicac¸a˜o
α(t) =

(t, 0, e−
1
t2 ) se t < 0
(0, 0, 0) se t = 0
(t, e−
1
t2 , 0) se t > 0
e´ uma curva regular.
3. Prove que a aplicac¸a˜o
α(t) = (1 + cos t, sen t, 2 sen
t
2
) t ∈ R
e´ uma curva regular cujo trac¸o esta´ contido na intersecc¸a˜o
do cilindro C = {(x, y, z) ∈ R3; (x − 1)2 + y2 = 1} e da
esfera S = {(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 + z2 = 4}.
4. Seja α : I → R3 uma curva regular. Prove que |α′(t)|
e´ constante, se e so´ se, ∀t ∈ I, α′′(t) e´ ortogonal a α′(t).
5. Seja α : I → R3 uma curva parametrizada regular
(na˜o necessariamente pelo comprimento de arco) e seja β :
J → R3 uma reparametrizac¸a˜o de α(I) pelo comprimento
de arco s = s(t), medido a partir de t0 ∈ I. Seja t = t(s)
a func¸a˜o inversa de s e fac¸a dα/ dt = α′, d2α/ dt = α′′,
etc. Prove que
a) dt/ ds = 1/|α′|, d2t/ ds2 = −(α′ · α′′)/|α′|4.
b) A curvatura de α em t ∈ I e´
k(t) =
|α′ ∧ α′′|
|α′|3 .
b) A torc¸a˜o de α em t ∈ I e´
τ(t) = − (α
′ ∧ α′′) · α′′′
|α′ ∧ α′′|2 .
6-a) Verifique que a curva α : (0,∞) → R3 definida por
α(t) = (t,
1 + t
t
,
1− t2
t
)
e´ uma curva plana.
6-b) Verifique que toda curva regular de R3, cujas
func¸o˜es coordenadas sa˜o polinoˆmios de grau menor ou
igual a dois, e´ uma curva plana.
7. Calcule a curvatura e a torc¸a˜o das seguintes curvas:
a) α(t) = (t, t2, t3),
b) (cos t, sen t, et),
c) (t, cosh t, senh t).
8. Seja α(t) uma curva regular onde t e´ um paraˆmetro
qualquer.
a) Verifique que α′′(t) e´ paralelo ao plano osculador de
α em t.
b) Prove que o plano osculador de α em t0 e´ dado pelos
pontos P de R3 tal que 〈P − α(t0), α′(t0) ∧ α′′(t0)〉 = 0.
c) Obtenha o plano osculador da curva α em t = 1,
onde
α(t) = (3t− t3, 3t2, 3t+ t3).
9. Considere uma curva diferencia´vel regular α : I →
R3 parametrizada pelo comprimento de arco com curva-
tura na˜o nula. Seja P um ponto arbitra´rio de α, e Q um
outro ponto de α, pro´ximo de P . Sejam ∆θ o aˆngulo entre
os planos osculadores em P e Q e |∆s| o comprimento de
arco PQ (figura). Mostre que o limite da raza˜o ∆θ/|∆s|
quando Q→ P e´ o valor absoluto da torc¸a˜o |τ |
Figura 1: Aˆngulo entre os planos osculadores